2025北京东城高三下高考一模数学试卷（教师版）

这是一份2025北京东城高三下高考一模数学试卷（教师版），共11页。
2025.4
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）下列函数中，定义域为的是
（A）（B）
（C）（D）
（3）在的展开式中，的系数为，则的值为
（A）（B）
（C）（D）
（4） 中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.一杯℃的热红茶置于℃的房间里，茶水的温度（单位：℃）与时间（单位：min）的函数的图象如图所示.下列说法正确的是
（A）若，则
（B）若，则
（C）若，则
（D）若，则
（5）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边落在第一象限，则下列三角函
数值中一定大于零的是
（A） （B）
（C） （D）
（6）已知是各项均为正整数的无穷等差数列，其中的三项为，，，则的公差可以为
（A）（B）
（C） （D）
（7）长度为的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最小值为
（A）（B）
（C）（D）
（8） 已知，，则“”是“”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）祈年殿（图1）是北京市的标志性建筑之一，距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地
面的28根木柱，分三圈环形均匀排列.内圈
有4根约为19米的龙井柱，寓意一年四季；
中圈有12根约为13米的金柱，代表十二个
月；外圈12根约为6米的檐柱，象征十二
个时辰. 已知是由一根龙井柱和两根金
柱图2
图1
，形成的几何体（图2）
中，米，，则
平面与平面所成角的正切值约为
（A） （B）
（C） （D）
（10）已知集合，. 如果有且只有两个元素，则实数的取值范围为
（A） （B）
（C） （D）
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）若复数满足，则 .
（12）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正
方形的边长为，则_______； _______．
（13）已知抛物线的焦点为，点为上任意一点，且总有，则的一个值可以为_______．
（14）已知函数，若的最小正周期为，则 ；若存在，使得，则的最小值为 ．
（15）已知数列满足，且，给出下列四个结论：
① 若，当时，；
② 若，当时，；
③ 若，对任意正数，存在正整数，当时，；
④ 若，对任意负数，存在正整数，当时，．
其中正确结论的序号是_______．
解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
在△ABC中，，，．
（Ⅰ）求的值及△ABC的面积；
（Ⅱ）求证：．
（17）（本小题14分）
如图，在几何体中，四边形为平行四边形，平面平面，,，.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）已知点到平面的距离为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的长.
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
（18）（本小题13分）
据国家相关部门统计，2023年华东地区、东北地区主要省份的水稻、小麦的播种面积和产量数据见表1.
表1
（Ⅰ）从表1中的华东地区随机抽取1个省份，求该省水稻产量比小麦产量少的概率；
（Ⅱ）从表1的 9个省份中随机抽取2个，设为水稻播种面积排在前5名且属于东北地区省份的个数，求的分布列与数学期望；
（Ⅲ）在2023年华东地区、东北地区和华北地区主要粮食作物的播种面积及其采用新技术的播种面积占该作物总的播种面积的比值（简称新技术占比率）数据见表2.
表2
记华东地区和东北地区水稻播种总面积的新技术占比率、华东地区和华北地区小麦播种总面积的新技术占比率、东北地区和华北地区玉米播种总面积的新技术占比率分别为，，. 依据表2中的数据比较，，的大小. （结论不要求证明）
（19）（本小题15分）
已知椭圆过点，离心率为，上的点
关于轴的对称点为．设为原点，， 过点与轴平行的直线交于点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点在以为直径的圆上，求的值．
（20）（本小题15分）
设函数，曲线在处的切线方程为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求不等式的解集；
（Ⅲ= 3 \* ROMAN）已知，其中，直线的方程为. 若，且，求证：．
（21）（本小题15分）
已知有限数列满足．对于给定的，若中存在项满足()，则称有项递增子列；若中存在项满足()，则称有项递减子列．当既有项递增子列又有项递减子列时，称具有性质．
（Ⅰ）判断下列数列是否具有性质；
= 1 \* GB3 ① ； = 2 \* GB3 ② .
（Ⅱ）若数列中有，证明：数列不具有性质；
（Ⅲ）当数列具有性质时，若中任意连续的项中都包含项递增子列，求的最大值．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）C（2）B（3）D（4）A （5）C
（6）C（7）A（8）A（9）B （10）D
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（ 11 ） （12）；
（13）（答案不唯一） （14）2；
（15） = 1 \* GB3 ① = 3 \* GB3 ③ = 4 \* GB3 ④
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，所以. 所以为锐角．
因为，所以．
由余弦定理，得.
解得.
△ABC的面积. ………………………7分
（Ⅱ）由，，得.
.
因为为锐角，所以.
又
由，所以. ………………………13分
（17）（共14分）
解：（Ⅰ）因为四边形为平行四边形，所以.
因为平面，平面，所以平面.
因为，平面，平面，所以平面.
因为，所以平面平面.
因为平面，所以平面. ………………5分
（Ⅱ）选条件①：.
因为平面平面,平面平面，
，平面，所以平面.
因为平面，所以.
因为，，
所以平面.所以.
如图建立空间直角坐标系，设，
则，，，.
所以，.
设平面的法向量为，则 即
令，则，.于是.
由于，点到平面的距离为，
所以，解得.
所以的长为. ………………14分
选条件②：．
因为平面平面，平面平面，，
平面，所以平面. 所以. 所以.
因为，，，所以.
所以. 所以.
以下同选条件①. ………………14分
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）在华东地区的6个省份中，水稻产量比小麦产量少的省份有安徽省和山东省，所以在华东地区的6个省份中随机抽取一个省份，该省水稻产量比小麦产量少的概率为. ………………4分
（Ⅱ）在表1中水稻的播种面积排在前5名的省份是江西省、黑龙江省、安徽省、江
苏省和吉林省，其中属于东北地区的省份是黑龙江省和吉林省.
设为水稻播种面积排在前5名且属于东北地区省份的个数，由题设，的所
有可能值为0，1，2.
；
；
.
的分布列为：
因为，
所以 . ………………10分
（Ⅲ） . ………………13分
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）由题意，得解得．
所以椭圆的方程为． ………………5分
（Ⅱ）由点有，且．
又，有.
因为过点与轴平行的直线交于点，
设，，则．
因为点在以为直径的圆上，所以.
即.
所以.
因为，，
所以.
由及，有.
即点在以为直径的圆上时，． ………………15分
（20）（共15分）
解：（Ⅰ）由得，
，．
由题设知，
解得． ………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．
令，则．
与的变化情况如下表：
当时，取得最小值，即当时，.
因此在区间上单调递增．
因为，
所以当时，；当时，．
综上，不等式的解集为. ………………9分
（Ⅲ= 3 \* ROMAN）由题设知，，
直线的方程为．
令，
则，.
由（Ⅱ）知在区间上单调递减，
因为，所以，
因为，
所以.
则存在，使得．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
又因为，，所以当时，.
因为，所以．
因为，所以．
由（Ⅱ）知在区间上单调递增，
因此． ………………15分
（21）（共15分）
解：（Ⅰ）数列 = 1 \* GB3 ①具有性质；
数列 = 2 \* GB3 ②不具有性质． ………………4分
（Ⅱ）假设数列具有性质，则中存在项递增数列和项递减数列．
因为，所以为，为．
所以任意，在中至少有一项.
因为中有项，所以存在在中恰出现一次，不妨记为.
记，则必有．
因为递增，递减，
所以数列中排在前面的项至少有，共项，
排在后面的项至少有，共项．
因为数列中有项，所以是第项，即.
这与题设矛盾，所以假设不成立，故数列不具有性质． ………………9分
（Ⅲ）当数列具有性质时，
记的项递增子列为和项递减子列为，
由（ = 2 \* ROMAN II）知，数列中恰有一项既是的项也是的项，
记，所以．
所以数列的前项由组成．
因为，
所以项数最多的递增子列只能是或
．
所以递增子列的项数最多为．
数列的后项由组成．
因为，
所以项数最多的递增子列是或
．
所以递增子列的项数最多为. 所以．
因为，所以
= 1 \* GB3 ①当为奇数，时，有最大值为，所以．
构造数列，
该数列具有性质且满足任意连续的项中，都包含项的递增子列．
= 2 \* GB3 ②当为偶数，时，有最大值为，所以．
构造数列，
该数列具有性质且满足任意连续的项中，都包含项的递增子列．
综上所述， …………………15分

水稻
小麦

播种面积（千公顷）
产量（万吨）
播种面积（千公顷）
产量（万吨）
华东地区
江苏省
2221.0
2003.2
2389.5
1373.5
浙江省
649.0
485.3
152.6
66.4
安徽省
2500.7
1609.8
2862.7
1740.7
福建省
601.1
394.6
0.1
0.0
江西省
3383.9
2070.7
11.3
3.5
山东省
101.0
86.1
4008.9
2673.8
东北地区
辽宁省
500.5
412.9
2.0
0.8
吉林省
828.8
682.1
5.0
1.7
黑龙江省
3268.5
2110.0
19.3
7.5

粮食
作物
播种面积
（千公顷）
新技术
占比率
粮食
作物
播种面积
（千公顷）
新技术
占比率
华东地区
水稻
9456.7
0.7
小麦
9425.0
0.6
东北地区
水稻
4597.8
0.55
玉米
13800.0
0.65
华北地区
小麦
3184.5
0.65
玉米
9564.7
0.6
0
1
2
↘
0
↗