2024-2025学年江西省南昌市部分学校九年级（上）期末数学试卷

这是一份2024-2025学年江西省南昌市部分学校九年级（上）期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列成语所反映的事件中，是必然事件的是（ ）
A．竹篮打水B．百发百中C．守株待兔D．种豆得豆
2．（3分）如图描绘的是“日头欲出未出时，雾失江城雨脚微”这一美景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交D．平行
3．（3分）若x＝1是方程x2﹣bx﹣2＝0的一个解，则b的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
4．（3分）习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列四款新能源汽车的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）若⊙O外一点P与O的距离为6，则该⊙O的半径可能为（ ）
A．6B．5.9C．2πD．37
6．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线L1：y＝﹣（x﹣1）2+k与L2关于原点O对称，它们的顶点分别是M，N，若MN=25，则k的值为（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．±6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）一个不透明的口袋中有3种颜色的小球，其中红球3个，黄球2个，白球x个（小球除颜色外，其它完全相同）．随机摸出一个小球，若摸出白球的概率为16，则x的值为 ．
8．（3分）若⊙O的内接三角形三边分别为6，8，10，则⊙O的半径为 ．
9．（3分）已知关于x的方程（x﹣2）（x﹣k）＝0有两个相等的实数根，则k＝ ．
10．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转122°得到△ADE，若点D恰好落在线段BC的延长线上，则∠BDE＝ °．
11．（3分）如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADC＝36°，则这个正多边形的边数为 ．
12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆ACB的中点，D是⊙O上任意一点，已知AB＝4，若△ADC为等腰三角形，则点D到弦AC的距离为 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）解方程：（x﹣1）2﹣9＝0；
（2）求抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3的顶点坐标及对称轴．
14．（6分）如图，将线段AB绕着它的一端A顺时针旋转60°得到线段AB'，连接BB'．
（1）判断△ABB′的形状，并说明理由；
（2）若AB＝3，求点B运动的路径长．
15．（6分）如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直向上抛，那么物体经过x s离地面的高度（单位：m）为10x﹣4.9x2．
（1）根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？
（2）当物体离开地面最高时，求x的值．
16．（6分）“践行垃圾分类，共筑绿色家园．”某校开展垃圾分类知识竞赛活动，竞赛成绩满分的有4名同学，其中3名女生，1名男生．现从这4名同学中随机抽取2人参加区级竞赛．
（1）事件“抽取的2名同学，都是男生”是 事件；
（2）请用画树状图法或列表法，求抽取的2名同学，恰好是一男一女的概率．
17．（6分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，过点B作BC∥OA交⊙O于点C，连接OC，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）在图1中作∠C的平分线CD；
（2）在图2中作⊙O的切线AE（切点E不与B重合）．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，⊙O的直径AB⊥弦CD，垂足为E．
（1）求证：∠BOC＝2∠BAD；
（2）若∠BOC＝40°，求弦AD所对圆周角的度数．
19．（8分）【项目主题】估计π的值．
【项目实施】
步骤一：在纸上画一个正方形及其内切圆，如图．
（1）该内切圆与正方形面积的比值用a表示，求a的值；
步骤二：随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的纸上，统计并计算落在圆内的米粒数m与正方形内的米粒数n的比mn．
（2）b＝ ；
步骤三：利用a与b的关系，估计π的值．
（3）π≈ ；
【项目反思】小贤同学发现，上述π的估计精度不够高，那怎样提高π的估计精度呢？请你给出至少一条合理化建议．
（4）建议： ．
20．（8分）如图，抛物线y＝x2+bx﹣3分别与x轴、y轴交于A，B和C点，对称轴为直线l：x＝1．
（1）求b的值及B，C两点的坐标；
（2）已知点P在直线l上运动．
①问当点P在l上什么位置时，P与A，C距离之和最短，最短为多少？
②抛物线上是否存在一点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，说明理由．
五、解答题（本大题共1小题，共10分）
21．（10分）【课本再现】
（1）如图1，DE是△ABC的中位线，求证：DE∥AC，DE=12AC．
证明：延长ED至点F，使DF＝DE，连接AF
……
请你把证明过程补充完整．
【类比迁移】
（2）如图2，DE是△ABC的中位线，F是平面内任意一点，将点F分别绕着点D，E旋转180°得到点G和H，连接GH，猜想GH和AC的关系，并证明；
【拓展应用】
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，D，E分别是边AB，BC的中点，点F在△ABC内部，将点F分别绕着点D，E旋转180°得到点G和H，顺次连接AG，GB，BH，HA得到四边形AGBH，试求四边形AGBH的面积．
2024-2025学年江西省南昌市部分学校九年级（上）期末数学试卷
选择题、填空题答案速查
选择题、填空题解法提示
6．解：由抛物线解析式可知顶点坐标为（1，k），
∵抛物线L1：y＝﹣（x﹣1）2+k与L2关于原点O对称，
∴M、N关于原点对称，
∵MN＝25，
∴OM=5，
∴12+k2＝5，
∴k2＝4，
∴k＝±2．
故选：C．
12．解：如图，连接OD1交AC于点H．连接CB．
∵点C是半圆ACB的中点，
∴AC＝CB，
∵AB是直径，AB＝4，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝BC＝22，
∵AD1＝CD1，
∴AD1=CD1，
∴OD1⊥AC，
∴AH=CH=2，
∵∠OAH＝45°，
∴OH＝AH=2，
∴D1H＝OD1﹣OH＝2−2，
当D2在优弧AC上时，同法可得D2H＝2+2．
综上所述，当DA＝DC时，点D到AC的距离为2−2或2+2．
当AD3＝AC时，∠CAB＝∠BAD3＝45°，
∴∠D3AC＝90°，
∴D3A⊥AC，
∴点D3到AC的距离为22，
故答案为：22或2+2或2−2．
解答题参考答案
13．解：（1）移项得：（x﹣1）2＝9，
直接开平方得：x﹣1＝3 或x﹣1＝﹣3，
解得：x1＝4或x2＝﹣2．
（2）顶点坐标（2，3），
对称轴为直线 x＝2．
14．解：（1）△ABB′是等边三角形．
理由如下：
∵线段AB绕着它的一端A顺时针旋转60°得到线段AB'，
∴AB＝AB'，∠BAB'＝60°，
∴△ABB'是等边三角形；
（2）∵点B运动的路径为以A为圆心，AB为半径，圆心角为60°一段圆弧，
∴点B运动的路径长=60π×3180=π．
15．解：（1）根据物体落回地面，可得10x﹣4.9x2＝0，
解得x1=10049，x2＝0（不合题意，舍去），
答：物体经过10049秒落回地面；
（2）s＝10x﹣4.9x2＝﹣4.9（x−5049）2+25049，
∵﹣4.9＜0，
∴当x=5049时，s最大，
∴当x=5049s时，物体离开地面最高，
答：当物体离开地面最高时，x的值为5049．
16．解：（1）事件“抽取的2名同学，都是男生”是不可能事件，
故答案为：不可能；
（2）男同学用1表示，女同学用2、3、4表示．
由表知，共有12种等可能结果，其中抽取的2名同学，恰好是一男一女的有6种结果，
所以抽取的2名同学，恰好是一男一女的概率为612=12．
17．解：（1）如图1，设OA交⊙O于点D，作射线CD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC．
∵BC∥OA，
∴∠BCD＝∠ODC，
∴∠OCD＝∠BCD，
即射线CD为∠OCB的平分线，
则射线CD即为所求．
（2）如图2，延长CO，交⊙O于点E，作直线AE，连接OB，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠ABO＝90°．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵BC∥OA，
∴∠CBO＝∠BOA，∠BCO＝∠AOE，
∴∠BOA＝∠AOE，
∵OB＝OE，OA＝OA，
∴△AOB≌△AOE（SAS），
∴∠AEO＝90°．
∵OE为⊙O的直径，
∴直线AE为⊙O的切线，
则直线AE即为所求．
18．（1）证明：连接OD，
∵直径AB⊥弦CD，
∴BC=BD，
∴∠BOC＝∠BOD，
∵∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BOC＝2∠BAD；
（2）解：连接AC，
∵∠BOC＝2∠BAD，∠BOC＝40°，
∴∠BAD=12∠BOC＝20°，
∵直径AB⊥弦CD，
∴AC=AD，∠AED＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣∠BAD＝70°，
∵AC=AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝70°，
当点F在AD上时，如图：
∵四边形AFDC是⊙O的内接四边形，
∴∠AFD+∠ACD＝180°，
∵∠ACD＝70°
∴∠F＝180°﹣∠ACD＝110°．
综上所述，弦AD所对圆周角的度数为70°或110°．
19．解：（1）设内切圆的半径为r，则a=πr2(2r)2=π4；
（2）b=mn=450600=34，
故答案为：34；
（3）∵a＝b，
∴π4=34，
∴π≈3，
故答案为：3；
（4）建议：增加撒在画有正方形及其内切圆纸上的米粒数等，
故答案为：增加撒在画有正方形及其内切圆纸上的米粒数等（答案不唯一）．
20．解：（1）∵对称轴为直线l：x＝1，
∴x=−b2=1．
∴b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x﹣3．
∴C（0，﹣3），
∴x1＝﹣1或x2＝3，
∴点A（﹣1，0）、B（3，0）；
（2）①连接BC，交直线l于点P，此时P与A，C距离之和最短，
设直线BC解析式为 y＝mx+n，
由点B、C的坐标得，直线BC解析式为 y＝x﹣3．
∴P（1，﹣2）
故点P为（1，﹣2）时，P与A，C距离之和最短，最短为BC=32；
②存在，理由：
设点P（1，t），点Q（m，n），
当AC为对角线时，
由中点坐标公式得：﹣1＝m+1，则m＝﹣2，
即点Q（﹣2，5）；
当AQ或AP为对角线时，
同理可得：m﹣1＝1或﹣1+1＝m，
解得：m＝0（舍去）或2，
即点Q（2，﹣3），
综上，Q（﹣2，5）或（2，﹣3）．
21．（1）证明：延长ED至点F，使DF＝DE，连接AF，
∵DE是△ABC 的中位线，
∴AD＝BD，BE＝EC，
∵∠ADF＝∠BDE，
∴△ADF≌△BDE（SAS），
∴AF＝BE，∠F＝∠FEB，
∴AF∥EC，AF＝EC，
∴四边形AFEC为平行四边形，
∴EF∥AC，EF＝AC，
∴DE∥AC，DE=12AC；
（2）猜想：AC∥GH（或AC与GH在同一直线上），AC＝GH．理由如下：
①当点F不在过点B且与AC平行的直线上时，
方法一：
如图2.1，连接GF，AG，BF，FH，CH，
∵点F分别绕着点D旋转180°得到点G，
∴DG＝DF，G，D，F三点共线．
∴∠ADG＝∠BDF．
∵DE是△ABC 的中位线，
∴AD＝DB，
∴△ADG≌△BDF（SAS），
∴AG＝BF，∠GAD＝∠FBD，
∴AG∥BF．
同理BF＝CH，BF∥CH，
∴AG＝CH，AG∥CH，
∴四边形AGHC为平行四边形，
∴AC∥GH，AC＝GH；
方法二：
如图2.2，连接GF，FH，DE，
∵点F分别绕着点D旋转180°得到点G，
∴DG＝DF，G，D，F三点共线，
同理，FE＝EH，E，H，F三点共线．
∴DE∥GH，DE=12GH，
又DE∥AC，DE=12AC．
∴AC∥GH，AC＝GH；
②当点F在过点B且与AC平行的直线上时，如图2.3，
连接FD并延长交直线AC于G'，连接FE并延长交直线AC于H′，
∵BF∥AC，
∴∠A＝∠ABF，
又 AD＝BD，∠ADG'＝∠BDF，
∴△ADG′≌△BDF（ASA），
∴AG'＝BF．FD＝DG'，
∴G'可以看作是点F绕着点D旋转180°而得到，
又点F分别绕着点D旋转180°得到点G，
∴G'与G重合，
∴AG＝BF，
同理，H'与H重合，CH＝BF，
∴GH和AC在同一直线上，AG＝CH，
∴AG+GC＝CH+GC，即AC＝GH，
综上所述，AC∥GH（或AC与GH在同一直线上），AC＝GH；
（3）如图3，连接GH，
由（2）可知，AC＝GH，AC∥GH，
又AC＝4，∠BAC＝90°，
∴GH＝4，GH⊥AC，
∴四边形AGBH的面积=12×3×4＝6．落在圆内的米粒数m
落在正方形内的米粒数n
频率mn
450
600
b
题号
1
2
3
4
5
6
答案
D
C
B
A
B
C
7.1 8.5 9. 2 10. 58 11. 10 12.22或2+2或2−2
1
2
3
4
1
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）
（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）
（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）