河南省周口市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷（含解析）

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在等差数列中，，则的公差（ ）
A. B. C. D.
2. 已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知曲线表示圆，则实数取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
4. 若直线与平行，则与之间的距离为（ ）
A. B. C. D. 3
5. 已知在正四面体中，为棱的中点，为的重心，设，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函数，则（ ）
A. 2B. 1C. D.
7. 在正四棱柱中，为棱上的动点（不包含端点），则与所成角的余弦值的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知长为6的线段的两端点分别在轴和轴上，点满足，则关于点的轨迹，下列说法正确的是（ ）
A. 点的轨迹是焦点在轴上的椭圆
B. 点轨迹是短轴长为1的椭圆
C. 点的轨迹是离心率为的椭圆
D. 点的轨迹是长轴长为10的椭圆
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A B.
C. D.
10. 记为数列的前项和，已知，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A
B. 递减数列
C.
D. 当时，取得最大值为15
11. 如图，“倒形”曲线由两部分组成，轴左侧部分曲线为轴及其右侧部分曲线为，且，若Px,y为“倒形”曲线上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线与轴所围成区域的面积为
B. 曲线的方程为
C. 的最大值为2
D. 若直线与曲线有四个交点，则实数的取值范围为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线在处的切线的倾斜角为__________.
13. 在等比数列中，，则__________.
14. 已知点为双曲线上一点，分别为的左，右焦点，，且的面积为2，若双曲线的离心率为，则双曲线的实轴长为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 设为正项等比数列的前项和，已知，.
（1）求数列的公比；
（2）求数列的通项公式；
（3）求数列的前项和.
16. 已知圆经过点，且与圆相切于点.
（1）求圆心的坐标；
（2）求圆的标准方程；
（3）过点的直线与圆和圆分别交于轴上方的两点，若，求直线的方程.
17. 如图，为等腰直角三角形，分别为的中点，将沿折起，使点至点的位置，且.
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值.
18. 已知抛物线，过点的直线与交于两点，设为坐标原点，当轴时，的周长为.
（1）求抛物线的焦点坐标；
（2）若点为抛物线上异于原点的一动点，且直线与直线的交点恒在定直线上.证明：过点与抛物线相切的直线平行于直线.
19. 对于数列，若存在，使得对于任意，都有，则称数列为型数列.
（1）已知数列的通项公式为，判断数列是否为型数列，并说明理由；
（2）已知数列的首项为，且数列是型数列，若，求数列的前项和；
（3）已知数列是公差为4的等差数列，证明：对于任意的，数列都是型数列.