2026高考高三二轮专题复习数学专题强化练_专题四　微专题三　空间向量与距离、探究性问题 （含解析）

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1.(13分)如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，M是BC的中点，N是AB1的中点，P是B1C1的中点.
(1)证明：MN∥平面A1CP；(7分)
(2)求点P到直线MN的距离.(6分)
2.(15分)(2024·黔东南州模拟)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，DE⊥平面ABCD，DE∥BF，AD=DE=2，BF=1，∠BAD=60°.
(1)证明：平面FAC⊥平面BDEF；(6分)
(2)试问线段CD上是否存在一点P，使得平面AEF与平面BFP夹角的余弦值为24？若存在，请判断点P的位置；若不存在，请说明理由.(9分)
3.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，且CD=2，AB=1，BC=22，PA=1，AB⊥BC，E，F分别为PD，BC的中点.
(1)求证：EF∥平面PAB；(6分)
(2)在平面PBC内是否存在点H，满足HD·HA=0？若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H的轨迹图形形状.(9分)
4.(17分)[向量的叉乘]两个向量a和b的叉乘写作a×b，叉乘运算结果是一个向量，其模为|a×b|=|a||b|sin〈a，b〉，方向与这两个向量所在平面垂直.若a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则a×b=(y1z2-y2z1，-(x1z2-x2z1)，x1y2-x2y1).如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=90°，AB綉12CD，AD=CD=2，O，E，F，G分别是AD，PD，PC，AC的中点.
(1)证明：平面BOE∥平面DFG；(5分)
(2)已知PA=PD=5，PB=6，H为PB的中点，以O为原点，OA的方向为x轴的正方向建立空间右手直角坐标系.
①求DF×DG；(6分)
②求三棱锥H-DFG的体积.(6分)
答案精析
1.(1)证明 由题意知，AA1⊥平面ABC，∠BAC=60°，
而AB⊂平面ABC，
所以AA1⊥AB，在平面ABC内过点A作y轴，使得AB⊥ y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，
B(2，0，0)，
C(1，3，0)，A1(0，0，2)，B1(2，0，2)，
得M32，32，0，N(1，0，1)，
P32，32，2，
所以A1C=(1，3，-2)，
A1P=32，32，0，
MN=-12，-32，1，
设平面A1CP的法向量为n=(x，y，z)，
则n·A1C=x+3y-2z=0,n·A1P=32x+32y=0,
令x=1，得y=-3，z=-1，
所以n=(1，-3，-1)，
所以MN·n=-12×1+-32×(-3)+1×(-1)=0，又MN不在平面A1CP内，即MN∥平面A1CP.
(2)解 连接PM，
由(1)得PM=(0，0，-2)，
则MN·PM=-2，MN=2，PM=2，
所以点P到直线MN的距离为
PM2-MN·PMMN2=2.
2.(1)证明 因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
因为DE⊥平面ABCD，
AC⊂平面ABCD，所以DE⊥AC.
又因为DE∩BD=D，且DE，BD⊂平面BDEF，所以AC⊥平面BDEF.
因为AC⊂平面FAC，
所以平面FAC⊥平面BDEF.
(2)解 设AC∩BD=O，以O为坐标原点，OA，OB的方向分别为x，y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(3，0，0)，B(0，1，0)，C(-3，0，0)，
D(0，-1，0)，E(0，-1，2)，
F(0，1，1).
设DP=λDC=λ(-3，1，0)，λ∈[0，1]，
则P(-3λ，λ-1，0).
设平面AEF的法向量为m=(x，y，z)，
因为AE=-3，-1，2，
EF =(0，2，-1)，
所以AE·m=-3x-y+2z=0,EF·m=2y-z=0,
令y=1，则m=(3，1，2).
设平面BFP的法向量为n=(x1，y1，z1)，
因为BF=(0，0，1)，
BP=(-3λ，λ-2，0)，
所以BF·n=z1=0,BP·n=-3λx1+(λ-2)y1=0,
令x1=λ-2，则n=λ-2，3λ，0.
假设存在点P，使得平面AEF与平面BFP夹角的余弦值为24，
则cs〈m，n〉=23λ-122(λ-2)2+3λ2=24，
解得λ=12或λ=2(舍去)，
所以存在点P满足题意，且P为CD的中点.
3.(1)证明 如图，
过点E作EG⊥AD交AD于点G，连接EG，GF，
因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
则PA⊥AD，
又EG⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，且EG，PA不共线，故EG∥PA.
因为E为PD的中点，所以G也为AD的中点，又F为BC的中点，所以GF∥AB，
而EG⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以EG∥平面PAB，
同理GF∥平面PAB，
又因为EG∩GF=G，EG，
GF ⊂平面EGF，
所以平面EGF∥平面PAB，
而EF⊂平面EGF，
所以EF∥平面PAB.
(2)解 如图，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，
又CD=2，AB=1，
BC=22，
PA=1，
则P(0，0，1)，
B(0，1，0)，
C(22，1，0)，
D(22，-1，0)，
故PB=(0，1，-1)，
PC=(22，1，-1)，
设平面PBC的法向量n=(x，y，z)，
则有n·PB=y-z=0,n·PC=22x+y-z=0,
取y=1，得x=0，z=1，
即n=(0，1，1)，
又AD的中点G2，-12，0，
则BG=2，-32，0，
则AD的中点到平面PBC的距离为n·BGn
=0×2+1×-32+1×01+1
=-322=324，
由HD·HA=0，即HD⊥HA，故H在以AD的中点为球心，
半径为12AD=32的球面上，
而324