2026步步高-高三大二轮专题复习物理习题_第一篇　专题二　计算题培优练3　数学归纳法解决多次碰撞问题)（含解析）

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(1)(3分)物块刚滑上木板时，求物块和木板的加速度大小；
(2)(3分)从物块滑上木板到木板与柔性挡板第一次碰撞时，求物块与木板因摩擦产生的热量；
(3)(8分)从物块滑上木板到木板与柔性挡板第n次碰撞时，求物块运动的位移大小。
2.(16分)(2023·全国乙卷·25)如图，一竖直固定的长直圆管内有一质量为M的静止薄圆盘，圆盘与管的上端口距离为l，圆管长度为20l。一质量为m=13M的小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，圆盘向下滑动，所受滑动摩擦力与其所受重力大小相等。小球在管内运动时与管壁不接触，圆盘始终水平，小球与圆盘发生的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求：
(1)(5分)第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度大小；
(2)(4分)在第一次碰撞到第二次碰撞之间，小球与圆盘间的最远距离；
(3)(7分)圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数。
答案精析
1.(1)μg 2μg (2)5μmgx
(3)(152-2n-2n2)x
解析 (1)对物块由牛顿第二定律有
μ×2mg=2ma1
解得a1=μg
对木板由牛顿第二定律有
μ×2mg=ma2
解得a2=2μg
(2)从木板开始运动到第一次碰撞挡板有x=12a2t12
从木板开始运动到发生第一次碰撞时的时间为t1=xμg
这段时间内，物块的位移
x1=v0t1-12a1t12
解得x1=72x
故摩擦产生的热量为
Q=μ×2mg(x1-x)
解得Q=5μmgx
(3)第一次碰撞前，木板的速度大小
v1=a2t1=2μgx
第一次碰撞后的速度大小
v1'=11×2v1=(1-12)v1
由对称性可知第二次碰前的速度
v2=v1'
故第一次碰撞到第二次碰撞的时间间隔为
Δt1=2×v1'a2=2(1-12)t1
故从木板开始运动到第二次碰撞时的时间间隔为
t2=t1+Δt1=t1+2(1-12)t1
第二次碰撞后的速度
v2'=12×3v1=(12-13)v1
第三次碰前的速度
v3=v2'
故第二次碰撞到第三次碰撞的时间间隔为
Δt2=2×v2'a2=2(12-13)t1
故从木板开始运动到第三次碰撞时的时间间隔为
t3=t2+Δt2=t1+2(1-13)t1
归纳可知，从木板开始运动到第n次碰撞时的时间间隔为
tn=t1+2(1-1n)t1=(3-2n)t1
该过程中，物块始终做匀减速运动，故对物块由运动学公式有
x2=v0tn-12a1tn2
代入数据解得
x2=(152-2n-2n2)x。
2.(1)2gl2 2gl2 (2)l (3)4
解析 (1)过程1：小球释放后自由下落，下降l，根据机械能守恒定律有mgl=12mv02
解得v0=2gl
过程2：小球以v0=2gl的速度与静止圆盘发生弹性碰撞，根据机械能守恒定律和动量守恒定律分别有
12mv02=12mv12+12Mv1'2
mv0=mv1+Mv1'
解得v1=m-Mm+Mv0=-2gl2
v1'=2mm+Mv0=2gl2
即第一次碰撞后瞬间小球速度大小为2gl2，方向竖直向上，圆盘速度大小为2gl2，方向竖直向下
(2)第一次碰撞后，小球做竖直上抛运动，圆盘所受摩擦力与重力平衡，匀速下滑，所以只要圆盘下降速度比小球快，二者间距就不断增大，当二者速度相同时，间距最大，
则有v1+gt=v1'
解得t=v1'-v1g=v0g
根据运动学公式得最大距离为
dmax=x盘-x球=v1't-(v1t+12gt2)=v022g=l
(3)第一次碰撞后到第二次碰撞时，两者位移相等，
则有x球1=x盘1
即v1t1+12gt12=v1't1
解得t1=2v0g
此时小球的速度v2=v1+gt1=32v0
圆盘的速度仍为v1'，这段时间内圆盘下降的位移
x盘1=v1't1=v02g=2l
之后第二次发生弹性碰撞，根据动量守恒有
mv2+Mv1'=mv2'+Mv2″
根据能量守恒定律有
12mv22+12Mv1'2=12mv2'2+12Mv2″2
联立解得v2'=0
v2″=v0
同理可得当位移相等时x盘2=x球2
v2″t2=12gt22
解得t2=2v0g
圆盘向下运动的位移大小
x盘2=v2″t2=2v02g=4l
此时圆盘距下端管口13l，之后二者第三次发生碰撞，碰前小球的速度v3=gt2=2v0
由动量守恒有
mv3+Mv2″=mv3'+Mv3″
由机械能守恒有
12mv32+12Mv2″2=12mv3'2+12Mv3″2
得碰后小球速度为v3'=v02
圆盘速度v3″=3v02
当二者即将四次碰撞时x盘3=x球3
即v3″t3=v3't3+12gt32
得t3=2v0g=t1=t2
在这段时间内，圆盘向下移动
x盘3=v3″t3=3v02g=6l
此时圆盘距离下端管口长度为
20l-l-2l-4l-6l=7l
此时可得出圆盘每次碰后到下一次碰前，
下降距离逐次增加2l，
故若发生下一次碰撞，圆盘将向下移动x盘4=8l
则第四次碰撞后圆盘落出管口外，
因此圆盘在管内运动的过程中，
小球与圆盘的碰撞次数为4次。