河北省衡水中学2023届高三下学期第三次综合素养评价数学试题 附答案

这是一份河北省衡水中学2023届高三下学期第三次综合素养评价数学试题 附答案，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.已知集合，，则真子集的个数为（ ）
A.3B.16C.15D.4
3.已知且，“函数为增函数”是“函数在上单调递增”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数是（ ）
A.48B.54C.60D.72
5.公差不为0的等差数列的前项和为，且，若，，，，依次成等比数列，则（ ）
A.81B.63C.41D.32
6.在中，，，，则直线通过的（ ）
A.垂心B.外心C.重心D.内心
7.如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，且，，若是线段上的动点，则三棱锥的外接球表面积的最小值是（ ）
A.B.C.D.
8.已知向量，是夹角为60°的单位向量，若对任意的，，且，，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.以下四个命题中，真命题有（ ）
A.在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好
B.回归模型中残差是观测值，与预测值的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高
C.对分类变量与的统计量来说，值越小，判断“与有关系”的把握程度越大
D.已知随机变量服从二项分布，若，则
10.钱塘江曾多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮.若波状涌潮的图像近似函数
的图像，而破碎的涌潮的图像近似（是函数的导函数）的图像.已知当时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为，则（ ）
A.B.
C.的图像关于原点对称D.在区间上单调
11.在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则（ ）
A.异面直线与所成角的余弦值为
B.点为正方形内一点，当平面时，的最小值为
C.过点，，的平面截正方体所得的截面周长为
D.当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为
12.已知是抛物线的焦点，点在上，过点的两条互相垂直的直线，分别与交于，和，，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，则（ ）
A.四边形面积的最大值为2B.四边形周长的最大值为
C.为定值D.四边形面积的最小值为32
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.的展开式的常数项是______.
14.已知点，，若线段与圆存在公共点，则的取值范围为______.
15.已知实数，满足，则的最小值是______.
16.若正实数，满足，则的最小值为______.
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）
已知数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）若，为数列的前项和，求.
18.（12分）
已知的内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求证：；
（2）求的取值范围.
19.（12分）
某社区对55位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，已知随机一人其口拭子核酸检测结果呈阳性的概率为2%，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.
（1）假设该疾病患病的概率是0.3%，且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为98%，设这55位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；
（2）根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将55位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案：
方案一：将55位居民分成11组，每组5人；方案二：将55位居民分成5组，每组11人，试分析哪一个方案的工作量更少？
参考数据：，.
20.（12分）
图①是直角梯形，，，四边形是边长为2的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且.
（1）求证：平面平面；
（2）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.
21.（12分）
已知双曲线的左、右焦点分别为，，点，右顶点是，且，.
（1）求的方程；
（2）过点的直线交的右支于，两个不同的点（在，之间），若点在以线段为直径的圆的外部，试求与面积之比的取值范围.
22.（12分）
已知为正实数，函数.
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）求证：.
参考答案及解析
一、选择题
1.D 2.A 3.C 4.C 5.C 6.D 7.C 8.A
二、选择题
9.AB 10.BC 11.BCD 12.ABD
三、填空题
13.70 14. 15.9 16.
四、解答题
17.解：（1）因为，，
所以当时，，，，…，，（2分）
所以当时，，所以；（4分）
当时，满足上式，所以.（5分）
（2）由（1）可得，（7分）
所以
.（10分）
18.（1）证明：在中，由及正弦定理得，
又，所以，（2分）
即，（3分）
，所以.（4分）
又，，所以或（舍），所以.（6分）
（2）解：由得，所以，所以，（7分）
由题意，及正弦定理得：
.（10分）
因为，所以，即，故的取值范围为.（12分）
19.解：（1）设事件为“核酸检测呈阳性”，事件为“患疾病”.（1分）
由题意可得，，，（2分）
由条件概率公式得：，
即，（3分）
故该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率为14.7%.（4分）
（2）设方案一中每组的检测次数为，则的取值为1，6，
，，（6分）
所以的分布列为
所以，即方案一检测的总次数的期望为.（8分）
设方案二中每组的检测次数为，则的取值为1，12，
，，（9分）
所以的分布列为
所以，即方案二检测的总次数的期望为.（11分）
由，则方案二的工作量更少.（12分）
20.（1）证明：如图所示：
在图①中，连接，交于，因为四边形是边长为2的菱形，且，
所以，且，（1分）
在图②中，相交直线，均与垂直，所以是二面角的平面角.（2分）
因为，所以，所以，（3分）所以平面平面.（4分）
（2）解：（1）知，分别以直线，，为，，轴建立如图②所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，.（6分）
设，，则，（7分）
设平面的一个法向量，则即取.
因为到平面的距离为，所以，解得，（9分）
则，所以.（10分）
设直线与平面所成的角为，所以.（12分）
21.解：（1）由已知，，，
，（2分）
因为，则，所以，所以，（3分）
解得，，所以的方程为.（4分）
（2）直线的斜率存在且不为0，设直线，，，
由得，则解得.①（6分）
因为点在以线段为直径的圆的外部，则，
，解得.②
由①②得实数的范围是.（8分）
由，因为在，之间，则，且，
所以，则，（9分）
所以则，（10分）
因为，所以，又，所以.故的取值范围是.（12分）
22.（1）解：，（1分）
若，即，，在区间单调递增，故，满足条件；（2分）
若，即，当时，，单调递减，则，矛盾，不符合题意.（3分）
综上，的取值范围为.（4分）
（2）证明：先证右侧不等式，如下：由（1）可得：当时，有，
则，即，即，（6分）
则有
，
即，右侧不等式得证.（7分）
下证左侧不等式，如下：
构建，则在上恒成立，
故在上单调递减，则，
即，可得，即，（8分）
则有，
即，因为，
则，（10分）
故，左侧得证.（11分）
综上所述，不等式成立.（12分）1
6
0.904
0.096
1
12
0.801
0.199