广东省华侨港澳台2026届高三上学期第一次联合模拟数学试卷（Word版附解析）

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第一次模拟联合考试
数学
一、选择题：（本题共10小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 表示复数z的共轭复数，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由，得，
所以.
2. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解出集合，中的元素，再由集合的并运算即可求解.
【详解】因为，所以，
因为，所以，即，
所以，
所以.
3. 已知是第三象限角，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用条件先求出的值，再求，最后代入二倍角公式计算即得.
【详解】因为是第三象限角，，
所以，则，
故．
故选：A.
4. 已知抛物线的焦点为圆的圆心，则（ ）
A. 3B. 2C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，求出圆心及抛物线的焦点坐标即可.
【详解】抛物线的焦点坐标为，而圆的圆心为，
依题意，，所以.
故选：A
5. 三棱柱ABC－A1B1C1的体积为1，P为侧棱B1B上的点，则四棱锥P－ACC1A1的体积为（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】通过课本三棱锥的体积公式的推导，不妨为侧棱上的点为端点，三棱柱即可由一个三棱锥一个四棱锥组成，可得四棱锥的体积，得到选项．
【详解】因为ABC－A1B1C1中，平面ACC1A1
所以，P－ACC1A1的体积与B－ACC1A1的体积相等，
三棱柱由一个三棱锥B－B1C1A1与一个四棱锥B－ACC1A1组成，
其中三棱锥B－B1C1A1的体积是三棱柱的，
所以四棱锥B－ACC1A1的体积是三棱柱体积的.
因为三棱柱ABC－A1B1C1的体积为1，
所以四棱锥P－ACC1A1的体积为.
故选：B.
6. 甲、乙两人独立地破译一份密码的概率分别为，密码被成功破译的概率为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率公式可得答案．
【详解】因为甲、乙两人独立地破译一份密码的概率分别为，
所以甲乙都没有成功破译密码的概率，
所以密码被成功破译的概率为.
故选：A
7. 下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性与单调性逐项判断即可得结论.
【详解】对于A，函数关于直线对称，不是偶函数，故A不符合；
对于B，因函数在上均为偶函数，所以为偶函数，
且当时，，所以函数在区间上单调递减，故B符合；
对于C，函数在上为非奇非偶函数，故C不符合；
对于D，因为函数在上均为奇函数，
所以为奇函数，故D不符合.
故选：B.
8. 已知为等比数列，若，则的公比（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用等比数列通项公式列方程即可解得公比.
【详解】根据等比数列定义由可得，
显然，所以，
解得.
故选：D
9. 不等式的解集为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由二次根式的定义，不等式等价于，解之可得．
【详解】不等式等价于 .
或，又，所以或．
故选：D．
10. 已知函数，若存在x，使得，则a的取值范围（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数，确定定义域，先将代入函数表达式，利用对数的运算性质化简，因为存在x使得等式成立，所以将化简后的等式变形，分离出参数a，得到a关于x的表达式，结合换元法以及二次函数性质，可利用函数的单调性求解.
【详解】函数的定义域为，
由，得，
即，
则，由于，故，
令，则存在x，使得，
转化为存在，使得有解，
由于的对称轴为，则在上单调递增，
故，
故，结合，可得.
二、填空题：（本题共5小题，每小题6分，共30分.）
11. 在的展开式中，二项式系数的和为64，则展开式中项的系数是_____．（用数字作答）
【答案】135
【解析】
【分析】根据二项式展开式的二项式系数之和可得，解出，结合通项公式计算即可求出的系数.
【详解】由题意，，则，
则的展开式的通项为，，
令，得，
所以展开式中项的系数是.
故答案为：135.
12. 已知二次多项式除以的余式是1，除以的余式是2，除以的余式是4，则该二次多项式除以的余式是__________.
【答案】7
【解析】
【分析】由题意有，，求出即可求解.
【详解】设
，
所以，，解得，
故，，故该二次多项式除以的余式是.
故答案为：
13. 双曲线（，）的左、右焦点为，，P为双曲线上一点，且满足轴，，则双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】因为轴，所以,再利用双曲线的定义即可求得答案.
【详解】因为轴，所以为通径的一半，故，
在中，因为，所以，
所以，即，可得.
故答案为：.
14. 某校从8名教师中选派4名教师到4个边远地区支教（每地1人），要求甲、乙不同去，甲、丙只能同去或同不去，则不同的选派方案有______种．
【答案】600
【解析】
【分析】先从8名教师中选出4名，因为甲、乙不同去，甲、丙只能同去或同不去，所以可按选甲和不选甲分成两类，两类方法数相加，再把4名老师分配去4个边远地区，4名老师进行全排列即可，最后两步方法数相乘
【详解】解：分两步，
第一步，先选四名老师，又分两类，
第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有种不同的选法，
第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有种不同选法，
所以不同的选法有25种，
第二步，四名老师去4个边远地区支教，有种，
所以共有种，
故答案为:600
【点睛】此题考查了排列组合的综合应用，属于基础题.
15. 函数的最大值为3，则________.
【答案】
【解析】
【分析】利用同角三角函数的基本关系式化简，结合二次函数的性质及最大值列方程，解方程求得的值.
【详解】依题意，由于二次函数开口向上，故在区间的端点取得最大值.若时取得最大值，即，此时二次函数对称轴，根据二次函数性质可知时取得最大值，符合题意.若时取得最大值，即，解得，此时二次函数对称轴，根据二次函数性质可知时取得最大值，符合题意.故.
【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二次函数的性质以及最值的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
三、解答题：（本大题共4小题，每小题15分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16. 已知中角，，所对的边分别为，，，设其面积为，．
（1）求角；
（2）若，点在边上，若是的平分线，且，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角形面积公式和余弦定理可求角；
（2）利用余弦定理和角平分线的性质建立方程组，结合面积公式可得答案.
【小问1详解】
依题意，
，因为，所以．
【小问2详解】
中，，．①
又，，即，②
联立①②得，．．
17. 在数列中，，，且对任意的，都有．
（1）证明：是等比数列，并求出的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用等比数列的定义求证数列是等比数列，再构造数列求证其为等差数列，利用等差数列的通项公式求解；
（2）利用错位相减法求和.
【小问1详解】
因为，，所以．
因为，所以，
又，则有，所以，
所以是以4为首项，2为公比的等比数列．
所以，所以，
又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，所以．
小问2详解】
设，
则，
两式相减得，
则.
18. 已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，判断函数的单调性；
（3）讨论函数的零点个数．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）求出导数，求出得斜率，点斜式可求切线方程；
（2）先求导数，从1分段讨论导数的符号，得出单调性；
（3）令，求解根的情况，需讨论的单调性，判断其零点个数.
【小问1详解】
当时，，，
，所以曲线在点处的切线方程为.
小问2详解】
定义域为，，
整理得，
当时，，因为，所以，
所以，为增函数.
当时，，因为，所以，
所以，为减函数.
综上可得，当时，为减函数，当时，为增函数.
【小问3详解】
设，由得或；
当时，，为增函数，又，此时仅有一个零点；
当时，，时，，为增函数，
时，，为减函数，的最大值为；
若，的最大值为，此时仅有一个零点；
若，则，且趋近于时，趋近于，
故在区间内，有且仅有一个零点，此时有两个零点；
若，则，且趋近于0时，趋近于，
故在区间内，有且仅有一个零点，此时有两个零点；
综上可得，当或时，有一个零点，当或时，有两个零点.
19. 已知椭圆的离心率为，点在上．
（1）求椭圆的方程：
（2）过点的直线交椭圆于，两点（异于点），过点作轴的垂线与直线交于点，设直线，的斜率分别为，．证明：
（i）为定值：
（ii）直线过线段的中点．
【答案】（1）
（2）（i）证明见详解；（ii）证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出的方程组求出得解；
（2）（i）当直线斜率为0时，.当直线的斜率不为0时，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，计算的值，化简后结果为，由此证明结论成立. （ii）设线段的中点为，求出直线的方程，直线的方程，结合，可得，可证点在直线上.
【小问1详解】
由题可知：，解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
（i）①当直线的斜率为0时，则不妨设，，
所以为定值.
②当直线的斜率不为0时，设直线，，，
联立直线与椭圆的方程，消去整理得，
则，，，所以，
所以
.
综上，为定值.

（ii）设线段的中点为，易得，
可得直线的方程为，则，
直线的方程为，则，
所以，
由（i）知，，所以，
又直线的方程为，所以点在直线上，
即直线过线段的中点.
【点睛】关键点睛：本题第二问证明为定值，解题的关键是设直线与椭圆的方程，解得，代入的式子化简得解.