广东省汕头市潮阳实验学校2025_2026学年高二上册期末数学试题（含答案）

这是一份广东省汕头市潮阳实验学校2025_2026学年高二上册期末数学试题（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知空间向量a=(1,2,−3)，b=(2,−1,1)，则|a+b|=( )
A. 10B. 14C. 4D. 5
2.直线1：3x−4y+12=0在y轴上的截距为( )
A. 4B. −4C. 3D. −3
3.圆x2+y2−2x+4y−4=0的圆心坐标是( )
A. (−2,4)B. (2,−4)C. (−1,2)D. (1,−2)
4.等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=16，则a7=( )
A. 14B. 15C. 16D. 17
5.曲线f(x)=x3−2x2+1在点(1,f(1))处的切线方程为( )
A. x+y+1=0B. x+y−1=0C. x−y+1=0D. x−y−1=0
6.椭圆x225+y29=1的离心率是( )
A. 35B. 45C. 25D. 54
7.已知直线l的方向向量为v=(1,−1,2)，平面α的法向量为n=(2,1,−1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为( )
A. 16B. 33C. 22D. 32
8.圆x2+y2=4与直线x+y−2=0的位置关系是( )
A. 相切B. 相交且直线过圆心
C. 相交但直线不过圆心D. 相离
9.数列{an}的通项公式为an=n⋅2n，则其前n项和Sn=( )
A. (n−1)⋅2n+1+2B. n⋅2n+1+2C. (n−1)⋅2n+1−2D. n⋅2n+1−2
10.函数f(x)=x3−3ax2+3(a2−1)x的单调递减区间为( )
A. (−∞,a−1]∪[a+1,+∞)B. [a−1,a+1]
C. (−∞,a+1]∪[a−1,+∞)D. [a+1,a−1]
11.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，过F的斜率为1的直线l与椭圆交于A，B两点，若|AF|=3|BF|，则椭圆的离心率为( )
A. 12B. 22C. 32D. 53
12.三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，AB=BC=2，∠ABC=90°，PA=3，则该三棱锥的外接球表面积为( )
A. 13πB. 17πC. 25πD. 34π
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.空间向量a=(2,−1,3)，b=(−1,2,1)，则a与b的夹角余弦值为 ．
14.圆x2+y2+4x−6y+9=0的半径为 ．
15.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求{an}的通项公式______．
16.函数f(x)=xlnx−ax2有两个极值点，则实数a的取值范围为 ．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，D为BC中点．
(1)证明：平面AA1D⊥平面BCC1B1；
(2)求直线A1B与平面BCC1B1所成角的正弦值．
18.(本小题12分)
已知数列{an}是等比数列，a1=2，a3=8，数列{bn}是等差数列，b1=1，b2+b3=10．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{an+bn}的前n项和Sn．
19.(本小题12分)
已知圆C：(x−1)2+(y−2)2=25，直线l：kx−y+1−2k=0．
(1)证明：直线l恒过定点；
(2)求直线l被圆C截得的弦长的最小值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=x3−3x2+2．
(1)求f(x)单调区间；
(2)求f(x)在区间[−1,3]上的最大值和最小值．
21.(本小题12分)
已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为线段AB的中点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)若|AB|=8，求直线l的方程．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx+ax,a∈R．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≥1对x∈(0,+∞)恒成立，求a的取值范围；
(3)证明：对于任意正整数n，都有1+12+13+⋯+1n0，
在(0,2)上，f′(x)0，
所以函数f(x)的单调递增区间为(−∞,0)，(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)．
(2)由(1)知，f(x)在[−1,0)，(2,3]上单调递增，在(0,2)上单调递减，
又f(−1)=−2，f(2)=−2，f(0)=2，f(3)=2，
所以f(x)max=f(0)=f(3)=2，
f(x)min=f(−1)=f(2)=−2，
所以f(x)在区间[−1,3]上的最大值和最小值分别为2，−2．
21.解：(1)由题意得p=2，焦点F(1,0)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x,y)，
因为M为线段AB的中点，所以x=x1+x22，y=y1+y22，
由y12=4x1，y22=4x2，可得kAB=y1−y2x1−x2=4y1+y2=2y，
又kAB=yx−1，故点M的轨迹方程为y2=2(x−1)．
(2)当直线AB的斜率不存在时，|AB|=2p=4≠8，不符合题意，
故直线AB的斜率一定存在．设直线AB的斜率为k，且k≠0，
则直线AB的方程为y=k(x−1)，
联立y=k(x−1),y2=4x,整理得k2x2−(2k2+4)x+k2=0，
所以x1+x2=2k2+4k2，所以|AB|=x1+x2+p=2k2+4k2+2=8，解得k=±1，
所以直线AB的方程为x−y−1=0或x+y−1=0．
22.解：(1)函数f(x)=lnx+ax的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=x−ax2，
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a>0时，令f′(x)=0，可得x=a，
则当x∈(0,a)时，f′(x)0，f(x)单调递增，
综上，当a≤0时，f(x)的递增区间为(0,+∞)；
当a>0时，f(x)的单调递增区间为(a,+∞)，单调递减区间为(0,a)．
(2)若f(x)≥1对x∈(0,+∞)恒成立，则lnx+ax≥1⇒a≥x(1−lnx)，
令g(x)=x(1−lnx)，则g′(x)=−lnx，当x∈(0,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当x∈(1,+∞)时，g′(x)