安徽省十五校期末联考2025-2026学年上学期九年级数学试题

这是一份安徽省十五校期末联考2025-2026学年上学期九年级数学试题，共32页。试卷主要包含了 在中，，，且，则的长为等内容，欢迎下载使用。
（试题卷）
注意事项：
1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟；
2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页；
3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的；
4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 已知的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是（ ）
A. 点在上B. 点在外C. 点在内D. 无法确定
2. 已知，则值为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 反比例函数上有两个点，，则，满足关系（ ）
A. B. C. D. 无法确定
5. 在中，，，且，则的长为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，将绕点C旋转，得到，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，内接于，，，为的直径，与交于点E，且，则的值为（ ）
A. B. 2C. 3D.
8. 如图，在中，，点在边上，连接，过点作交于点，的延长线交于点，若，，，求的值（ ）
A. B. C. D. 2
9. 已知和分别是抛物线上的两点，若对于，，都有，则t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在中，，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，则的最大值是（ ）
A 9B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 二次函数的图像与y轴交点的纵坐标为______．
12. 如图，是的直径，位于两侧的点C，D均在上，若，则______．
13. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解为______．
14. 如图，的直径，E是的中点，过E作交于，的延长线与的延长线交于点F，连接．
（1）______；
（2）若，则______．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和点的坐标分别为和．

（1）以原点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出；
（2）在所给的网格图中描出边的中点M，并写出点M的坐标．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图所示，湖边A、B两点间计划修建观景桥，其侧面为下图所示底角为的等腰梯形．为了计算A和B间桥面的长度，从湖边另取一辅助测绘点C，经测量得：，，米，求A和B间桥面的长度（精确到0.01米）．（参考数据：，，）
18. 如图所示，函数，的图象交于点．
（1）求出点的坐标；
（2）直线与函数，图象交于点、两点，求的长度．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 某景区销售一款茶叶，如果每罐利润为元，每天可售出件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．
（1）若该景区每天销售这种茶叶可获利元，则销售单价增加了多少？
（2）若市场规定该种茶叶每罐的利润不能超过元，那么当每罐利润为多少元时每天销售这种茶叶可获利最大？最大利润是多少？
20. 如图，是的内接三角形，是直径，是的中点，交的延长线于．
（1）求证：是的切线；
（2）点是上一点，连接，，以为圆心，长为半径画圆弧，使点在该圆弧上，再将分别沿，向内翻折，若，求图中阴影部分的面积和．（结果保留）
六、（本题满分12分）
21. 已知有按如下规律排列的一组分数：
，，，，，…，（n正整数）
我们定义一种“倒数绝对差”运算：对于给定的两个正数a和b，其倒数绝对差记为．
（1）计算的值；
（2）设m，k均为正整数，且；
①直接用含m，k的代数式表示第m项与第k项分数；
②求第m项与第k项分数的“倒数绝对差”表达式（结果化为最简形式）．
七、（本题满分12分）
22. 如图，四边形是正方形，点在边上，点在边的延长线上，，射线交对角线于点，交线段于点．
（1）若：
①求的长；
②求证：；
（2）求证：．
八、（本题满分14分）
23. 已知抛物线的顶点为P．
（1）若点P的坐标为，求函数解析式；
（2）若点P在射线上运动，设点P的横坐标为t，点Q是平面内一动点，始终满足，则：
①求a，b（用含t的式子表达）；
②若抛物线与x轴交于点和（），求的最小值．安徽省2025—2026学年度秋学期十五校期末联考
九年级数学
（试题卷）
注意事项：
1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟；
2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页；
3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的；
4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 已知的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是（ ）
A. 点在上B. 点在外C. 点在内D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径的大小关系判断位置：若，则点在圆内；若，则点在圆上；若，则点在圆外，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵的半径，点到圆心的距离，
∴，
∴点在内，
故选：．
2. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查分式的求值，先去分母，然后移项合并，最后两边除以即可．掌握分式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
即的值为．
故选：A．
3. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题关键是掌握中心对称图形的概念．
根据中心对称图形的概念，对四个图形逐一识别，再作出选择．
【详解】解：不是中心对称图形，故A不符合；
不是中心对称图形，故B不符合；
不是中心对称图形，故C不符合；
是中心对称图形，故D符合；
故选：D．
4. 反比例函数上有两个点，，则，满足关系（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入反比例函数解析式求出和的值是解题的关键．
将点的坐标代入反比例函数解析式，分别求出和的值，然后计算它们的和即可．
【详解】解：把代入解析式，得，解得，
把代入解析式，得，解得，
∴．
故选：B．
5. 在中，，，且，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形．利用正切函数的定义和勾股定理即可求解．
【详解】解：在中，，设，，，
∵，，，
∴，整理得，
由勾股定理，，
∴，
解得（负值已舍），
∴，解得（负值已舍），
故选：C．
6. 如图，将绕点C旋转，得到，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了图形旋转的性质，熟练掌握图形旋转的性质是关键．
先由已知求出，再根据图形旋转的性质得到，可求得，从而可求得答案．
【详解】解：，，
绕点C旋转，得到，
，
，
，
．
故选：D．
7. 如图，内接于，，，为的直径，与交于点E，且，则的值为（ ）
A. B. 2C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，有关圆周角的性质，平行的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题的关键．
由等腰三角形的性质及圆的基本性质得，得出，确定，再由等腰三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，
为的直径，
，
∴，
，
，
∴，
，
，
∴，
∴，
故选：C．
8. 如图，在中，，点在边上，连接，过点作交于点，的延长线交于点，若，，，求的值（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理，相似三角形的判定与性质，过点作，延长交于点，分别证明和，根据相似三角形的性质可得结论．
【详解】如图，过点作，延长交于点，
在中，，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
故选：A．
9. 已知和分别是抛物线上的两点，若对于，，都有，则t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、含参不等式的解法以及分类讨论思想。掌握通过因式分解简化表达式，并依据参数符号分类讨论解集的方法是解题的关键．通过计算 ​并因式分解为，将条件转化为不等式恒成立问题．随后分、和三种情况讨论区间与解集的包含关系，最终确定为有效范围．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
由题意，在，，
① 当，，
解得：，
∵要对满足成立，
∴有，
解得：；
②当，，
解得或，
∵要对满足成立，
此时需满足或，
解得：或，与矛盾，
因此，当无解；
③当时，，此时，不满足条件，排除．
综上所述，只有当时条件成立．
故选：B．
10. 如图，在中，，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，则的最大值是（ ）
A. 9B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，正确作出辅助线是解题的关键．
过点作，且使，连接，，证明得出，再根据勾股定理求出的长即可得出结果．
【详解】解：，
取的中点，连接，
，
如图，过点作，且使，连接，，
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
的最大值为，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 二次函数的图像与y轴交点的纵坐标为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了求抛物线与y轴的交点坐标，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
求二次函数与y轴交点的纵坐标，需令，代入函数解析式计算即可．
【详解】解：当时，．
故答案为：2．
12. 如图，是的直径，位于两侧的点C，D均在上，若，则______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求出，利用补角求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，不等式可理解为一次函数小于反比例函数时对应x的取值范围，从图象上看，就是一次函数在反比例函数图象下方，观察图象可得，一次函数在反比例函数下方时，对应的x取值范围．
先求出反比例函数解析式为，得到，再根据不等式的解集化为一次函数图象在反比例函数图象下方对应的x取值范围求解即可．
【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点、，
∴，
∴将代入得，，
∴，
∴不等式的解集是：或，
故答案为：或．
14. 如图，的直径，E是的中点，过E作交于，的延长线与的延长线交于点F，连接．
（1）______；
（2）若，则______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）连接，利用等弧所对的圆周角相等得，利用垂径定理得，所以，进而可求出的值；
（2）根据圆周角定理得到，设交于点H，则，得到，即，可知，根据勾股定理求出，则，根据勾股定理求出，根据圆周角定理得到，根据三角函数求出，根据勾股定理求出，，证明，得到，即，求解二元一次方程组即可．
【详解】解：（1）如图，连接，
∵E是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴
∴．
∵，，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）∵的直径，
∴，的半径
∴．
设交于点H，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】0
【解析】
【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
先计算特殊角三角函数值，绝对值，零指数幂，再计算加减即可．
【详解】解：原式．
16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和点的坐标分别为和．

（1）以原点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出；
（2）在所给的网格图中描出边的中点M，并写出点M的坐标．
【答案】（1）见解析 （2），见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标系中画位似图形，利用网格找出线段中点，熟知位似图形的性质是解题的关键．
（1）根据点A和点的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以2即可得到的坐标，然后画图即可；
（2）利用网格找出中点，然后读出点的坐标即可．
【小问1详解】
解：∵点A和点的坐标分别为和，
∴相当于将三角形放大2倍，
如图所示：即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示：中点M的坐标为： ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图所示，湖边A、B两点间计划修建观景桥，其侧面为下图所示的底角为的等腰梯形．为了计算A和B间桥面的长度，从湖边另取一辅助测绘点C，经测量得：，，米，求A和B间桥面的长度（精确到0.01米）．（参考数据：，，）
【答案】米．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用（其他问题），利用三角形的内角和定理得出是解题的关键．
由三角形的内角和定理可得，然后根据即可求出、两点之间的距离，再由矩形的性质及含30度角的性质求解得出米，结合图形求解即可．
【详解】解：，，
，
，
在中，
，米，
（米），
如图所示标注字母：
根据题意得：四边形为矩形，
∴米，
∵，
∴米，米，
∵侧面为下图所示的底角为的等腰梯形，
∴米，米，
∴米，
∴米
∴A和B间桥面的长度为米．
18. 如图所示，函数，的图象交于点．
（1）求出点的坐标；
（2）直线与函数，的图象交于点、两点，求的长度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查一次函数和反比例函数交点问题，掌握利用解方程求交点坐标是解题的关键．
（1）联立，解交点坐标即可；
（2）当时求出，的值即可解题．
【小问1详解】
解方程组，
解得或，
，
；
【小问2详解】
当时，，，
．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 某景区销售一款茶叶，如果每罐利润为元，每天可售出件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．
（1）若该景区每天销售这种茶叶可获利元，则销售单价增加了多少？
（2）若市场规定该种茶叶每罐的利润不能超过元，那么当每罐利润为多少元时每天销售这种茶叶可获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）销售单价增加了元或元
（2）当每罐利润为元时，每天销售这种茶叶可获利最大，最大利润是元
【解析】
【分析】本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键．
（1）设销售单价增加额为x元，根据利润等于每罐利润乘以销售量列方程求解．
（2）建立利润关于单价增加额的二次函数，利用二次函数性质求最值，并结合利润限制条件确定实际最大值点．
【小问1详解】
解：设销售单价增加x元，每天售出y件，
根据题意得，
该景区每天销售这种茶叶可获利元，
，
解得：，，
故销售单价增加了或元时，该景区每天销售这种茶叶可获利元．
【小问2详解】
解：设销售单价增加额x元，每天销售这种茶叶可获利w元，
根据题意得：，
∵市场规定该种茶叶每罐的利润不能超过元，即，
∴，
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
∴当时，w有最大值，此时每罐利润（元），利润最大值为（元）．
20. 如图，是的内接三角形，是直径，是的中点，交的延长线于．
（1）求证：是的切线；
（2）点是上一点，连接，，以为圆心，长为半径画圆弧，使点在该圆弧上，再将分别沿，向内翻折，若，求图中阴影部分的面积和．（结果保留）
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理，圆的切线判定以及扇形面积的计算，掌握圆的切线的判定与扇形的面积计算是解题的关键．
（1）通过连接，利用圆周角定理、平行线性质等证明，从而判定直线是圆的切线；
（2）连接，先根据已知条件判断等腰直角三角形，再利用勾股定理求出，进而计算，最后求出阴影部分面积．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
是的内接三角形，是直径，
，
在中，，
是的中点，
，是的半径，
根据圆周角和圆心角定理得，
交的延长线于，
，
，
在中，，
，
又是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：如图，连接，
点是上一点，以为圆心，长为半径画圆弧，使点在该圆弧上，
，
是的内接三角形，是直径，，
，，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
由勾股定理得，
，，
又，
．
六、（本题满分12分）
21. 已知有按如下规律排列的一组分数：
，，，，，…，（n为正整数）
我们定义一种“倒数绝对差”运算：对于给定的两个正数a和b，其倒数绝对差记为．
（1）计算的值；
（2）设m，k均为正整数，且；
①直接用含m，k的代数式表示第m项与第k项分数；
②求第m项与第k项分数的“倒数绝对差”表达式（结果化为最简形式）．
【答案】（1）
（2）①第m项分数为，第k项分数为；②
【解析】
【分析】本题考查了分数序列的规律和倒数绝对差的运算，掌握序列的通项公式推导和倒数绝对差的代数化简方法是解题的关键．
（1）本小题是基础计算题，直接根据倒数绝对差的定义，将给定分数​和​代入公式​​进行运算，即可得出结果​．
（2）①根据分数规律可直接得第m项分数为，第k项分数为；
②将通项公式代入倒数绝对差运算，通过代数化简（如通分和绝对值处理）得到最简表达式．
小问1详解】
由题意，，
故答案为：．
【小问2详解】
①根据规律可得，第m项分数为，第k项分数为；
②．
故答案为：．
七、（本题满分12分）
22. 如图，四边形是正方形，点在边上，点在边的延长线上，，射线交对角线于点，交线段于点．
（1）若：
①求的长；
②求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）①；②见解析
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
（1）①根据相似三角形的判定和性质及正方形的性质求解即可；②先证明，再根据全等三角形的性质及外角的定义得出，由等角对等边即可证明；再由相似三角形的判定和性质得出，连接，利用平行四边形的判定和性质得出四边形为平行四边形，，再由全等三角形的判定和性质即可证明．
（2）通过证明和，利用相似三角形的性质证明即可．
【小问1详解】
解：①∵，四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
连接，如图所示：
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
八、（本题满分14分）
23. 已知抛物线的顶点为P．
（1）若点P的坐标为，求函数解析式；
（2）若点P在射线上运动，设点P的横坐标为t，点Q是平面内一动点，始终满足，则：
①求a，b（用含t的式子表达）；
②若抛物线与x轴交于点和（），求的最小值．
【答案】（1）
（2）①，；②
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、顶点公式、韦达定理及函数最值的应用．掌握利用顶点坐标设解析式、通过系数对比建立方程，以及灵活运用韦达定理和配方法求最值是解题的关键．
（1）设顶点式，展开后通过对比原函数的常数项建立方程，解得，进而得，最终确定解析式为．
（2）①由动点在射线上运动，同样设顶点式，展开后对比原函数常数项得，解得​，再代入得​；
②先利用韦达定理得，，进而表示，结合，得到，由可知该函数在取值范围内单调递增，故当时取得最小值，最终得．
【小问1详解】
解：抛物线的顶点为，
设该抛物线的解析式为，
即，
，
解得：，
该抛物线的解析式为．
【小问2详解】
①∵点P在射线上运动，点P的横坐标为t，
∴P的坐标为，
设该抛物线的解析式为，
即，
，
解得：．
②∵抛物线与x轴交于点和（），
∴，，，
∴，
，
∴或，
∵点P在射线上运动，点P的横坐标为t，
∴，，
∴，
的值随t的增大而增大，
当时，有的最小值，最小值为，
∵，，
∴．
故答案为．