山东省枣庄市2026届高三上学期质量检测（一调）数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题
1．已知，则的虚部为（ ）
A．4B．C．D．
2．已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
4．记正项等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A．243B．81C．27D．9
5．直线被圆截得的弦长为（ ）
A．B．2C．D．4
6．记的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ）
A．B．
C．D．
7．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数．如果在前消除了的污染物，那么要消除的污染物大约需要（参考数据：，）（ ）
A．B．C．D．
8．记函数，的两个零点为和，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．在正方体中，若点为底面的中心，则（ ）
A．平面B．
C．与所成的角为D．与平面所成的角的正切值为
10．下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．已知关于的经验回归方程为，且，则
C．一组样本数据，，…，（），其中是最小值，是最大值，则，，…，的75%分位数一定与，…，的75%分位数不同
D．若事件，满足，则与独立
11．已知函数，则（ ）
A．为奇函数
B．的值域是
C．有极值
D．存在实数，，使得在上的值域为
三、填空题
12．已知双曲线（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为2，则该双曲线的实轴长为 ．
13．已知函数，若恒成立，则的取值范围是 ．
14．在中，，在上，，，与的夹角为，则的最大值为 ．
四、解答题
15．已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和，
16．如图，已知四棱台的上底面是边长为2的正方形，，底面，点，分别在棱，上．

(1)若，求证：点是棱的中点；
(2)若三棱锥的体积是，求平面与平面夹角的余弦值．
17．如图，，，圆的半径为4，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当在圆上运动时，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)过点，分别作直线交于，，，四点（，在轴的上方），且．
（ⅰ）判断四边形的形状（只提供结论，无需证明）；
（ⅱ）求四边形面积的最大值．
18．现将红色、黄色、蓝色的3个小球随机放入甲、乙、丙、丁四个盒子中（每个盒子容纳球数不限）．
(1)记甲盒中小球个数为，求的分布列和；
(2)对于两个不相互独立的事件，，，．
①若，则称事件与正相关（的发生会“促进”的发生）；若，则称事件与负相关（的发生会“抑制”的发生）；
②定义为与的相关系数．
（ⅰ）若，求证：与正相关；
（ⅱ）定义事件“甲盒中恰有一个小球”，事件“甲盒中含有红球”．求，并判断事件与的相关情况．
19．已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)设，．
（ⅰ）讨论在内的零点个数；
（ⅱ）证明：．
参考答案
1．B
【详解】因为，则，
所以的虚部为.
故选：B.
2．B
【详解】充分性：因为，但，所以“”不是“”的充分条件；
必要性：因为，，所以 “”是“”的必要条件；
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3．D
【详解】对于A，若，则，故A错误；
对于B，若，则，故B错误；
对于C，若，则，故C错误；
对于D，由，可得，根据不等式的性质，可得，所以D正确；
故选：D.
4．A
【详解】设正项等比数列的公比为，
且，则，
整理可得，解得或（舍去），
所以.
故选：A.
5．C
【详解】因为圆的方程为，所以圆心坐标为，半径为.
则圆心到直线的距离为.
所以弦长为.
故选：C.
6．B
【详解】由余弦定理得，
所以，
则的面积为.
故选：B.
7．C
【详解】因为，即，
设消除的污染物大约需要，
由题意可得，即，取对数可得，
两式相比可得，则，
所以要消除的污染物大约需要.
故选：C.
8．D
【详解】令，即，
联立方程，解得或，
不妨设，则，，
且，则，.
对于选项C：，故C错误；
对于选项D：，故D正确；
对于选项AB：因为，则，
且，
可得，，
则，故A错误；
且，故B错误；
故选：D.
9．ABD
【详解】以为原点建立如图所示空间直角坐标系，设，
则，
所以，又因为，所以，B选项正确；
取中点，所以，所以，又因为平面，平面，所以平面，A选项正确；
设与所成的角为，，
所以，所以与所成的角为，C选项错误；
设平面的法向量为，设与平面所成的角为，
则，所以，
所以，所以D选项正确.
故选：ABD
10．BD
【详解】对于A，由于，，则，故A错误，
对于B，将代入可得，故，B正确；
对于C，将原来17个数从小到大排列，，
则17个数的75%分位数为17个数中的第13个数，
去掉其中最大和最小两个数据后，，
故剩下的15个数据的75%分位数为15个数中的第12个数字，也是17个数中的第13个数，故两者可能相等，C错误，
对于D，，所以相互独立，因此也相互独立，D正确，
故选：BD.
11．ABD
【详解】对于A，由，，
则，
所以为奇函数，故A正确；
对于B，由，
而，则，即，
则，即，
所以的值域是，故B正确；
对于C，由B知，，
因为函数在上单调递增，且，
所以函数在上单调递减，
则在上单调递增，无极值，故C错误；
对于D，由C知，函数在上单调递增，
若在上的值域为，
则，
所以方程在上有两个不相等的实根，
则与在上有两个交点，
结合为奇函数，在上单调递增，且的值域是，
且，，
可作出函数与的大致图象如下：

由图可知与在上有两个交点，
因此存在实数，，使得在上的值域为，故D正确.
故选：ABD
12．4
【详解】由抛物线方程可得，解得，故抛物线焦点坐标为，
因双曲线（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，故，
又离心率为，解得，则该双曲线的实轴长为.
故答案为：4.
13．
【详解】根据题意知，，所以可知为奇函数，
而单调递增，单调递减，即单调递增，所以单调递增，
而恒成立，则即恒成立，
所以可得恒成立，
当，恒成立，所以符合条件；
当，恒成立，则需要且，
化简可得，综上所述.
故答案为：
14．
【详解】因为，
且，
则，
又因为，且与所成的夹角为，
则，
可得，
当且仅当时，的最大值为.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得：，解得，
所以数列的通项公式.
（2）因为，
则.
16．(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）由底面，底面，则，
又底面都是正方形，则，故两两相互垂直，
以为原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
设，，则，，，
因为，故，即，
因为点在棱上，所以，，，
所以，解得，即，
而的中点坐标为，所以点是棱的中点；

（2）设，
则，
即，
由题意，可得，
所以，则，，
设平面的法向量为，则，
令，得.
由平面的一个法向量，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17．(1)
(2)（ⅰ）平行四边形；（ⅱ）6
【详解】（1）连接，由题意知，，
则动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
即，则，
所以的方程为.
（2）（ⅰ）由题意，，且，，
结合椭圆的对称性，易知，
则四边形为平行四边形.
（ⅱ）由（ⅰ）知，四边形为平行四边形，为其中心，
则四边形面积为，
由题意，设直线的方程为，，
联立，得，
则，
，，
则
，
则四边形面积为，
令，，则，
因为函数在上单调递增，则，
则，即四边形面积的最大值为6.
18．(1)分布列见解析，期望为；
(2)（i）证明见解析；（ii），与正相关.
【详解】（1）由题意，的可能取值为，且每个小球都有4种放法，故3个小球共有种放法，
，，，，
所以的分布列如下，
所以；
（2）（i）由，则，
所以，故与正相关，得证；
（ii）由题意，，，
所以，
结合（i）结论，故与正相关.
19．(1)；
(2)（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）证明见解析.
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以切线斜率为，
由，则曲线在处的切线方程为，即．
（2）（ⅰ）因为，所以．
令，则．
a.当时，因为，所以，，所以恒成立，
此时，在内无零点．
b.当时，因为，所以，则单调递增．
因为，所以单调递增．，
此时，在内无零点．
c.当时，因为，所以，则单调递增．
因为，，所以存在，使得，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增．
因为，所以．
因为，所以在区间内有1个零点，
所以当时，在内的零点个数为0，
当时，在内的零点个数为1．
（ⅱ）证明：由（ⅰ）知，当且时，，所以，
即．
令，则，
所以，，…，，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
D
A
C
B
C
D
ABD
BD
题号
11









答案
ABD









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