2025~2026学年辽宁省重点高中沈阳市郊联体高二上册期末数学试卷（原卷）

这是一份2025~2026学年辽宁省重点高中沈阳市郊联体高二上册期末数学试卷（原卷），共6页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
数学
考试 试卷总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷 选择题（共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的
1. 随机变量X的分布列为：
则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
3. 《熊出没》里的森林小镇要办“环保小卫士”活动，光头强要将6名森林小伙伴分成三组，分别去树洞回收站、草地清洁区、小溪护水点这3个区域帮忙，每个区域安排一组，且每组最多3名小伙伴，则不同的分组安排方法种数为（ ）
A. 900B. 600C. 450D. 150
4. 已知随机变量服从正态分布服从二项分布，则（ ）
A. B.
C. ，D.
5. 已知点、是椭圆的左、右焦点、点为椭圆上一点，点关于的角平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知圆．若Q为直线上的动点，M是圆C上的动点，定点，则的最小值（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
8. 在黑猫警长的森林街区行动中，黑猫警长从起点S沿最短路径前往终点T抓捕逃犯；白鸽侦探从T出发，沿最短路径前往S支援.两人随机选择路径，且速度完全相同.其中，，，，是森林道路网络中位于一条对角线上的5个交汇点.（ ）
A. 黑猫警长从S到T最短路径方法有100种
B. 黑猫警长从S必须经过到达T的方法有36种
C. 黑猫警长与白鸽侦探在处相遇的概率为
D. 黑猫警长与白鸽侦探相遇的概率为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 点M在圆上，点N在圆上，则下列说法正确的是（ ）
A. 两个圆的公切线有3条
B. 的取值范围为
C. 圆上任意一点关于直线的对称点仍在该圆上
D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为
10. 已知编号分别为1，2的两个盒子中，1号盒内装有两个1号球、一个2号球；2号盒内装有一个1号球、两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）
A. 若将6个相同小球放入这两个盒子内，允许有空盒子，则不同的放法有7种
B. 在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为
C. 两次都取到1号球的概率要比两次都取到2号球的概率更大
D. 第二次抽到2号球的概率为
11. 伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转成图3所示的集合体．若图3中每个正方体的棱长都为1，则（ ）
A.
B. 若为线段上的一个动点，则的最大值为2
C. 点到直线的距离为
D. 异面直线与所成角的正切值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 从一批含有13只正品,2只次品的产品中,不放回地抽取3次,每次抽一只,设抽取次品数为,则= _____
13. 若直线斜率，则直线的倾斜角的取值范围是__________.
14. 小六壬是中国传统占卜术之一，共有六个掌诀，分别记为：大安、留连、速喜、赤口、小吉、空亡.为了便于数理分析，我们将他们依次对应数字0、1、2、3、4、5，形成一个六进制系统.六进制转换为十进制数的方法是将每一位上的数字乘以6的相应次方（从0开始），然后将所有乘积相加.例如，六进制数013转换为十进制数为；六进制数0033转换为十进制数为.现将所有由0、1、2、3、4、5组成的4位无重复数字（如1235，3201）的六进制数转化为十进制数，在这些非零十进制数中任取一个，则这个数能被5整除的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知．
（1）求的值；
（2）求展开式中项的系数．
16. 已知椭圆：的离心率为，直线与椭圆相交于，两点．
（1）若椭圆的焦距为2，求椭圆的方程；
（2）若，求椭圆的长轴长．
17. 第31届世界大学生夏季运动会的三个吉祥物是“蓉宝”、“嘟嘟”和“飞飞”深受大家喜爱.某经销商提供如下两种购买方式：
·方式一：购买盲盒，每个盲盒售价20元，内部随机放有“蓉宝”、“嘟嘟”和“飞飞”三款中的一款或者为空盒，只有拆开才会知道购买情况，买到各种盲盒是等可能的；
·方式二：直接购买吉祥物，每个30元
（1）小明若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并拆开．求他第3次购买时恰好首次出现与已买到吉祥物款式相同的概率；
（2）为了集齐三款吉祥物，现有两套方案待选：
方案一：先购买一个盲盒，再按方式二补齐剩下的款式：
方案二：先购买两个盲盒，再按方式二补齐剩下的款式．
若以所需费用的期望值为决策依据，小明应选择哪套方案？
18. 如图，等腰直角三角形中，，D是中点，E、F分别是、边上的动点，且，，将沿折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥．设，，．

（1）试用表示．
（2）若时，平面．求与垂直的平面和平面所成角的余弦值；
（3）当时，是否存在这样的点F，使得二面角为，且直线与平面所成角为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由．
19. 《文心雕龙》有语：“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立，”意指自然界的事物都是成双成对的．已知动点P到定点的距离和它到定直线的距离的比值是常数（且）设点P的轨迹为曲线H，若某条直线上存在这样的点P，则称该直线为“齐备直线”．
（1）若，求曲线H的方程；
（2）若“齐备直线”与曲线H相交于A、B两点，点M为曲线H上不同于A、B的一点，且直线，的斜率分别为，，判断是否存在，使得取得最小值，说明理由；
（3）若，与曲线H有公共点N“齐备直线”与曲线H的两条渐近线分别交于点S、T，且N为线段的中点，求证：直线与曲线H有且仅有一个公共点．
X
1
2
3
P
a