福建省厦门第一中学2025-2026学年高三下学期第一次周测数学试题含答案

这是一份福建省厦门第一中学2025-2026学年高三下学期第一次周测数学试题含答案，共15页。
注意事项:
1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名. 考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号.回答非选择题时, 将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束, 考生必须将试题卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个 选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A=x∣x20 的最小正周期为 π ,则下列结论正确的是 ( )
A. ω=2 B. y=fx 的图象关于直线 x=π8 对称
C. fx 关于点 −π8,0 中心对称 D. fx+π4 在 0,π4 单调递减
10. 某校有男生 m 人，女生 n 人，且男生身高的均值为 x1 ，方差为 S12 ，女生身高的均值为 x2 ,方差为 S22 ,全体学生身高均值和方差分别为 x,S2 ,则下列说法一定正确的是( )
A. 若 x1=x2 ,则 x=12x1+x2 B. 若 m=n ,则 x=12x1+x2
C. 若 x1=x2 ,则 S2≥12S12+S22 D. 若 m=n ,则 S2≥12S12+S22
11. 在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，点 E 为正方形 ABCD 内的动点 (包含边界), 点 F 为 BC 的中点,则( )
A. 三棱锥 A1−B1D1E 的体积为定值
B. 若 D1E⊥B1D ,则动点 E 的轨迹长度为 22
C. 若点 E 在线段 AB 上 (不包含端点),则四棱锥 D1−AECD 存在外接球
D. 若点 E 为 AB 的中点，则过 D1,E,F 三点的平面与该正方体的截面周长为 213+2
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若角 α+π4 的终边经过点 P−3,4 ，则 sin2α= _____.
13. 圆 C1:x2+y2=4 与圆 C2:x2+y2+8x+6y+9=0 的两条公切线的交点坐标为_____.
14. 已知 △ABC 的周长为 2,若 sin2A+sin2B+sinC=2 ， csAcsB>0 ，则 △ABC 内切圆半径的最大值为_____.
四、解答题:共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,a1=1,a2=3,Sn−1+Sn+Sn+1=3n2+2n≥2,n∈N∗ . (1) 求 a3,a4 ；
(2) 求 S3n .
16. 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 a=32,c=3,tanB+tanCtanBtanC−1+1=0 . (1)求 C ；
(2)若点 P 为 △ABC 的外心，求 △PAC 的周长.
17. 已知函数 fx=x+asinx−xcsx .
( 1 )当 a=1 时，求 fx 在点 π,fπ 处的切线方程；
( 2 )若 fx 在区间 0,π2 上有零点，求实数 a 的取值范围.
18. 已知 O 为坐标原点,动圆 O1 过点 M0,1 且与直线 y=−1 相切.
(1)设圆 O1 的圆心 O1 的轨迹为曲线 C ，求曲线 C 的方程；
(2) (i) 过点 0,2 斜率为 k 的直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,过 A,B 分别作曲线 C 的两条切线 l1,l2 ,记 l1 与 l2 的交点是 P ,若 △PAB 的面积为 32,求 k 的值;
(ii) 将 △AOB 绕 x 轴旋转一周得到一个旋转体，求该旋转体体积的最小值.
19. n 维空间中点的坐标可以表示为 x1,x2,x3,⋯,xn ,其中 xii=1,2,3,⋯,n 为该点的第 i 个坐标. 定义 n 维空间中任意两点 Ax1,x2,x3,⋯,xn,By1,y2,y3,⋯,yn 之间的平均离差二乘距离 dA,B=1ni=1nxi−yi2 . 设 n 维空间点集 M=x1,x2,x3,⋯,xn∣xi=0 或 1,其中 i=1,2,3,⋯,n}n≥2.
(1)若 n=3 ， A,B∈M ，且点 A0,1,0 ， dA,B=23 ，写出所有的点 B 的坐标；
(2)任取 n 维空间中的不同两点 P,Q∈M .
(i) 若 n=4 ,求 dP,Q=12 的概率;
(ii) 记随机变量 X=dP,Q ,求 EX2 的最大值.
1. B
A={x∣−1π2 ,则 A+B