2024-2025学年河北省唐山市路南区八年级（下）期中数学试卷

这是一份2024-2025学年河北省唐山市路南区八年级（下）期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了精心选一选，细心填一填，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列根式是二次根式的是
A．B．C．D．
2．（2分），则的取值范围是
A．B．C．D．
3．（2分）已知中，，，则它的周长为
A．B．C．D．
4．（2分）在△中，，若，则等于
A．4B．16C．20D．25
5．（2分）在算式“”的“□”中填上一种运算符号，其运算结果为有理数，则“□”可能为
A．B．C．或D．或
6．（2分）平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标为，则的长为
A．5B．12C．13D．10
7．（2分）如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
8．（2分）如图，矩形的对角线交于点，若，，则的长为
A．2B．3C．D．4
9．（2分）如图，将长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端和，然后把中点垂直向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了
A．B．C．D．
10．（2分）如图，的顶点坐标分别是，，，则点的坐标为
A．B．C．D．
11．（2分）我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图，数学家刘徽（约公元225年公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．若，，则此勾股形的面积为
A．28B．30C．32D．36
12．（2分）如图，在△中，，点是的中点，延长至点，使得，过点作于点，为的中点，给出结论：
①；②；③四边形是平行四边形；④．其中正确的所有选项是
A．①②B．③C．②④D．②③④
二、细心填一填（每小题3分，共12分）
13．（3分）已知：，则 ．
14．（3分）如图，若的周长为，，相交于点且为，则△的周长为 ．
15．（3分）两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，可得到一个大正方形，则大正方形的边长为 ．
16．（3分）如图，在△中，，点在边上，且，过点作，交的延长线于点，若，，则的长为 ．
三、解答题：（本大题共8个小题，满分共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
18．（6分）如图，在矩形中，对角线与交于点，，，求△与△的周长差．
19．（6分）问题：现有一块长为、宽为的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板？请说明理由．
20．（8分）如图在四边形中，，，，且，求的度数．
21．（8分）如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成．图2是其侧面结构示意图，面板固定在支撑轴端点处，，支撑轴长，支撑轴与底座所成的角．
（1）求端点到底座的距离；
（2）如图3，为了阅读舒适，将绕点逆时针旋转后，点恰好落在直线上，问：端点到底座的距离减少了多少？
22．（10分）如图，在中，
（1）若点、是、的中点，连接、，求证：．
（2）若平分且交边于点，如果，，试求线段的长．
23．（10分）如图，在△中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连接，．
（1）求证：与互相平分；
（2）若，求的长．
24．（10分）如图，在矩形中，是的平分线，过点作，交的延长线于，连结，．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
2024-2025学年河北省唐山市路南区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一、精心选一选：（本大题共12个小题，每小题2分，共24分.）
1．（2分）下列根式是二次根式的是
A．B．C．D．
【分析】利用二次根式的定义解答即可．
【解答】解：的根指数为3，
它不是二次根式，
选项不符合题意；
，只有在时为二次根式，
选项不符合题意；
是二次根式，
选项不符合题意；
，只有在时为二次根式，
选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
2．（2分），则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】根据算术平方根的结果都为非负数，可判断的取值．
【解答】解：，
故选：．
【点评】注意被开方数必须是非负数，开方的结果也是非负数．
3．（2分）已知中，，，则它的周长为
A．B．C．D．
【分析】利用平行四边形的性质求解．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
平行四边形的周长．
故选：．
【点评】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．
4．（2分）在△中，，若，则等于
A．4B．16C．20D．25
【分析】根据勾股定理进行求解即可．
【解答】解：在△中，，
是斜边，和是直角边，由勾股定理可得，
，
．
故选：．
【点评】本题考查勾股定理，正确进行计算是解题关键．
5．（2分）在算式“”的“□”中填上一种运算符号，其运算结果为有理数，则“□”可能为
A．B．C．或D．或
【分析】分别添加各符号计算后进行判断即可．
【解答】解：，结果不是有理数，则，不符合题意；
，结果不是有理数，则不符合题意；
，结果，是有理数，，结果是有理数，则符合题意；
故选：．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6．（2分）平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标为，则的长为
A．5B．12C．13D．10
【分析】过点作轴于点，由勾股定理求出即可．
【解答】解：如图，过点作轴于点，
点的坐标为，
，，
在△中，由勾股定理得：，
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7．（2分）如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
【分析】判断出两个正方形的边长，可得结论．
【解答】解：两个正方形的面积分别为和，
两个正方形的边长分别为，，
阴影部分的面积．
故选：．
【点评】本题考查二次根式的应用，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．（2分）如图，矩形的对角线交于点，若，，则的长为
A．2B．3C．D．4
【分析】根据矩形的性质得，，则，进而得，由此得△是等边三角形，则，据此可得的长．
【解答】解：四边形是矩形，且对角线交于点，
，，
，，
，
，
△是等边三角形，
，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定与性质是解决问题的关键．
9．（2分）如图，将长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端和，然后把中点垂直向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了
A．B．C．D．
【分析】根据勾股定理，可求出、的长，则即为橡皮筋拉长的距离．
【解答】解：△中，，；
根据勾股定理，得：；
；
故橡皮筋被拉长了．
故选：．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．（2分）如图，的顶点坐标分别是，，，则点的坐标为
A．B．C．D．
【分析】利用平行四边形的性质求解即可．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
．
故选：．
【点评】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形变化，解题的关键是掌握平行四边形的性质．
11．（2分）我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图，数学家刘徽（约公元225年公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．若，，则此勾股形的面积为
A．28B．30C．32D．36
【分析】设阴影部分的直角三角形的未知边长为，在直角三角形中，利用勾股定理可建立关于的方程，利用整体代入的思想解决问题，进而可求出该三角形的面积．
【解答】解：设阴影部分的直角三角形的未知边长为，
则，，，由勾股定理得．
，，，
解得：，
，，
△的面积．
故选：．
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理的应用和一元二次方程的应用，求出小正方形的边长是解题的关键．
12．（2分）如图，在△中，，点是的中点，延长至点，使得，过点作于点，为的中点，给出结论：
①；②；③四边形是平行四边形；④．其中正确的所有选项是
A．①②B．③C．②④D．②③④
【分析】构造全等三角形，应用三角形中位线定理，即可求解．
【解答】解：延长交于，作于，
，，
，
故①不符合题意；
，，
，
，
，
故②符合题意；
，，，
△△，
，
，
，
，
，
，
，，，
△△，
，
四边形是平行四边形，
故③符合题意；
，
，
，
故④符合题意，
故选：．
【点评】本题考查三角形全等，三角形中位线定理，平行四边形的判定，关键是灵活应用这些知识点．
二、细心填一填（每小题3分，共12分）
13．（3分）已知：，则 6 ．
【分析】直接化简二次根式进而得出，的值求出答案．
【解答】解：原式，
故，，
则．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
14．（3分）如图，若的周长为，，相交于点且为，则△的周长为 ．
【分析】根据平行四边形的性质得到，，求出，再结合即可解答．
【解答】解：平行四边形的周长为，
，，，
，
，相交于点且为，
△的周长为：，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的对边相等．
15．（3分）两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，可得到一个大正方形，则大正方形的边长为 ．
【分析】根据大正方形是由两个小正方形拼成的，得到大正方形的面积恰好是这两个小正方形面积的和，从而计算得到解答即可．
【解答】解：对其中一个正方形沿对角线剪成四个直角三角形，再拼到另一个正方形四周，即可得到大正方形．
两个小正方形的面积都是1，用它们拼成的大正方形的面积应是两个小正方形面积之和，
拼成的大正方形的面积是，
大正方形的面积是2，
大正方形的边长，是无理数 （正方形的面积等于边长的平方）．
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式的应用，正方形的性质，正方形的面积等知识，解题的关键是确定大正方形的边长，属于中考常考题型．
16．（3分）如图，在△中，，点在边上，且，过点作，交的延长线于点，若，，则的长为 ．
【分析】过作于，得到，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，根据勾股定理得到，再根据勾股定理得到结论．
【解答】解：过作于，
，
在△与△中，
，
△△，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质、勾股定理是解题的关键．
三、解答题：（本大题共8个小题，满分共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简二次根式后进行有理数的减法运算．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
18．（6分）如图，在矩形中，对角线与交于点，，，求△与△的周长差．
【分析】由矩形得到，，周长作差即可求解．
【解答】解：四边形是矩形，
，，
．
【点评】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．
19．（6分）问题：现有一块长为、宽为的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板？请说明理由．
【分析】根据正方形的面积可以分别求得两个正方形的边长是和，显然只需比较两个正方形的边长的和与7.5的大小即可．
【解答】解：，
由于，可知，，
答：能够在这块木板上截出两个分别是和的正方形木板．
【点评】本题考查了二次根式的应用，正确求得每个正方形的边长，并能够正确比较实数的大小是解题的关键．
20．（8分）如图在四边形中，，，，且，求的度数．
【分析】由于，，利用勾股定理可求，并可求，而，，易得，可证△是直角三角形，于是有，从而易求．
【解答】解：如图所示，连接，
，，
，，
又，，
，，
，
△是直角三角形，
，
．
故的度数为．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是连接，并证明△是直角三角形．
21．（8分）如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成．图2是其侧面结构示意图，面板固定在支撑轴端点处，，支撑轴长，支撑轴与底座所成的角．
（1）求端点到底座的距离；
（2）如图3，为了阅读舒适，将绕点逆时针旋转后，点恰好落在直线上，问：端点到底座的距离减少了多少？
【分析】（1）过点作于点，△是等腰直角三角形，由勾股定理即可求出的长；
（2）过点作于点，推出，易求出的长，即可得出结果．
【解答】解：（1）如图2，过点作于点，
，
△是等腰直角三角形，
，
在△中，由勾股定理得：，
，
（负值已舍去）；
（2）如图3，过点作于点，
将绕点逆时针旋转后，点恰好落在直线上，
，
，
端点到底座的距离减少了．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构建直角三角形，运用勾股定理求解是解题的关键．
22．（10分）如图，在中，
（1）若点、是、的中点，连接、，求证：．
（2）若平分且交边于点，如果，，试求线段的长．
【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得，，又由点、分别是边、的中点，可得，证得四边形是平行四边形，即可证得结论．
（2）由平行线的性质和角平分线得出，证出，即可得出结果．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
点、分别是边、的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
．
（2）解：，
，
平分，
，
，
，
．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟记平行四边形的性质，证出是解决问题（2）的关键．
23．（10分）如图，在△中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连接，．
（1）求证：与互相平分；
（2）若，求的长．
【分析】（1）利用三角形中位线定理可得出，，结合，得出，可证明四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可得证；
（2）利用直角三角形斜边中线的性质求出，利用平行四边形性质求解即可．
【解答】（1）证明：连接，．
点，分别为、的中点，
，．
又，
．
又，
四边形是平行四边形．
与互相平分．
（2）解：在△中，
为的中点，，
．
又四边形是平行四边形，
．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，掌握以上性质是解题的关键．
24．（10分）如图，在矩形中，是的平分线，过点作，交的延长线于，连结，．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
【分析】（1）由矩形的性质，角平分线的定义得到，因此；
（2）由直角三角形斜边中线的性质得到，因此，，推出；
（3）由△△，得到，因此△是等腰直角三角形，由勾股定理求出长，即可得到的长．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，
平分，
，
，
，
；
（2）证明：连接，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：，，
，
，
，，
，
，
，
△△，
，
，
△是等腰直角三角形，
，
，，
，
．
【点评】本题考查矩形的性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理，等腰三角形的判定，关键是直角三角形斜边中线的性质得到，由△△，得到．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/2 9:07:33；用户：林鑫；邮箱：16620973701；学号：50184040题号
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2
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8
9
10
11
答案
C
C
A
B
D
C
A
D
A
B
B
题号
12
答案
D