九年级上学期数学考点突破与提分——正多边形和圆练习题（含答案）

这是一份九年级上学期数学考点突破与提分——正多边形和圆练习题（含答案），共52页。试卷主要包含了概念，正多边形的有关计算等内容，欢迎下载使用。

知识点01 正多边形的概念
1．概念
相等， 也相等的多边形是正多边形．
2．判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件
(1) 相等；
(2) 相等；缺一不可.
如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
知识点02 正多边形的重要元素
1．正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
2．正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的 ．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的 ．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的 ．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的 ．
3．正多边形的有关计算
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是 ；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是 ；
(3)正ｎ边形每个外角的度数是 .
【注意】
要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.
知识点03 正多边形的性质
1.正多边形都 外接圆，圆有 个内接正多边形.
2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成 个全等的直角三角形.
3.正多边形都是 图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；
当边数是偶数时，它也是 图形，它的 就是对称中心.
4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
5.任何正多边形都有 外接圆和 内切圆，这两个圆是
【注意】
(1)各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；
(2)各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.
知识点04 正多边形的画法
1．用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以 ；根据同圆中相等弧所对的 相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
2．用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
①正四、八边形.
在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交AB于E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.
②正六、三、十二边形的作法.
通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点.
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分…….
【注意】
画正n边形的方法：(1)将一个圆 ，(2)顺次连结各等分点.
考法01 求正多边形的中心角
【典例1】在下列正多边形中，其内角是中心角2倍的是（ ）
A．正四边形B．正五边形C．正六边形D．正七边形
【即学即练】若一个正多边形的中心角为40°，则这个多边形的边数是（ ）
A．9B．8C．7D．6
【典例2】如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】如图，点O是正五边形ABCDE的中心，⊙O是正五边形的外接圆，∠ADE的度数为（ ）
A．30°B．32°C．36°D．40°
考法02 已知正多边形的中心角求边数
【典例3】如图，和分别为内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（ ）．
A．六B．八C．十D．十二
【即学即练】如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（ ）
A．6B．12C．24D．48
【典例4】一个正多边形的半径与边长相等，则这个正多边形的边数为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【即学即练】一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（ ）
A．8B．12C．3D．6
考法03 正多边形和圆
【典例5】如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD，EC交于点G，已知半径为3，则EG的长为（ ）
A．B．3C．D．6
【即学即练】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则边心距OM的长为________．
A．B．C．D．
【典例6】如图，正方形ABCD内接于，点E为上一点，连接BE，若，，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．7B．C．D．
【即学即练】如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（ ）
A．B．C．3D．
题组A 基础过关练
1．有一个正n边形的中心角是36°，则n为（ ）
A．7B．8C．9D．10
2．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆B．任何三角形有且只有一个内切圆
C．相等的圆心角所对的弧相等D．正多边形一定是中心对称图形
3．圆内接正六边形的边长为 3，则该圆的直径长为（ ）
A．3B．3C．3D．6
4．如图，正五边形内接于，点为上一点（点与点，点不重合），连接，，，垂足为，则等于（ ）
A．72°B．54°C．36°D．64°
5．圆内接四边形中，四个角的度数比可顺次为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，四边形测得，连接，若的半径为4，则的长为（ ）
A．2B．C．4D．
7．一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是__________．
8．如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，连接DF．若DF恰好是同圆的一个内接正多边形的一边，则这个正多边形的边数为 _____．
9．如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半径．
10．如图，为正五边形的外接圆，已知，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．
(1)在图1中的边上求作点，使；
(2)在图2中的边上求作点，使．
题组B 能力提升练
1．如图所示的图案，其外轮廓是一个正五边形，绕它的中心旋转一定的角度后能够与自身重合，则这个旋转角可能是（ ）
A．B．C．D．
2．半径为2的圆内接正六边形的边心距是（ ）
A．1B．C．D．
3．如图，的外切正六边形的边心距的长度为，那么正六边形的周长为（ ）
A．2B．6C．12D．
4．如图，将正六边形放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在正六边形的内部以为边作正方形，连接，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
6．如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，对角线CE，DF相交于点G，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC，若正六边形的边长为2，则点O到AC的距离OG的长为 __．
8．如图，由六块相同的含30°角的直角三角尺拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，如果该直角三角尺的较短直角边的长是1分米，那么这个小的正六边形的面积是 _____平方分米．
9．如图，四边形是圆的内接四边形，延长、相交于点，已知．
（1）求证：；
（2）若是四边形外接圆的直径，求证：．
10．如图，是上的三个点，，点在上运动（不与点重合），连接，，．

（1）如图1，当点在上时，求证：；
（2）如图2，当点在上时，求证：；
（3）如图2，已知的半径为，，求的长．
题组C 培优拔尖练
1．如图，有一个直径为的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（ ）
A．1B．C．2D．4
2．把边长为2+的正方形沿过中心的一条直线折叠，两旁重叠部分恰为正八边形的一半，则这个正八边形的边EF的长为（ ）
A．1B．2C．D．2
3．如图，边长为2的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕原点O旋转，则旋转后顶点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，点是正六边形的中心，的两边，分别与，相交于点，．当时，下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．与相等
5．如图所示的正八边形的边长为2，则对角线的长为（ ）
A．B．4C．D．6
6．如图，有一张菱形纸片，分别把沿着两条平行于的直线进行对折，得到一个六边形，如果这个六边形是正六边形，则菱形的对角线长的比（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是 _____．
8．如图，已知点G是正六边形对角线上的一点，满足，联结，如果的面积为1，那么的面积等于_______.
9．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．
(1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF．
(2)设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求的值（结果保留π）．
10．正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．
（1）如图①，若点E在上，F是DE上的一点，DF=BE．求证：△ADF≌△ABE；
（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE-BE=AE．请说明理由；
（3）如图②，若点E在上．连接DE，CE，已知BC=5，BE=1，求DE及CE的长．
课程标准
（1）了解正多边形和圆的有关概念及对称性；
（2）理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形；
（3）会进行正多边形的有关计算.
正多边形和圆
知识点01 正多边形的概念
1．概念
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
2．判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件
(1)各边相等；
(2)各角相等；缺一不可.
如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
知识点02 正多边形的重要元素
1．正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
2．正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3．正多边形的有关计算
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是 ；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；
(3)正ｎ边形每个外角的度数是.
【注意】
要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.
知识点03 正多边形的性质
1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；
当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
【注意】
(1)各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；
(2)各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.
知识点04 正多边形的画法
1．用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
2．用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
①正四、八边形.
在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交AB于E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.
②正六、三、十二边形的作法.
通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点.
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分…….
【注意】
画正n边形的方法：(1)将一个圆n等份，(2)顺次连结各等分点.
考法01 求正多边形的中心角
【典例1】在下列正多边形中，其内角是中心角2倍的是（ ）
A．正四边形B．正五边形C．正六边形D．正七边形
【答案】C
【详解】解：设多边形的边数是n．
则每个内角是，中心角是．
根据题意得：＝2×
解得：n＝6．
故选：C．
【即学即练】若一个正多边形的中心角为40°，则这个多边形的边数是（ ）
A．9B．8C．7D．6
【答案】A
【详解】解：设这个正多边形的边数是n，
由题意得：，
解得：n＝9，
故选A．
【典例2】如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示：
∵正六边形内接于，
∴∠COD= =60°，则∠COE=120°，
∴∠CME= ∠COE=60°，
故选：D．
【即学即练】如图，点O是正五边形ABCDE的中心，⊙O是正五边形的外接圆，∠ADE的度数为（ ）
A．30°B．32°C．36°D．40°
【答案】C
【详解】
如上图所示，连接OA，OE
∵五边形ABCDE是正五边形
∴
∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆
∴
故选：C．
考法02 已知正多边形的中心角求边数
【典例3】如图，和分别为内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（ ）．
A．六B．八C．十D．十二
【答案】D
【详解】解：如图所示，连接OA，OC，OB，
∵AB和BC分别是正方形和正六边形的一边，
∴,，
∴，
∴，
故选D．
【即学即练】如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（ ）
A．6B．12C．24D．48
【答案】C
【详解】解：连接OC，
∵AB是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠AOB＝360°÷6＝60°，
∵BC是⊙O内接正八边形的一边，
∴∠BOC＝360°÷8＝45°，
∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°
∴n＝360°÷15°＝24．
故选：C．
【典例4】一个正多边形的半径与边长相等，则这个正多边形的边数为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【详解】解：如图，由题意得：，
是等边三角形，
，
则这个正多边形的边数为，
故选：C．
【即学即练】一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（ ）
A．8B．12C．3D．6
【答案】B
【详解】解：，解得．
这个正多边形的边数为12．
故选：B．
考法03 正多边形和圆
【典例5】如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD，EC交于点G，已知半径为3，则EG的长为（ ）
A．B．3C．D．6
【答案】C
【详解】解：连接BE、GO，则BE经过O点，且O是BE的中点，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴，
，
∵DE=EC，
∴，
∵，
∴，
∴，
设EG的长为x，则OG的长为，
∴，
解得：．
故选：C．
【即学即练】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则边心距OM的长为________．
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：连接OA、OB，如图所示：
∵六边形ABCDEF为正六边形，
，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB＝OA＝1，
∵OM⊥AB，
∴AM＝BM＝AB＝，
∴，
故选：B．
【典例6】如图，正方形ABCD内接于，点E为上一点，连接BE，若，，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．7B．C．D．
【答案】B
【详解】解：连接DB、OC、OE，
，
∵正方形内接于，
∴，，三点共线，
又∵，
∴，
又∵BO=CO=OE，
∴是等边三角形，
又∵，
∴BO=CO=OE=5，
∴，选项B符合题意．
故选B
【即学即练】如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【详解】解：连接OB，OC，
∵⊙O的周长等于6π，
∴⊙O的半径为：3，
∵∠BOC360°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝3，
∴它的内接正六边形ABCDEF的边长为3，
故选：C．
题组A 基础过关练
1．有一个正n边形的中心角是36°，则n为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【详解】解：，
故选：D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆B．任何三角形有且只有一个内切圆
C．相等的圆心角所对的弧相等D．正多边形一定是中心对称图形
【答案】B
【详解】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；
B、任何三角形有且只有一个内切圆，正确；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
D、边数是偶数的正多边形一定是中心对称图形，故错误；
故选：B．
3．圆内接正六边形的边长为 3，则该圆的直径长为（ ）
A．3B．3C．3D．6
【答案】D
【详解】如图，连接OA，OB，
∵圆内接正六边形的边长为3，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴该圆的直径为；
故选D．
4．如图，正五边形内接于，点为上一点（点与点，点不重合），连接，，，垂足为，则等于（ ）
A．72°B．54°C．36°D．64°
【答案】B
【详解】解：∵正五边形内接于，
∴
∵与所对的弧相同
∴
∴=
故选：B．
5．圆内接四边形中，四个角的度数比可顺次为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵圆内接四边形的对交互补，即相加等于180°，
故：A选项：4+2≠3+1，错误；
B选项：4+1=3+2，正确；
C选项：4+3≠2+1，错误；
D选项：4+3≠1+2，错误．
故：选B．
6．如图，在中，四边形测得，连接，若的半径为4，则的长为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【详解】解：连接OA，OC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B＋∠D＝180°，
解得：∠D＝30°，
∴∠AOC＝60°，
又OC=OA，
∴△OAC是等边三角形，
又AC=4，
∴半径OC=OA=4.
故选：C．
7．一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是__________．
【答案】六
【详解】解：设正多边形的边数为n．
由题意得，＝60°，
∴n＝6，
故答案为：六．
8．如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，连接DF．若DF恰好是同圆的一个内接正多边形的一边，则这个正多边形的边数为 _____．
【答案】12
【详解】解：连接OA、OD、OF，如图，设这个正多边形为n边形，
∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOD==90°，∠AOF==120°，
∴∠DOF=∠AOF-∠AOD=30°，
∴n==12，即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故答案为：12．
9．如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半径．
【答案】2cm
【详解】过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴点O即是三角形内心也是外心，
∴∠OBD=30°，BD=CD=BC=AB=，
∴cs30°===，
解得：BO=2，
即⊙O的半径为2cm．
10．如图，为正五边形的外接圆，已知，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．
(1)在图1中的边上求作点，使；
(2)在图2中的边上求作点，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM交DE于点G，则点G为所求作，如图1所示；
理由：
∵⊙O为正五边形的外接圆，
∴直线AO是正五边形ABCDE的一条对称轴，点B与点E、点C与点D分别是一对对称点．
∵点M在直线AO上，
∴射线BM与射线EF关于直线AO对称，从而点F与点G关于直线AO对称，
∴CF与DG关于直线AO对称．
∴DG=CF．
（2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN，如图2所示；
题组B 能力提升练
1．如图所示的图案，其外轮廓是一个正五边形，绕它的中心旋转一定的角度后能够与自身重合，则这个旋转角可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：正五边形的中心角，
绕它的中心旋转角度后能够与自身重合，
故选：B．
2．半径为2的圆内接正六边形的边心距是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【详解】解：边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，
而正六边形的边心距即为每个边长为2的正三角形的高，即图中OD长度，
如图，△OAB是边长为2的正三角形，OD⊥AB，
由垂径定理可知，AD=BD=1，OD=；
故选：B．
3．如图，的外切正六边形的边心距的长度为，那么正六边形的周长为（ ）
A．2B．6C．12D．
【答案】C
【详解】解：如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，
由题意可得：OG=，
在正六边形ABCDEF中，∠AOB==60°，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA==2，
∴正六边形ABCDEF的周长为2×6=12，
故选：C．
4．如图，将正六边形放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：如图所示，连接OC，
∵点O是正六边形的中心，
∴OC=OD，，
∴△OCD是等边三角形，
∴OD=CD=AB=2，
∴点D的坐标为（2，0），
故选B．
5．如图，在正六边形的内部以为边作正方形，连接，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【详解】解：由题意可知，，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
6．如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，对角线CE，DF相交于点G，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：∵ABCDEF是边长为4的正六边形，
∴CD=DE=DF，∠CDE=∠DEF=120°，
∴∠CED=∠ECD=∠EDF=∠EFD=30°，
∴∠FEG=90°，
∵EF=4，
∴EG=EF=，
∴△GEF的面积=×EF•GE=，
故选：C．
7．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC，若正六边形的边长为2，则点O到AC的距离OG的长为 __．
【答案】1
【详解】解：连接OA、OC、OD，如图所示：
∵点O为正六边形ABCDEF的中心，边长为2，
∴∠B＝∠BCD＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，OC＝OD，∠COD60°，AB＝BC＝CD＝2，
∴∠BCA＝∠BAC＝30°，△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD＝2，∠OCD＝60°，
∴∠OCG＝120°﹣30°﹣60°＝30°，
∵OG⊥AC，
∴OGOC＝1，
即点O到AC的距离OG的长为1，
故答案为：1．
8．如图，由六块相同的含30°角的直角三角尺拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，如果该直角三角尺的较短直角边的长是1分米，那么这个小的正六边形的面积是 _____平方分米．
【答案】
【详解】解：由含30°的直角三角形的性质可知斜边是短直角边的2倍；
根据拼图可知，内部留下一个小的正六边形的边长为1分米，
所以它的面积为16（平方分米），
故答案为：．
9．如图，四边形是圆的内接四边形，延长、相交于点，已知．
（1）求证：；
（2）若是四边形外接圆的直径，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【详解】（1）∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠B+∠ADE=180°
又∵∠EDC+∠ADE=180°
∴∠EDC=∠B
又∵∠EDC=∠C
∴∠B=∠C
∴AB=AC
（2）连接AE
∵AB是圆的直径
∴∠AEB=90°
又∵AB=AC
∴AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠EAD
∴
10．如图，是上的三个点，，点在上运动（不与点重合），连接，，．

（1）如图1，当点在上时，求证：；
（2）如图2，当点在上时，求证：；
（3）如图2，已知的半径为，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AB=10
【详解】（1）证明：∵AB=AC，
∴弧AB=弧AC
∴∠ADB=∠ADC；
（2）证明：∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADC=∠ABC
∴∠ACB=∠ADC，
∴；
（3）解：连接OB，过点A作AE⊥BC交于点E，如图所示：
∵AB=AC，BC=12，
∴BE=EC=6，
∴AE是线段BC的垂直平分线，
∵△ABC是⊙O的内接三角形，
∴圆心O在线段AE上，
∵OB=OA=，
∴在Rt△BEO中，，
∴，
∴在Rt△AEB中，．
题组C 培优拔尖练
1．如图，有一个直径为的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】B
【详解】如图，连接OA、OB，则△AOB是等边三角形，作OC⊥AB于C，
∵△AOB是等边三角形，
∴∠OAB= 60°，
∴∠AOC= 30°，
∵OA=2cm，
∴AC=1cm，
OC=，
故选：B．
2．把边长为2+的正方形沿过中心的一条直线折叠，两旁重叠部分恰为正八边形的一半，则这个正八边形的边EF的长为（ ）
A．1B．2C．D．2
【答案】C
【详解】解：如图，
∵重叠部分为正八边形的一半，
∴GF=EF=PE=HP，∠GFE=∠FEP=∠HPE=135°，
∴∠GFC=∠B'FE=∠DEP=∠A'PH=45°，
∴△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，
设CG=x，则GF=x，B'F=x，
∴BG=B'G=x+x，
∴BC=x+x+x=2+，
∴x=1，
∴GF=，
故选：C．
3．如图，边长为2的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕原点O旋转，则旋转后顶点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】如图，连接AD，BD．
在正六边形ABCDEF中，AB=2，则AD=4，∠ABD=90°，
∴BD=，
在Rt△AOF中，AF=1，∠OAF=60°，
∴∠OFA=30°，
∴OA=AF=，
∴OB=OA+AB=，
∴D，
将正六边形绕原点O旋转，则旋转后顶点D的坐标为，
故选A
4．如图，点是正六边形的中心，的两边，分别与，相交于点，．当时，下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．与相等
【答案】C
【详解】解：如下图所示，连接OA，OB，OC．
∵点O是正六边形ABCDEF的中心，
∴OA=OB=OC，，，AB=DC，．
∴，．
∴∠OAM=∠OBN．
∵∠GOK+∠ABC=180°，
∴∠OMB+∠ONB=360°-（∠GOK+∠ABC）=180°，∠GOK=180°-∠ABC=60°．
故A选项不符合题意．
∵∠OMA+∠OMB=180°，
∴∠OMA=∠ONB．
∴．
∴∠OMA=∠ONB，MA=NB，．
故D选项不符合题意．
∴MB+NB=MB+MA=AB=DC．
故B选项不符合题意．
∴．
∴．
故C选项符合题意．
故选：C．
5．如图所示的正八边形的边长为2，则对角线的长为（ ）
A．B．4C．D．6
【答案】A
【详解】解：如下图所示，标出点C，D，E，F，连接CD，连接AC，BD交于点O，过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H．
根据图形可知直线AC和直线BD是正八边形的对称轴．
∴AC和BD是该正八边形外接圆的直径．
∴AC=BD，点O为该正八边形外接圆的圆心．
∴OA=OB=OC=OD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴四边形ABCD是矩形．
∴∠BAD=∠ABC=90°．
∵正八边形的边长为2，
∴AE=EF=FB=2，．
∴∠GAE=∠DAE-∠DAB=45°，∠HBF=∠FBC-∠ABC=45°．
∴∠AEF+∠GAE=180°．
∴．
∴∠EGH+∠GEF=180°．
∵EG⊥AB，FH⊥AB，
∴∠EGH=∠FHG=∠EGA=∠FHB=90°．
∴∠GEF=180°-∠EGH=90°，∠GEA=180°-∠EGA-∠GAE=45°，∠HFB=180°-∠FHB-∠HBF=45°，，．
∴四边形EGHF是矩形，∠GAE=∠GEA，∠HFB=∠HBF．
∴GH=EF=2，GA=GE，HB=HF．
∴，．
∴，．
∴．
故选：A．
6．如图，有一张菱形纸片，分别把沿着两条平行于的直线进行对折，得到一个六边形，如果这个六边形是正六边形，则菱形的对角线长的比（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：如图：设AC与BD相交于O， EF与AC相交于Q，
∵六边形BGHDFE是正六边形，
∴，，
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴OE=2EQ，
在中，
，
∴，
由对折的性质得， AC=4OQ，
，
故选：C．
7．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是 _____．
【答案】36
【详解】解：∵正五边形ABCDE，
∴∠ABC＝∠EAB==108°，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，
∴∠ACB＝∠BAC==36°，
∴∠EAC＝∠DCA＝108°﹣36°＝72°，
∴∠DEA+∠EAC＝108°+72°＝180°，
∴DE∥AC，
又∵DE＝AE＝AF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AE∥DF，
∴∠DFC＝∠EAC＝72°＝∠DCA，
∴∠FDC＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
故答案为：36°．
8．如图，已知点G是正六边形对角线上的一点，满足，联结，如果的面积为1，那么的面积等于_______.
【答案】4
【详解】解：如图，连接CE，
，
，
六边形是正六边形，
AB=AF=EF=BC，，
，
，
，
，
四边形BCEF是平行四边形，
，
的面积为1，，
的面积为，
故答案为4．
9．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．
(1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF．
(2)设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求的值（结果保留π）．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图，连接AE，AD，AC，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴EF＝ED＝CD＝BC，
∴，
∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，
∴过顶点A的三条对角线四等分∠BAF；
（2）解：如图，过O作OG⊥DE于G，连接OE，
设⊙O的半径为r，
∵∠DOE60°，OD＝OE＝r，
∴△ODE是等边三角形，
∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°，
∴∠EOG＝30°，
∴EGr，
∴OGr，
∴正六边形ABCDEF的面积＝6rrr2，
∵⊙O的面积＝πr2，
∴．
10．正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．
（1）如图①，若点E在上，F是DE上的一点，DF=BE．求证：△ADF≌△ABE；
（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE-BE=AE．请说明理由；
（3）如图②，若点E在上．连接DE，CE，已知BC=5，BE=1，求DE及CE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）理由见解析；（3）DE=7，CE=
【详解】（1）如图，，，，
在正方形ABCD中，AB=AD
在△ADF和△ABE中
∴△ADF≌△ABE（SAS）；
（2）由（1）结论得：△ADF≌△ABE
∴AF=AE，∠3=∠4
正方形ABCD中，∠BAD=90°
∴∠BAF+∠3=90°
∴∠BAF+∠4=90°
∴∠EAF=90°
∴△EAF是等腰直角三角形
∴EF2=AE2+AF2
∴EF2=2AE2
∴EF=AE
即DE-DF=AE
∴DE-BE=AE；
（3）连接BD，将△CBE绕点C顺时针旋转90°至△CDH
∵四边形BCDE内接于圆
∴∠CBE+∠CDE=180°
∴E，D，H三点共线
在正方形ABCD中，∠BAD=90°
∴∠BED=∠BAD=90°
∵BC=CD
∴
∴∠BEC=∠DEC=45°
∴△CEH是等腰直角三角形
在Rt△BCD中，由勾股定理得BD=BC=5
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE=
在Rt△CEH中，由勾股定理得：EH2=CE2+CH2
∴（ED+DH）2=2CE2，即（ED+BE）2=2CE2
∴64=2CE2
∴CE=4．
课程标准
（1）了解正多边形和圆的有关概念及对称性；
（2）理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形；
（3）会进行正多边形的有关计算.