安徽省合肥市三十八中学2025-2026学年八年级上学期期末模拟数学试卷

这是一份安徽省合肥市三十八中学2025-2026学年八年级上学期期末模拟数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知点和点．若直线轴，则的长是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
2. 在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（ ）
A B. C. D.
3. 点 P 在直线 上，则点 P 的坐标不可能是（ ）
A. B. C. D.
4. 若一个等腰三角形有一个角为，则这个三角形顶角为（ ）
A. B. 或C. D. 或
5. 已知图2中的两个三角形全等，则（ ）．

A. B. C. D.
6. 如图，甲、乙两位同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点于点，图中所有的点都在同一平面内，当时，根据全等三角形的知识可得到，这里判定的依据可以是（ ）
A B. C. D.
7. 在中，为直角，用无刻度的直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A和点C的距离相等．下列符合要求的作图痕迹是（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，已知在中，平分垂直平分交的延长线于，连接，若，则可以表示为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点分别在射线和射线上，且，下列结论：①是等边三角形；②当时，的周长最小；③当时，，其中正确的个数是（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
10. 在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的友好点，已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点，若的坐标为，则的友好点是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
11. 直线 上有两点和，若，则和的大小关系是___________．
12. 命题“如果两个角的和等于，那么这两个角互余”的逆命题是______命题．（填“真”或“假”）
13. 小明制作了一个跷跷板模型，如图是其几何示意图，支点是跷跷板的中点（，，三点位于同一水平线上），已知点到水平地面的距离是，当点到达点的位置时，跷跷板在竖直方向下降了，此时点到达点，则点到地面的距离为______．
14. 如图，在中，，，已知的顶点P是线段上一点，经过顶点C，与交于点D，，设与的夹角为（）．
（1）若，则的度数为_______；
（2）当是等腰三角形时，的度数为______．
三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在平面直角坐标系中，有一点．
（1）若点P在y轴上，求x的值；
（2）若点P在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点P的坐标．
16. 已知一次函数，当时，，且其函数图象平行于正比例函数图象．
（1）求一次函数表达式；
（2）求一次函数图象与坐标轴交点所围成的面积．
17. 如图，在中，，E是上一点，且，连接并延长交于点F，．
（1）求证：；
（2）猜想与的位置关系，并证明．
18. 如图，在中，，是的平分线，于点，点在AC上，，证明：
（1）；
（2）．
19. 小明运用含的三角板（其中，），探究等边三角形相关线段的关系．
（1）如图1，为等边三角形，小明把三角板顶点放在边上，点在边延长线上，三角板的斜边与射线交于点．请判断与之间的数量关系并直接写出结论．
（2）小明在图1的基础上，沿的方向平移三角板，当顶点落在边的延长线上时，得到图2，此时点即为点．请判断（1）中的结论是否改变？并说明理由．
20. 如图，的三个顶点的坐标分别为、、．
（1）在图中作出关于轴对称的，并写出点的坐标（点、、对应点分别是点、、）；
（2）在轴上找一点，使得的距离最短，在图中作出点的位置（保留作图痕迹）．
（3）的面积为___________．
21. 某商场销售甲、乙两种服装，其进价与售价的情况如下表：
现计划购进这两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润．
（3）在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件的进价减少元，售价不变，且．若最大利润为4000元，求b的值．
22. 如图，在等边中，点、分别在边、上，且，、交于点．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，若交的延长线于点，求证：；
（3）如图3，点在的延长线上，，若，用表示的值．
23. 如图，直线：分别与x轴、y轴交于点A，C，直线经过点，与交于点D，且点D的横坐标为1．
（1）求直线的函数表达式；
（2）点P是线段上一点，过点P作垂直于y轴的射线，分别与y轴和直线交于点E，F．设点P的横坐标为m．
（i）若，求点P的坐标；
（ii）若，且点P位于y轴右侧，求线段的长．进价/（元/件）
售价/（元/件）
甲种服装
160
210
乙种服装
120
150
2025-2026学年八年级上学期期末模拟卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知点和点．若直线轴，则的长是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形性质，由直线轴，可知点A和点B的横坐标相等，从而求出m的值，再代入坐标计算的长度．
【详解】解：∵轴
∴点A与点B的横坐标相等，即
∴点，点，
∴，
故选：C．
2. 在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了点的平移，掌握平移规律是解题的关键．
首先根据点平移后的对应点为，得出平移的方式，再根据平移的规律，即可得出答案．
【详解】解：∵点平移后的对应点为，
∴平移方式为向右平移个单位，向上平移3个单位，
∴点的对应点的坐标为．
故选：A．
3. 点 P 在直线 上，则点 P 的坐标不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质．通过将各点坐标代入直线方程，验证是否满足等式，不满足的点即为不可能的点，据此进行分析计算，即可作答．
【详解】解：A、当，计算，∴该点不在直线上；
B、当，计算，∴该点在直线上；
C、当，计算，∴该点在直线上；
D、当，计算，∴该点在直线上；
故选：A
4. 若一个等腰三角形有一个角为，则这个三角形顶角为（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论求解．
等腰三角形有一个角为，需分该角是顶角或底角两种情况讨论顶角的度数．
【详解】解：∵ 等腰三角形有两个角相等，
若为顶角，则顶角为；
若为底角，则另一底角为，顶角为，
∴ 顶角为或，
故选：D
5. 已知图2中的两个三角形全等，则（ ）．

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
先根据三角形内角和定理求得a、c两边的夹角，再根据全等三角形的对应角相等即可求解即可．
【详解】解：由三角形内角和的定理可得：边a、c的夹角为，
∵图中的两个三角形全等，是a、c两边的夹角，
∴．
故选：D．
6. 如图，甲、乙两位同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点于点，图中所有的点都在同一平面内，当时，根据全等三角形的知识可得到，这里判定的依据可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目中的条件，可以写出判断的依据，即可解答．解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法．
【详解】解：∵ ，
∴，
在和中，
，
∴，
故选：C．
7. 在中，为直角，用无刻度的直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A和点C的距离相等．下列符合要求的作图痕迹是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与作线段垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，作的垂直平分线，然后利用基本作图对各选项进行判断，即可解题．
【详解】解：∵在中，为直角，在边上确定一点P，使点P到点A和点C的距离相等，
∴只需要做线段的垂直平分线即可，
A、作图痕迹是线段的垂直平分线，符合题意；
B、作图痕迹不是线段的垂直平分线，不符合题意；
C、作图痕迹不是线段的垂直平分线，不符合题意；
D、作图痕迹不是线段的垂直平分线，不符合题意；
故选：A．
8. 如图，已知在中，平分垂直平分交的延长线于，连接，若，则可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，连接，过D作于G，利用角平分线的性质得出，进而证明与全等，进而解答即可．
【详解】解：连接，过D作于G，
∵平分，交的延长线于F，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
故选：A．
9. 如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点分别在射线和射线上，且，下列结论：①是等边三角形；②当时，的周长最小；③当时，，其中正确的个数是（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，角平分线的性质定理，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
过点作于点，作于点，根据角平分线的定义，角平分线的性质定理得到，可判定①；根据点到直线垂线段最短可判定②；根据等边三角形的性质，平行线的性质可判定③；由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，作于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点D是平分线上的一个定点，，
∴，
∴，
∴，且，
∴是等边三角形，故①正确；
根据点到直线垂线段最短可知当时，的值最小，
∵是等边三角形，
∴的周长为，此时周长最小，故②正确；
当时，
∵，
∴，
∵等边三角形，
∴，，即点重合，
∴，故③正确；
综上所述，正确的有①②③，共3个，
故选：D ．
10. 在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的友好点，已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点，若的坐标为，则的友好点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了点坐标规律探究，理解友好点的定义是解题的关键．
根据友好点的定义，计算前5个点的坐标，发现点的坐标每4个点为一个循环，进而确定的坐标，再根据友好点的定义得到的友好点为，即可得出答案．
【详解】解：∵点的友好点为，的坐标为
∴的坐标为，即，
同理可得，的坐标为，
的坐标为，
的坐标为，
……
∴点坐标每4次为循环，
∵，，
∴的坐标为，的坐标为，
∵，，
∴的友好点为，
∴点的友好点为，
故选：B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
11. 直线 上有两点和，若，则和的大小关系是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象与性质；根据一次函数的性质，当时，y随着x的增大而减小，由已知即可判断大小关系.
【详解】解：∵在一次函数中，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴.
故答案为：.
12. 命题“如果两个角的和等于，那么这两个角互余”的逆命题是______命题．（填“真”或“假”）
【答案】真
【解析】
【分析】本题主要考查了命题之间的关系，解决问题的关键是掌握原命题与逆命题的关系；
原命题的逆命题是“如果两个角互余，那么这两个角的和等于90°”，根据互余角的定义，该逆命题成立．
【详解】解：命题“如果两个角的和等于，那么这两个角互余”的逆命题是：“如果两个角互余，那么这两个角的和等于”，逆命题是真命题．
故答案为：真．
13. 小明制作了一个跷跷板模型，如图是其几何示意图，支点是跷跷板的中点（，，三点位于同一水平线上），已知点到水平地面的距离是，当点到达点的位置时，跷跷板在竖直方向下降了，此时点到达点，则点到地面的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质．解题的关键是根据判定三角形全等，根据全等三角形的性质得到对应高相等．
连接、，通过证明，得到对应高相等，继而得到点到地面的距离．
【详解】解：如图，连接、，
由题意得：，，
在和中，
，
∴，
∵当点到达点的位置时，跷跷板在竖直方向下降了，
∴中，边上的高为，
∴中，边上的高为，
即：当点到达点的位置时，跷跷板在竖直方向上升了，
∵，
∴当点到达点，则点到地面的距离为：．
故答案为：．
14. 如图，在中，，，已知的顶点P是线段上一点，经过顶点C，与交于点D，，设与的夹角为（）．
（1）若，则的度数为_______；
（2）当是等腰三角形时，的度数为______．
【答案】 ①. ②. 或
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理；能根据等腰三角形的腰的不同进行分类讨论是解题的关键．
（1）由等腰三角形的性质得，由三角形的内角和定理即可求解．
（2）分类讨论：当时， 当时，当时，即可求解．
【详解】解：（1），，
，
，
，
，
故答案为：．
（2）分类讨论：
当时，如下图：
，，
，
，
；
当时，如下图：
，，
，
，
；
当时，此时点P与点B重合，点D与点A重合，
，题干要求，故该情况不存在；
故答案为：或．
三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在平面直角坐标系中，有一点．
（1）若点P在y轴上，求x的值；
（2）若点P在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，点到坐标轴的距离，第一象限内点的坐标特点，
（1）在y轴上的点横坐标为，据此列出方程求解即可；
（2）根据第一象限内的点横纵坐标都为正，且点P到两坐标轴的距离和为9建立方程求出解即可得到答案．
【小问1详解】
解：点在y轴上，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：∵点在第一象限，
点P到x轴的距离为，到y轴的距离为，
点P到两坐标轴的距离之和为9，
∴，
解得，
∴，
点P的坐标为．
16. 已知一次函数，当时，，且其函数图象平行于正比例函数的图象．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求一次函数图象与坐标轴交点所围成的面积．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式以及一次函数图象和坐标轴围城的图形面积：
（1）根据一次函数的平移的性质以及待定系数法解答即可；
（2）求出该一次函数的图象与x轴，y轴的交点，即可求解．
【小问1详解】
解：∵当时，，且其函数图象平行于正比例函数的图象，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：当时，，当时，，
∴该一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，
∴一次函数图象与坐标轴交点所围成的面积为．
17. 如图，在中，，E是上一点，且，连接并延长交于点F，．
（1）求证：；
（2）猜想与的位置关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2），证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查三角形内角和定理、全等三角形的判定、全等三角形的性质等知识点，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）先根据得到两个直角三角形，再运用证明，然后运用全等三角形的性质即可解答；
（2）由全等三角形的性质可得，易得，最后结合三角形内角和定理即可解答．
小问1详解】
解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：，证明如下：
由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
18. 如图，在中，，是的平分线，于点，点在AC上，，证明：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答的关键．
（1）根据角平分线的性质得出，利用证明，根据全等三角形的性质即可得结论；
（2）利用证明，得出，结合（1）中结论，利用线段的和差关系即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵是的平分线，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【小问2详解】
证明：在和中，
，
∴，
∴，
由（1）可知，
∴．
19. 小明运用含的三角板（其中，），探究等边三角形相关线段的关系．
（1）如图1，为等边三角形，小明把三角板的顶点放在边上，点在边延长线上，三角板的斜边与射线交于点．请判断与之间的数量关系并直接写出结论．
（2）小明在图1的基础上，沿的方向平移三角板，当顶点落在边的延长线上时，得到图2，此时点即为点．请判断（1）中的结论是否改变？并说明理由．
【答案】（1）
（2）（1）中的结论不改变，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、线段的和差等知识点，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由题意可得，由等边三角形的性质可得、，易得为等边三角形可得，再根据线段的和差即可解答；
（2）运用（1）的思路解答即可．
【小问1详解】
解：∵含的三角板，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
解：（1）中的结论不改变，理由如下：
，
是等边三角形

是等边三角形


．
20. 如图，的三个顶点的坐标分别为、、．
（1）在图中作出关于轴对称的，并写出点的坐标（点、、对应点分别是点、、）；
（2）在轴上找一点，使得的距离最短，在图中作出点的位置（保留作图痕迹）．
（3）的面积为___________．
【答案】（1）图见解析，
（2）图见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，最短路径问题，三角形面积公式，根据轴对称的性质正确作图是解题的关键．
（1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得，再根据点的位置写出坐标即可；
（2）作出点A关于x轴的对称点，再连接交x轴于点，则点即为所求；
（3）利用割补法即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求，

由图可得，；
【小问2详解】
解：如图所示，点P即为所求：
【小问3详解】
解：的面积，
故答案为：．
21. 某商场销售甲、乙两种服装，其进价与售价的情况如下表：
现计划购进这两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润．
（3）在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件的进价减少元，售价不变，且．若最大利润为4000元，求b的值．
【答案】（1）
（2）最大利润为4500元
（3）b的值为4
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质，根据题意建立函数关系式是求解本题的关键．
（1）由总利润等于两种服装的利润之和可得函数关系式．
（2）先求解自变量x的取值范围，再根据一次函数增减性求最值．
（3）先建立总利润关于x的函数关系式，再结合一次函数的性质，建立关于b的方程求值即可．
【小问1详解】
解：，
即y与x之间的函数关系式为．
【小问2详解】
解：由题意，得
解得．
∵在中，，
∴y随x的增大而增大，
∴当时，y有最大值，最大值为（元），
∴最大利润为4500元．
【小问3详解】
解：
．
又∵，
∴，
∴．
∵，此时y随x的增大而增大，
∴当时，．
∵最大利润为4000元，
∴，
解得，符合题意，
∴b的值为4．
22. 如图，在等边中，点、分别在边、上，且，、交于点．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，若交的延长线于点，求证：；
（3）如图3，点在的延长线上，，若，用表示的值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理以及外角的性质；
（1）根据等边三角形的性质可得，结合已知可得，证明得出，进而根据三角形的外角的性质，即可求解；
（2）在上取一点，使得，连接，则是等边三角形，则，，设，由（1）可得，证明，进而证明得出，即可得证；
（3）在（2）的基础上，结合已知，设，则，分别表示出，即可求解．
【小问1详解】
解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴
∴
在中，
∴
∴
∴
∴
【小问2详解】
解：如图，在上取一点，使得，连接，
∵
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
设，
由（1）可得
∴
∵
∴
∴
∴
又∵，，
∴
∴，
∴，
【小问3详解】
解：如图，过点作交的延长线于点，在上取一点，使得，连接，
由（2）可知
∴
由（1）可知
∴
∴，
∵，
∴设，则，
∵是等边三角形，
∴
又∵
∴
∴
∴
∴，，
∴．
23. 如图，直线：分别与x轴、y轴交于点A，C，直线经过点，与交于点D，且点D的横坐标为1．
（1）求直线的函数表达式；
（2）点P是线段上一点，过点P作垂直于y轴的射线，分别与y轴和直线交于点E，F．设点P的横坐标为m．
（i）若，求点P的坐标；
（ii）若，且点P位于y轴右侧，求线段的长．
【答案】（1）
（2）（i）点P的坐标为或（ii）2
【解析】
【分析】（1）根据交点意义，确定，后用待定系数法求直线的函数表达式即可；
（2）（i）由题意知点P的横坐标为m，则.，根据点P，F的纵坐标相同.
，确定，根据，得到，解绝对值方程解答即可；
（ii）由（i）可知.确定点P的坐标为，，根据两点间距离公式解答即可．
本题考查了交点坐标的意义，待定系数法，坐标的基本特征，坐标表示相等的线段，熟练掌握交点的意义，待定系数法是解题的关键．
【小问1详解】
解：把代入直线：，
得，
∴.
设直线的函数表达式为.
把，代入，
得
解得
∴直线的函数表达式为．
【小问2详解】
解：（i）由题意知点P的横坐标为m，
则.
∵垂直于y轴，
∴轴，
∴点P，F的纵坐标相同.
∵点F在直线上，
∴，
解得，
∴.
∵，
∴，
解得或.
当时，；
当时，，
∴点P的坐标为或．
（ii）由（i）可知.
∵点P位于y轴右侧，，
∴，
解得，
∴点P的坐标为.
由题意知轴，
∴点P，F的纵坐标相同.
∵点F在直线上，
∴，
解得，
∴，
∴．
进价/（元/件）
售价/（元/件）
甲种服装
160
210
乙种服装
120
150