四川省泸州市合江县2026年中考一诊考试数学试题附答案

这是一份四川省泸州市合江县2026年中考一诊考试数学试题附答案，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在0，，，5四个数中，最大的数是（ ）
A．0B．C．D．5
2．据科学家统计，目前地球上已经被定义且命名的生物约有1000万种左右，数字1000万用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5． 下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，是的直径，若，则的度数等于（ ）
A．B．C．D．
7．某校开展了红色故事演讲比赛，其中8名同学的成绩（单位：分）分别为：85，81，86，82，82，83，92，89．关于这组数据，下列说法中正确的是（ ）
A．众数是92B．中位数是82C．平均数是84D．极差是11
8．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．且B．
C．且D．
9．若关于的一元一次不等式组无解，且使关于的分式方程有整数解，则所有符合题意的整数的值的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形是黄金矩形.，点P是边上一点，则满足的点P的个数为( )
A．3B．2C．1D．0
11．如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为（ ）
A．2B．C．D．3
12．已知关于x的二次函数的最小值为k，若，，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．分解因式：3a2﹣12= ．
14．已知直角坐标系中点和点关于轴对称，则 ．
15．设是关于的方程的两个根，且，则 ．
16．如图，在正方形中，，点P是边上的一个动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转得到，连接、，则周长的最小值为 ．
三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
17．计算：．
18．在平行四边形中，、分别是、上的点，且．求证：．
19．计算
四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
20．为提升学生实践能力和团队合作精神，增强学生的社会责任感，某市中学选取了四个中小学实践研学基地：．胡耀邦故里旅游区；．浔龙河生态艺术小镇研学旅行基地；．稻花香里农耕文化园；．中联重科工程机械馆．为了解学生的研学意向，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能选择一个研学基地），根据调查数据绘制成了如图两幅不完整的统计图．
（1）在本次调查中，一共抽取了______名学生；
（2）请补全条形统计图，并计算在扇形统计图中，选项所在扇形的圆心角度数为______；
（3）若该校有600名学生，请估计喜欢的学生有______人；
（4）此次研学小数和小学同时参加，请用列表法或画树状图法，求出这两名同学恰好去同一个研学基地的概率．
21．“绿水青山就是金山银山”，大家对生态环境的保护意识不断提高．某学校开展植树护林活动，据了解1棵种树苗、4棵种树苗的售价共计130元；2棵种树苗、3棵种树苗的售价共计160元．
（1）求，两种树苗每棵的售价分别为多少元？
（2）若学校某班计划用400元购进以上两种树苗（两种树苗均要购买，且400元全部用完），问该班有几种购买方案，请通过计算列举出来．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
22．某班学生开展综合实践活动，测量建筑物，的高度．如图：小明同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为，测得建筑物和建筑物之间的距离为，（，在同一平面内，，在同一水平面上）．则建筑物和建筑物的高度分别是多少．（，，结果精确到）
23．如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限的图象交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点在反比例函数的图象上，其横坐标为，且，过点的正比例函数图象与反比例函数的图象的另一个交点为，连接，，若四边形的面积为12时，求出的值．
六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24．如图，在中，，在上取一点，以点为圆心，长为半径作，交于点，且与相切于点，连接并延长交延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
25．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线上一点．
（1）求的值；
（2）若直线与轴左侧的抛物线交于，两点（点在点的右侧），求线段的取值范围；
（3）若点是抛物线的顶点，请问在轴上是否存在一点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由．
答案
1．【答案】D
【解析】【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得
则在0，，，5四个数中，最大的数是，
故答案为：D．
【分析】根据正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小，可得到已知数中最大的数.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：依题意，数字1000万用科学记数法表示为，
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：该几何体的主视图为，
故答案为：A．
【分析】主视图是从正面看到的平面图形，据此即可求解.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵两个平面镜平行放置，
∴经过两次反射后的光线与入射光线平行，
∴；
故答案为：C．
【分析】利用平角的定义可求出∠4的度数，再根据经过两次反射后的光线与入射光线平行，可内错角相等，即可动点∠3的度数.
5．【答案】D
【解析】【解答】解： A：，原计算错误；
B：，原计算错误；
C：，计算正确；
D：，原计算错误；
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方、单项式乘以单项式、合并同类项得运算法则逐项判断解答即可.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵AB是的直径，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】根据圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角得∠ACB的度数，然后根据圆周角定理得∠A=∠CDB的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出答案.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：从小到大排列得：，
出现次数最多是82，即众数为82，故选项A说法错误，不符合题意；
最中间的两个数为83和85，即中位数为84，故选项B说法错误，不符合题意；
，即平均数为85，故选项C说法错误，不符合题意；
即极差为11．
故选项D说法正确，符合题意，
故答案为：D．
【分析】找出这组数据中出现次数最多的即为众数，可对A作出判断；这组数据排列后找出最中间的两个数求出平均数即为中位数，可对B作出判断；再求出这组数据的平均数，可对C作出判断；利用极差的定义求出极差，可对D作出判断.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且
解得：，
，
，
的取值范围是：且．
故答案为：A．
【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案．
9．【答案】B
【解析】【解答】解：解不等式得：，
解不等式得，
∵一元一次不等式组无解，
∴，
解得，
解分式方程，得，
∵关于的分式方程有整数解，
∴或，
∴或或或，
时，，原分式方程无解，故将舍去，
∴符合条件的所有整数的个数为3，
故答案为：B．
【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，根据无解确定出的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有非负整数解，确定出满足条件的值，即可解答．
10．【答案】D
【解析】【解答】解：如图所示，四边形是黄金矩形，，，
设，，假设存在点P，且，则，
在中，，
在中，，
，
，即，
整理得，
，又，即，
，
，，
∴，
方程无解，即点P不存在.
故选：D.
【分析】设，，假设存在点P，且，则，在和中，用勾股定理可将BP2、PC2用含a、b、x的代数式表示出来，在Rt△BPC中，用勾股定理可得关于a、b、x的方程，根据黄金分割的定义可得a、b的等式，整理可将a用含b的代数式表示出来，代入关于a、b、x的方程，根据一元二次方程的根的判别式可知△＜0，于是可得点P不存在.
11．【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示，延长交格点于点，连接，分别在格点上，
依题意，，
∴
∴
又，
∴
∴
故答案为：B．
【分析】延长交格点于点，连接，分别在格点上，利用菱形的性质，可推出；再解直角三角形分别求得的长，根据对顶角相等，进而根据正切的定义，列式计算即可.
12．【答案】B
【解析】【解答】解：，
∴二次函数图象开口向上，对称轴为：直线，
当时，二次函数有最小值，最小值为，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴关于的二次函数图象开口向下，对称轴直线为，
∴当时，有最大值，即，
当时，，
∴，
故答案为；B ．
【分析】根据题意，利用二次函数解析式，可得到抛物线的开口方向及对称轴，再根据二次函数的最小值为k，可得到k关于a、b的关系式，再根据a、b的取值范围可得到a-b的取值范围，设，可表示出k，分别求出当m=0和m=±1时k的值，即可得到k的取值范围.
13．【答案】3（a+2）（a﹣2）
【解析】【解答】解：3a2﹣12=3（a+2）（a﹣2）．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
14．【答案】
【解析】【解答】解：∵和点关于轴对称，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】关于x轴对称的点的横坐标互为相同，纵坐标互为相反数，求出的值，然后代入代数式进行计算.
15．【答案】
【解析】【解答】解：由根与系数的关系可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；经检验符合题意.
故答案为：-2．
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数关系x1+x2=，可得，然后结合 可求出x1与x2的值，进而即可根据有理数乘法法则求出k的值.
16．【答案】
【解析】【解答】解：过点E作，交的延长线于点M，
∵正方形，线段绕点P顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的平分线；
连接，并延长到点，使得，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴直线是线段的垂直平分线；
过点作，交的延长线于点R，交的延长线于点Q，
∵正方形，
∴，，
∴，四边形是矩形；
∴，，；
∴点R在线段的垂直平分线上，
故三点共线，
∴，
∴；
连接交于点N，当E与N重合时，最小，此时，
∴，
故周长的最小值为，
故答案为：．
【分析】过点E作，交AB的延长线于点M，由正方形及旋转性质得出DA=AB=BC=CD=5，∠A=∠DPE=∠PME=90°及 PD=PE， 由直角三角形两锐角互余、平角定义推出∠ADP=∠MPE，从而由“AAS”判断出△ADP≌△MPE，由全等三角形的对应边相等得AD=MP，AP=ME，推出AP=BM=ME，由等边对等角及三角形内角和定理推出∠MBE=∠CBE=45°；连接DB，并延长DB到点D'，使得DB=D'B，可以推出BE是线段DD'的垂直平分线；过点D'作D'R⊥DC，交DC的延长线于点R，交AB的延长线于点Q，证出四边形BQRC是矩形，得点R在线段DD'的垂直平分线上，故B、E、R三点共线，则可得D'Q=BQ=CR=PQ=CB=AB=5；连接D'C交BR于点N，当E与N重合时，DE+EC最小，此时DN+NC=D'C，利用勾股定理算出D'C即可.
17．【答案】解：
【解析】【分析】先算乘方运算，同时代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，然后算加减法.
18．【答案】证明：在平行四边形中，，，，
又，
，
，
在和中，
，
，
【解析】【分析】利用平行四边形的性质，可证得到，，，利用SAS可证得，利用全等三角形的性质可证得结论.
19．【答案】解：原始=
=
=
=
【解析】【分析】先将第一项分子和分母分解因式，再约分化简，最后通分即可.
20．【答案】（1）40
（2）解：B中人数：，
补全条形统计图如图：
（3）225
（4）解：画树状图如下：
总共有16种等可能的结果，小数和小学恰好去同一个研学基地的情况有4种，
∴小数和小学恰好去同一个研学基地的概率为．
【解析】【解答】（1）解：由题意得，，
故答案为：40；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：（人），
故答案为：225；
【分析】（1）利用统计图表提供的信息，用选择A选项的人数除以其占比即可求出本次调查抽取的学生总人数；
（2）根据选择四个实践研学基地的人数这和等于抽取的总人数求出选择B选项的人数，再补全统计图即可；用360°乘以选择B项的人数占比即可求在扇形统计图中，B选项所在扇形的圆心角度数；
（3）用该学校学生总人数乘以样本中选择D项人数的占比即可估计该学校喜欢D项的学生人数；
（4）此题是抽取放回类型，根据题意画出树状图，由画树状图得出总共有16种等可能的结果，小数和小学恰好去同一个研学基地的情况有4种，再利用概率公式可得出答案．
（1）解：由题意得，，
故答案为：40；
（2）解：B中人数：，，
补全条形统计图如图：
故答案为：；
（3）解：（人），
故答案为：225；
（4）解：画树状图如下：
总共有16种等可能的结果，小数和小学恰好去同一个研学基地的情况有4种，
∴小数和小学恰好去同一个研学基地的概率为．
21．【答案】（1）解：设A，B两种树木每棵的售价分别为x元，y元，
根据题意，得，
解得；
答：A，B两种树木每棵的售价分别为50元，20元
（2）解：设A，B两种树木分别购进a棵和b棵，根据题意，得，即，
∵两种树木均要购买，且a，b均为正整数，
∴或或，
答：共有以下3种购买方案：
方案1：A种树木购进2棵，B种树木购进15棵；
方案2：A种树木购进4棵，B种树木购进10棵；
方案3：A种树木购进6棵，B种树木购进5棵
【解析】【分析】（1）设A，B两种树木每棵的售价分别为x元，y元，此题的关键已知条件(即等量关系）为： 1棵种树苗、4棵种树苗的售价共计130元；2棵种树苗、3棵种树苗的售价共计160元，据此列方程组，求解即可.
（2）设A，B两种树木分别购进a棵和b棵，根据题意可得到关于a、b的二元一次方程，再求出此方程的整数解，可得到具体的方案.
（1）解：设A，B两种树木每棵的售价分别为x元，y元，
根据题意，得，
解得；
答：A，B两种树木每棵的售价分别为50元，20元．
（2）解：设A，B两种树木分别购进a棵和b棵，
根据题意，得，即，
∵两种树木均要购买，且a，b均为正整数，
∴或或，
答：共有以下3种购买方案：
方案1：A种树木购进2棵，B种树木购进15棵；
方案2：A种树木购进4棵，B种树木购进10棵；
方案3：A种树木购进6棵，B种树木购进5棵．
22．【答案】解：如图，过作于，
依题意，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：建筑物的高度是，建筑物的高度是
【解析】【分析】过作于，易证四边形为矩形，利用矩形的性质可求出AE的长，同时可证得AB=DE，利用仰角和俯角的定义可知∠CAE=30°，∠CBD=60°，利用解直角三角形分别求出CD、CE的长，然后求出AB的长即可.
23．【答案】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，∴，解得：，
∴反比例函数的解析式为；
∵一次函数的图象过点，点，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为
（2）解：如图：过点A作轴交于F，过点B作轴交于G，
由题意得：，
设直线的解析式为，即，解得：，
∴直线的解析式为，
∴，
∵，
∴，
当时，点D在的左侧，
则
，
∵，
∴，解得：或，
∵，
∴此时无解；
当时，点D在的右侧，
则
，
∵，
∴，解得：或，
∵，
∴
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入反比例函数解析式求出k的值，可得到反比例函数解析式；将点A、B的坐标代入一次函数解析式，可得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值，可得到一次函数解析式.
（2）过点A作轴交于F，过点B作轴交于G，根据题意可得到点D的坐标，设直线的解析式为，将点D的坐标代入函数解析式，可表示出k1，可得到直线CD的函数解析式，同时可表示出点C的坐标，利用点A、B的坐标表示出点F、G的坐标；分两种情况，当时，点D在的左侧，当时，点D在的右侧，可知，可表示出四边形ABCD的面积，根据其面积为12，可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值.
（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得：，
∴反比例函数的解析式为；
∵一次函数的图象过点，点，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：如图：过点A作轴交于F，过点B作轴交于G，
由题意得：，
设直线的解析式为，即，解得：，
∴直线的解析式为，
∴，
∵，
∴，
当时，点D在的左侧，
则
，
∵，
∴，解得：或，
∵，
∴此时无解；
当时，点D在的右侧，
则
，
∵，
∴，解得：或，
∵，
∴．
24．【答案】（1）证明：连接，
∵直线为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴
（2）解：由（1）知，∵，，
∴，即
设，则，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）连接，利用切线的性质可证得，可推出，利用平行线的性质和等腰三角形的性质可推出，利用等角对等边可证得结论.
（2）利用解直角三角形可得到OD与AD的比值，设，可表示出OA、AD的长，利用勾股定理可表示出OA的长，据此可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到OD、OA、AD、AB的长；利用OD∥BC可证得△AOD∽△ABC，利用相似三角形的性质可求出BC的长，同时可求出CF的长，然后代入计算求出结果.
（1）证明：连接，
∵直线为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
∵，，
∴，即
设，则，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．【答案】（1）解：根据题意：，解得：，
∴抛物线的解析式为，
将点代入，
则，
解得：
（2）解：联立，则，∴，
∴，
∴
，
∵直线与轴左侧的抛物线交于，两点，，
∴，方程有两个实数根，
∴，即，
∴，
∴，
∵随m的增大而减小，
∴当时，有最大值为，
当时，有最小值为，
∴线段的取值范围为
（3）解：存在点坐标为或，使得，
理由如下：连接，设与y轴交点为E，连接，
由（1）知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且，
设直线解析式为，
则，解得，
∴直线解析式为，
将代入，则，
∴，
∵，
∴点E是的中点，
∴，即，
∴两点重合时，，则；
或时，，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
将代入，则，
∴；
综上，点坐标为或
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入可得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值，可得到抛物线的解析式，再将点P的坐标代入函数解析式可求出n的值.
（2）将直线y=4x=m和二次函数解析式联立方程组，解方程组求出和的值，由此可表示出，利用平面直角坐标系中两点的距离公式可表示出MN的长，由直线与轴左侧的抛物线交于，两点及点C的坐标，可得到m的取值范围，再根据随m的增大而减小，分别求出当m=3和m=4时，MN的最值，即可得到MN的取值范围.
（3）连接，设与y轴交点为E，连接，由（1）知，易证是直角三角形，且，利用 待定系数法求出直线解析式，利用函数解析式可求出点E的坐标，E是的中点，当两点重合时，，或时，，求出直线的解析式，最后求出点Q的坐标；综上所述可得到符合题意的点Q的坐标.
（1）解：根据题意：，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
将点代入，
则，
解得：；
（2）解：联立，则，
∴，
∴，
∴
，
∵直线与轴左侧的抛物线交于，两点，，
∴，方程有两个实数根，
∴，即，
∴，
∴，
∵随m的增大而减小，
∴当时，有最大值为，
当时，有最小值为，
∴线段的取值范围为；
（3）解：存在点坐标为或，使得，理由如下：
连接，设与y轴交点为E，连接，
由（1）知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且，
设直线解析式为，
则，解得，
∴直线解析式为，
将代入，则，
∴，
∵，
∴点E是的中点，
∴，即，
∴两点重合时，，则；
或时，，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
将代入，则，
∴；
综上，点坐标为或．