新疆2026年普通高考高三下学期三月适应性检测数学试卷含解析（word版+pdf版）

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1. 已知 ,集合 ,若 ,则
A. 1 B. 2 C. 2 或 1 D.
【答案】B
【解析】已知集合 ,且 ,所以 ,即 . 若 ,则 , 此时 ,与 矛盾,舍去.若 ,则 ,此时 , 符合条件.
2. 已知向量 ,若 ,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ,已知向量 ,因为 ,所以 , 解得 .
3.函数 在区间 上的最大值是
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】 ,在区间 上, ,所以 在 上单调递增, 所以最大值在 处取得, .
4.已知双曲线 的渐近线方程为 ,则 的值为
A. -3B. C. D.
【答案】A
【解析】已知双曲线方程 ,即 .
已知渐近线方程为 ,所以 , 即 ，解得 .
5.有 5 辆车停放在一排的 5 个相邻车位上,若甲车与乙车相邻停放,则不同停放方法的总数为
A. 24 B. 48 C. 72 D. 120
【答案】B
【解析】将甲、乙视为一个“整体”(捆绑)，甲、乙内部有 2 种排列方式(甲左乙右或乙左甲右)，把“甲乙整体”与另外 3 辆车一起排列，共 4 个元素，排列数为 ，所以总的停放方法是 种.
6.定义在 上的函数 满足 ,若函数 与 的图象有 8 个交点,则交点横坐标的和为
A. 24 B. 12 C. 8 D. 6
【答案】B
【解析】因为函数 满足 ,所以 的图象关于直线 对称. 同时函数 的图象也关于直线 对称. 若有 8 个交点,可分成 4 对,每对交点的横坐标 和 满足 , 即 ,所以所有交点横坐标的和是 .
7.已知三棱锥 平面 ，则该三棱锥外接球的表面积为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在 中,设其外接圆半径为 ,根据正弦定理 ,已知 , ,代入可得: ,所以 . 因为 平面 ,所以外接球的球心到平面 的距离 . 设外接球半径为 ,根据勾股定理 ,代入解得 ,外接球表面积 .
8.已知 ,则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 . .
因为 ,所以 .
因为 ,所以 ,所以 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知复数 满足 ,则
A. B. C. D. 的最大值为 2
【答案】ABD
【解析】设复数 ,由 可得 . 选项 , 正确; 选项 B: ,正确; 选项 C: ,只有当 时才等于 1,不是恒成立,错误; 选项D: ,因为 ,当 时, 的最大值为 ,正确.
10.函数 的部分图象如图所示,则
A.
B. 为了得到函数 的图象,可将 的图象向右平移 个单位长度
C. 的单调递增区间为
D. 若方程 在 上有且只有 6 个根,则
【答案】ACD
【解析】由图象知函数 的振幅 ,图象过 以及零点 ,且 ,得 , 则 . 选项 A: ,正确; 选项 B: ,向右平移 个单位长度得到 ,错误; 选项 C: 令 , 解得 ,即单调递增区间为 ,正确; 选项 即 ，解得 或 ，即 或 ，在 上的根依次为 ,要有且只有 6 个根,则第 6 个根是 ,第 7 个根是 , 所以 ,正确.
11.在棱长均相等的正三棱柱 中， 是 的中点，过点 ， 与 平行的平面为 ,则
A.
B. 平面 截该三棱柱所得截面为直角三角形
C. 平面 平面
D. 到平面 的距离是棱长的
【答案】ABD
【解析】设正三棱柱的棱长为 ,建立空间直角坐标系: 设 为原点, 为 轴, 为 轴, 为 轴. 则 . 平面 过 且平行于 ,设平面 内一点 , ,平面 的法向量 ,化简为 . 选项 A: ,所以 ,正确; 选项 B:平面 与棱柱交于 ，三边长为 ，满足勾股定理，为直角三角形,正确; 选项 C: 平面 的法向量 ,平面 与平面 不垂直,错误; 选项 D: 平面 到平面 的距离等于 到平面 的距离,平面 的方程为 ，距离 ，是棱长的 ，正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 的内角 的对边分别为 ,若 的面积为 ,则 ________.
【答案】
【解析】 ,根据余弦定理 ,代入得 ，即 . 因为在三角形中 ，所以 .
13.若函数 为偶函数,则 _______.
【答案】 1
【解析】已知 是偶函数,所以 ,即 ,对任意 成立. , 所以 ,解得 .
14.已知椭圆 ，过左焦点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点(点 位于 轴上方)， 若 ，则直线 的斜率为________.
【答案】
【解析】由已知,左焦点 的坐标为 . 设过点 的直线 斜率为 ,则直线方程为 . 设 (因为点 位于 轴上方,所以 ). 因为 , ,满足 ,所以 . 将 代
入椭圆方程 ,整理得 ,设此方程两根为 , ,所以 ,化简后可得 . 因 且 ,故 ,即 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知数列 的前 项和为 , 是首项为 1,公差为 的等差数列.
(1)求 ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】(1) 是首项为 1,公差为 的等差数列,
,化简得 ,
则 ,
当 时， ，
两式相减得, ,
也满足上式,
. 6 分
(2) , 则
,
数列 的前 项和 . 13 分
16.如图，在多面体 中，四边形 ， 均为矩形， ， ， 点 为线段 上一点，且 平面 .
(1)若 平面 ，求证:点 是 的中点；
(2)若直线 与平面 所成角的大小为 ， 求 .
【解析】(1)证明:连接 ,交 于点 ,连接 ,
平面 平面 ,平面 平面 ,
在矩形 中, 点 为线段 的中点,
点 是 的中点. 7 分
(2)解: 平面 ,
为直线 与平面 所成的角,
,
又 平面 ,
故 为等腰直角三角形,
.
在 Rt 中, ,
,
. 15 分
17.某市为提升学生们的数学素养, 举办了一场“数学文化素养知识大赛”, 已知共有 10000 名学生参加了比赛, 现从参加比赛的全体学生中随机抽取 100 人的成绩作为样本, 得到如下频率分布直方图:
(1)若规定成绩较高的前 30% 的学生获奖，请求出 a 的值并估计获奖学生的最低分数线；
(2)现从成绩位于 的样本中，按分层随机抽样的方法选取 8 人，再从这 8 人中随机选取 2 人，设这 2 人中成绩落在 [60,70) 内的人数为 ，求 的分布列；
(3)由频率分布直方图可认为该市全体参赛学生的成绩 服从正态分布 ，其中 可近似为样本中的 100 名学生初赛成绩的平均值 (同一组数据用该组区间的中点值代替),且 . 从该市所有参赛学生中任取一人,试估计该生的成绩高于 85.6 分的概率.
[参考数据: ; 若 ,则 .
【解析】
(1) 由频率分布直方图易知, ,解得 , 由图知, 的频率为 的频率为 的频率为 0.54 ,
获奖学生最低分数线落在 内,不妨设为 ,
则 ,解得 ,
估计获奖学生的最低分数线为 76 分. 4 分
(2)由图可知， ， 与 的频率之比是0.3:0.4:0.1=3:4:1,
根据分层随机抽样的方法可知,在 内抽取 3 人,在 内抽取 4 人, 在 内抽取 1 人. 则 的可能取值为0,1,2,
的分布列为
11 分
(3) ,
. 15 分
18.函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若函数 有两个极值点 ，证明: .
(参考数据: ).
【解析】(1) 函数 的定义域为 ,
方程 的判别式 ,
当 时, 只有一个正实数解 ,
当 时, ,当 时, ,
函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增. 6 分
(2)由(1)可知 ，
,
要证 ,
即证 .
令 ,
则 ,
令 ,则 ,
当 时， 在区间 上单调递增， ，
又 在区间 上单调递增， ,
在 上单调递减,
,
原命题得证. 17 分
19.如图(1),四边形 是一个矩形, 分别是 的中点,以某动直线 为折痕将矩形在其下方的部分翻折，使得每次翻折后点 都落在 边上，记为 . 过 作 垂直于 交直线 于点 ,设点 的轨迹是曲线 . 以 的中点 为原点,平行于 的直线为 轴,直线 为 轴建立直角坐标系,如图(2)所示.
(1)求曲线 的方程；
(2)若点 在圆 上， ， 是曲线 的两条切线， ， 是切点，求 面积的最小值.
【解析】(1)连接 ,由 是线段 的垂直平分线得 ,即点 到点 的距离与点 到直线 的距离相等,于是点 的轨迹是以点 为焦点,直线 为准线的一段抛物线.
由于 ,
所以曲线 的方程为 . 5 分
(2)由(1)知，抛物线方程为 ，
设 .
,即 ,
,则抛物线在点 处的切线方程为 ,
同理,抛物线在点 处的切线方程为 ,
又 点 在切线上,则
于是 是方程 的解,
直线 的方程为 ,即 .
设点 到直线 的距离为 ,则 ,
联立 得 ,
,
,
又 点 在圆上, ,
当 时， ， ，
经验证,此时直线 的方程为 ,与抛物线 有两个交点,
当点 坐标为 时, 面积有最小值 4 . 17 分0
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