4.3 公式法（课件）2025-2026学年北师大八年级数学下册

这是一份北师大版（2024）八年级下册（2024）3 公式法说课ppt课件，共29页。PPT课件主要包含了3x2，是两数的平方差的形式，运算法则，文字说明，a2-b2，-x2+y2，y2-x2，x2-5y2，3m2-12，＝5＋4x等内容，欢迎下载使用。
如图，在边长为 x (x＞5) 米的正方形上剪掉一个边长为 5 米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？
x2 - 52 = (x + 5)(x - 5)
同理，根据此图形变换，你能得到什么公式？
9x2 - y2 = (3x + 5)(3x - y)
用平方差公式进行因式分解
观察下面两个等式，它们有什么共同特征?
x2 - 25 = (x + 5)(x - 5)
想一想：多项式 a2 - b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？
两个数的平方差，等于这两个数的___与这两个数的_____的乘积.
= (a + b)(a − b)
将乘法公式 (a + b)(a − b) = a2 - b2 反过来，就得到
下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？
(1) x2 + y2
(2) x2 - y2
(3) -x2 - y2
(4) -x2 + y2
(5) x2 - 25y2
(6) 9m2 - 1
例1 把下列各式因式分解：(1) 25－16x2； (2) 9a2－ b2.
解：(1) 原式＝52－(4x)2
a2 － b2 ＝(a ＋ b)(a － b)
例2 分解因式：(1) 9(m＋n)2－(m－n)2； (2) (a＋b)2－4a2.
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
＝(b－a)(3a＋b).
解：(1) 原式＝(3m＋3n)2－(m－n)2
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
(2) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
公式中的 a，b 无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
1.把下列各式分解因式：(1) 5m2a4 －5m2b4； (2) a2－4b2－a－2b.
＝ (a＋2b)(a－2b－1).
＝ 5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b).
解：(1)原式 ＝ 5m2(a4－b4)
＝ 5m2(a2＋b2)(a2－b2)
(2)原式 ＝ (a2－4b2)－(a＋2b)
＝ (a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
一提：公因式；二套：公式；三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
1. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是 (　　) A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn C．－x2－y2 D．－x2＋9
2. 把下列各式分解因式：(1) 16a2 - 9b2 = _________________ ；(2) (a + b)2 - (a - b)2 = _____； (3) 9xy3 - 36x3y =_________________；(4) -a4 + 16 =_________________ .
(4a + 3b)(4a - 3b)
9xy(y + 2x)(y - 2x)
(4 + a2)(2 + a)(2 - a)
3. 已知 4m + n = 40，2m - 3n = 5，求(m + 2n)2 - (3m - n)2 的值．
原式 = -40×5 = -200.
解：原式 = (m + 2n + 3m - n)(m + 2n - 3m + n)
= (4m + n)(3n - 2m)
= -(4m + n)(2m - 3n)，
当 4m + n = 40，2m - 3n = 5 时，
第2课时 完全平方公式
把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
2. 我们已经学过哪些因式分解的方法？
你能把下面 4 个图形拼成一个正方形，并求出你拼成的图形的面积吗？
用完全平方公式分解因式
这个大正方形的面积可以怎么求？
(a + b)2
a2 + 2ab + b2
将上面的等式逆过来写，能得到：
我们把 a² + 2ab + b² 和 a² - 2ab + b² 这样的式子叫做完全平方式.
a2 - 2ab + b2
（1）每个多项式有几项？
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
这两项都是数或式的平方，并且符号相同
是第一项和第三项底数的积的 ±2 倍
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的___（或___）的平方.
a2±2ab + b2
完全平方式的特点：1. 必须是三项式(或可以看成三项的)；2. 有两个数或式的平方和；3. 有这两数或式之积的 ±2 倍.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
下列各式是不是完全平方式？（1）a2 - 4a + 4； （2）1 + 4a²；（3）4b2 + 4b - 1； （4）a2 + ab + b2； （5）x2 + x + 0.25.
（2）因为它只有两项；
（3）4b² 与 -1 的符号不统一；
（4）因为 ab 不是 a 与 b 的积的 2 倍.
例1 把下列完全平方式因式分解：
解：(1) 原式＝( x + 7 )2.
(2) 原式＝[( m + n )－3]2＝( m + n－3 )2
(2) (m + n)2 - 6(m + n) + 9.
(1) x2 + 14x + 492；
例2 把下列各式因式分解：
(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2； (2) －x2 －4y2 + 4xy.
解：(1) 原式＝3a( x2 + 2xy + y2 )＝3a( x + y)2.
解析：(1) 中有公因式 3a ，应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2)首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形，然后再利用公式分解因式.
(2) 原式＝－(x2 + 4y2－4xy)＝－(x2－4xy + 4y2)
＝－[x2－2 · x · 2y + (2y)2]＝－(x－2y)2
1. 因式分解：(1) -3a2x2＋24a2x - 48a2；(2) (a2＋4)2 - 16a2.
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4 - 4a)
解：(1) 原式＝-3a2(x2 - 8x＋16)
＝-3a2(x - 4)2.
(2) 原式＝(a2＋4)2 - (4a)2
＝(a＋2)2(a - 2)2.
2.(阳山县期中)用简便方法计算：(1) 1252 - 50×125 + 25²；(2) 652×11 - 352×11.
解：(1) 原式 = (125 - 25)²
(2) 原式 = (65 + 35)(65 - 35)×11
1. 下列四个多项式中，能因式分解的是 ( ) A．a2＋1 B．a2－6a＋9 C．x2＋5y D．x2－5y
2. 若关于 x 的多项式 x2－8x＋m2 是完全平方式，则 m 的值为______．
3. 把下列多项式因式分解. (1) x2 - 12x + 36； (2) 4(2a + b)2 - 4(2a + b) + 1； (3) y2 + 2y + 1 - x2.
解：(1) 原式 = x2 - 2·x·6 + (6)2 = (x - 6)2.
(3) 原式 = ( y + 1)² - x² = (y + 1 + x)( y + 1 - x).
(2) 原式 = [ 2(2a + b) ]² - 2·2(2a + b)·1 + ( 1 )² = (4a + 2b - 1)2.