湖南省衡阳市2026年中考二模数学试题附答案

这是一份湖南省衡阳市2026年中考二模数学试题附答案，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．水（化学式为），是由氢﹑氧两种元素组成的无机物，在常温常压下为无色无味的透明液体，被称为人类生命的源泉．水分子的半径约是，将数据“”用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．“福禄寿喜”图是中华传统祥云图纹，以下四个图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
6．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．打水漂源自民间传统游戏，又名轻功水上漂，七点漂，漂瓦．它能够锻炼玩家的手眼协调能力和投掷技巧．长沙少年小明连续打水漂8次的成绩如表所示：
则小明连续打水漂8次成绩的众数和中位数分别是（ ）
A．8，8B．8，8.5C．9，8D．8，9
8．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，，若，，则的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
9．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．同几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程（ ）
A．B．
C．D．
10．二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，A（﹣ 1，3）是抛物线的顶点，则以下结论中正确的是（ ）
A．a＜0，b＞0，c＞0
B．2a+b＝0
C．当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小
D．ax2+bx+c﹣3≤0
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．分解因式： = .
13．方程的解是 ．
14．圆锥的底面圆的半径为10，圆锥母线长为20，则圆锥侧面展开图的面积为 ．
15．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，其位似比为，则与的面积比是 ．
16．如图，正五边形内接于，连接，则 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为 ．
18．如图，和均为正三角形，且顶点、均在双曲线上，连接交于，连接，则图中 ．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题毎题9分，第25、26题每题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中．
21．春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，广受关注，相关话题讨论持续火热，海内外模型、机器人都已获得显著的技术突破，目前人工智能市场分为：决策类人工智能；：人工智能机器人；：语音类人工智能；：视觉类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某公司就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）①此次共调查了______人，扇形统计图中类对应的圆心角度数为______；
②请将条形统计图补充完整；
（2）将四个类型的图标依次制成、、、四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率．
22．近年来，为了解决户外劳动者喝水难、热饭难、歇脚难等急难愁盼问题，越来越多的户外劳动者服务站亮相街头．如图是某社区在户外劳动者服务站外墙安装的遮阳篷截面示意图，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为5.5米，与水平线的夹角为．
（1）求点到墙面的距离；
（2）当太阳光线与水平线的夹角为时，量得为1.78米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（参考数据：，，）
23．近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了90亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个．
（1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？
（2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？
24．如图，已知：，尺规作图得四边形．作图步骤如下：
①分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点；
②作直线交于点，连接；
③以为圆心，的长为半径作弧，交直线于点，连接．
（1）根据尺规作图，请直接判断四边形的形状，并说明判断依据；
（2）若，，，求四边形的面积．
25．如图，已知是的直径．点C在上，过点C的直线与的延长线交于点P，，．
（1）求证，是的切线；
（2）求证：；
（3）点M是的中点，交于点N．若，求的值．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且满足．连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点Q是线段上一点，过点Q作轴，交抛物线于点P，E，F是抛物线对称轴上的两个点（点F在点E的上方），并且始终满足，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值；
（3）如图2，在（2）线段长度取得最大的前提下，将该抛物线沿射线的方向移动个单位长度，得到新的抛物线，求出新抛物线的解析式．抛物线交延长线于点K，新抛物线上是否存在动点N，使得，若存在直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
1．【答案】A
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：A．
【分析】利用只有符号不同的两个数互为相反数解题．
2．【答案】A
【解析】【解答】解：对于0.0000000002，左边起第一个不为零的数字是2，它前面有10个0，所以n=-10，a=2，用科学记数法表示为.
故选：A.
【分析】本题考查科学记数法表示较小数的方法，科学记数法的形式为，其中，n为负整数，n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定.
3．【答案】C
【解析】【解答】解A，是轴对称图形(沿竖直中线折叠重合)，但旋转后无法与自身重合，不是中心对称图形，不符合题意；
B，旋转沿直线折叠均无法重合，既非中心对称也非轴对称图形，不符合题意；
C，是沿竖直/水平中线折叠重合(轴对称)，旋转后与自身重合(中心对称)，符合题意 ；
D，旋转沿直线折叠均无法重合，既非中心对称也非轴对称图形，不符合题意.
故选：C.
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，需依据定义：轴对称图形：沿某直线折叠，直线两侧部分能重合；中心对称图形：绕某点旋转后与自身重合.通过逐一验证选项图形是否满足两个定义，考查几何直观素养，核心是对两种图形概念的理解.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并(所含字母相同且相同字母指数也相同的项才是同类项)故不符合题意
B、根据完全平方公式，，故不符合题意
C、根据积的乘方，，故不符合题意
D、根据单项式乘多项式法则，，故符合题意.
故选：D．
【分析】本题考查合并同类项，完全平方公式，积的乘方，单项式乘多项式的运算规则.需要根据各运算的定义和公式，逐一分析选项，判断运算是否正确.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意，得：“卯”的主视图为：
故答案为：C．
【分析】利用从前面观看到的图形解答即可．
6．【答案】B
【解析】【解答】解：水面和杯底互相平行，根据两直线平行，同旁内角互补，
又
水中的两条光线平行，根据两直线平行，同位角相等
故选：B.
【分析】本题考查平行线的性质，涉及两直线平行，同旁内角互补和两直线平行，同位角相等.利用水面和杯底平行，先通过同旁内角互补求出，再依据同位角相等得到，关键是识别平行线间的角的关系来计算角度.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵数据8出现了4次，9出现了2次，7与16各只出现1次，
∴8出现最多，
∴众数为8，
∵从小到大排列此数据为：7，8，8，8，8，9，9，16，
处在第4位，第5位的数都是8，
∴中位数是．
故答案为：A．
【分析】根据中位数、众数的定义分别求得这组数据的中位数、众数即可求解．
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先题意得到，再根据AAS证明，然后根据全等三角形的性质得到，据此根据线段的和差关系可得答案．
9．【答案】D
【解析】【解答】解：设乙出发x日甲乙相逢
乙从齐出发，7日到长安，速度为，x日走的路程为
甲从长安出发，5日到齐，乙先出发2日，所以甲走的时间是x-2日，速度为，甲走的路程为
根据题意，得
故选：D.
【分析】本题考查一元一次方程在行程问题中的应用，关键是通过设未知数，利用路程=速度×时间的关系，结合相遇时两人路程和为总路程(设为1)来列方程.求得甲乙的速度分别为、，再根据相遇时，两人所走路程和为1列方程求解即可.需要理解甲，乙的行程时间和速度表示，找到等量关系构建方程.
10．【答案】D
【解析】【解答】A.抛物线开口向下，则 a＜0，抛物线的对称轴为直线 x＝-＝-1，则b＝2a＜0，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，则 c＞0，所以 A 选项错误；
B.抛物线的对称轴为直线 x＝-＝-1，则 2a-b＝0，所以 B 选项错误；
C.当 x＞-1时，y 随 x 的增大而减小，所以 C 选项错误；
D.二次函数的最大值为-3，则 y≤3，即 ax2+bx+c﹣3≤0，所以 D 选项正确．
故选：D.
【分析】本题考查二次函数的性质，包括开口方向，对称轴，函数的增减性，最值以及与不等式的关系.通过抛物线的开口方向判断a的符号，利用对称轴公式分析b与a的关系，结合顶点坐标确定函数最值，进而判断各选项.
11．【答案】x≥2．
【解析】【解答】要保证二次根式有意义，则需要保证被开方数为非负数，即x－2≥0，解得：x≥2．
【分析】二次根式有意义，则被开方数≥0，建立不等式求解。
12．【答案】a（a+b）（a-b）
【解析】【解答】解： .
故答案为：a(a+b)(a-b).
【分析】先提取公因式，提取公因式后，括号内的式子符合平方差公式，利用平方差公式继续分解。
13．【答案】
【解析】【解答】解：
去分母得：
移项合并得：，
经检验当时，，
∴原分式方程的解为∶
故答案为：
【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，再检验即可得到分式方程的解．
14．【答案】
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面圆的半径为10，
∴圆锥底面周长为，
∵圆锥母线长为20，
∴扇形的面积，
故答案为：．
【分析】先求出圆锥底面周长，再根据计算．
15．【答案】
【解析】【解答】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，其位似比为，
∴，，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先根据位似图形的概念得到，，再得出，然后根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算．
16．【答案】36
【解析】【解答】解：∵五边形是正五边形，
∴，，
∴，
故答案为：36．
【分析】根据正n边形每一个内角的度数为“”求出，根据正n变形中心角度数为“”可以求出，代入计算即可求解.
17．【答案】
【解析】【解答】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G，
则四边形是矩形，
∴，，，
∵折叠，
∴，，
∵点A的坐标为，点F的坐标为，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴点E的坐标为，
故答案为：．
【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，即可得到是矩形，求出，，，利用折叠得到，，然后在中根据勾股定理求出a的值，再在中运用勾股定理得到长解题．
18．【答案】6
【解析】【解答】解：如图，过点B作于点E，
∵和均为正三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
故答案为：6．
【分析】先根据和均为正三角形可知，根据平行线的判定可得出，从而可得，再根据反比例函数系数k的几何意义求解．
19．【答案】解：
【解析】【分析】先去掉绝对值、计算三角函数、负整数指数幂、零指数幂，再算二次根式的混合运算．
20．【答案】解：
；
当时，
原式．
【解析】【分析】先根据单项式乘以多项式、平方差公式将括号展开后，再合并得最简结果，然后把代入求值．
21．【答案】（1）①；；
②补全条形统计图如图所示：
（2）解：画出树状图如下：
，
由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的情况有，
∴抽取到的两张卡片内容一致的概率为．
【解析】【解答】（1）解：①此次共调查了人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为；
②类的人数为（人），
补全条形统计图如图所示：
故答案为：；；
【分析】
（1）①根据样本容量=频数÷百分比并结合条形图和扇形图的信息可求得调查的总人数；根据扇形图中圆心角的度数=×类所占的比例即可求得圆心角度数；
②根据样本容量=各小组频数之和可求出类的人数，再补全条形统计图即可；
（2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式计算即可求解．
（1）解：①此次共调查了人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为；
②类的人数为（人），
补全条形统计图如图所示：
故答案为：；；
（2）解：画出树状图如下：
，
由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的情况有，
∴抽取到的两张卡片内容一致的概率为．
22．【答案】（1）解：过点A作，垂足为F，
在中，（米），
∴（米），
∴点A到墙面的距离约为米；
（2）过点A作，垂足为G，
由题意得：，（米），
∵（米），
∴（米），
在中，，
∴（米），
∴（米），
在中，
∴（米），
∴（米）．
【解析】【分析】（1）作，在中，根据余弦的定义求出的长解题即可，
（2）作，分别求出，，的长，在中，利用正弦的定义求出的长，然后根据线段的和差解题．
（1）解：过点A作，垂足为F，
在中，（米），
∴（米），
∴点A到墙面的距离约为米；
（2）过点A作，垂足为G，
由题意得：，（米），
∵（米），
∴（米），
在中，，
∴（米），
∴（米），
在中，
∴（米），
∴（米）．
23．【答案】（1）解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元.
（2）解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，根据题意得：，
解得：．
设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元
则
即
∵
∴w随m的增大而增大
又
∴当时，w取得最大值，最大值为，此时(个).
答：当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元．
【解析】【分析】本题围绕二元一次方程组，一元一次不等式与一次函数在实际销售盈利问题中的应用展开.
(1)需从题干提取 4件A娃娃与5件B娃娃费用相同，A娃娃进价比B娃娃多2元两个等量关系，设未知数构建方程组求解进价；
(2)先依据资金不超1700元设A娃娃购进数量，列不等式确定取值范围，再构建总利润关于该数量的一次函数，结合函数增减性求最大利润及对应进货方案，核心是将实际问题转化为数学模型(方程组，不等式，函数)求解.
（1）解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元；
（2）解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，
根据题意得：，
解得：．
设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元，
则，
即，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）．
答：当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元．
24．【答案】（1）解：根据作图可得，垂直平分，∴，，
∵由作图得，，
∴，
∴四边形是菱形，判断的根据是四边相等的四边形是菱形；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
【解析】【分析】（1）根据作图得到垂直平分，即可得到，根据四条边相等的四边形是菱形；
（2）先根据勾股定理求出BC的长，再根据题意得到，根据勾股定理求出BD长，根据菱形的性质解答．
（1）解：根据作图可得，垂直平分，
∴，，
∵由作图得，，
∴，
∴四边形是菱形，判断的根据是四边相等的四边形是菱形；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
25．【答案】（1）证明：
又，
又是的直径
，即
是的半径
是的切线
（2）证明：
又，，
因为OC是半径，AB是直径
故OC=
（3）解：连接，，
点是的中点，
又是的直径，
，
．
【解析】【分析】本题围绕圆的相关性质展开，涉及切线判定，线段关系证明及线段乘积计算，综合运用圆的基本性质(如半径相等，直径所对圆周角为直角)，圆周角定理，切线判定定理，等腰三角形性质，相似三角形判定与性质等知识.
(1)要证PC是切线，需证.利用半径相等得角相等，结合已知及圆周角定理(圆心角与圆周角关系)，推导得出，从而证明垂直.
(2)要证，需证BC等于半径.通过等腰三角形性质(AC = PC得角相等)及角的等量代换，得出BC=OC而OC=(半径与直径关系)，进而得证.
(3)通过连接辅助线MA，MB，利用弧中点性质得角相等，结合圆周角定理判定相似三角形()再根据相似三角形性质得，最后由直径所对圆周角为直角及弧中点性质，确定为等腰直角三角形，求出BM长度，进而得出.
（1）证明：，
，
又，，
，
又是的直径，
，
，即，
是的半径，
是的切线；
（2）证明：，
，
，
又，，
，
，
；
（3）解：连接，，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
又是的直径，，
，，
，
，
．
26．【答案】（1）解：∵中，当时，，∴，
又∵，
∴，
∴，，
代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为；．
（2）解：设直线的解析式为∵，，
∴，
解得，
∴，
设，
则，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，
∴，
取，连接，
则，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当点E在上时，取得最小值，，
∵，
∴的最小值为；
（3）解：∵，
∴顶点为，
∵将该抛物线沿射线的方向移动个单位长度，得到新抛物线，且，
∴该抛物线向右平移2个单位长度，向上平移2个单位长度得到新抛物线，
∴新抛物线的顶点为，
∴新抛物线解析式为，
由（2）知，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴，
当时，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
与联立，
得，
解得（舍去），
∴；
设直线解析式为，
∴，
解得，，
∴
与联立，
得，
解得（舍去），
∴；
综上，，．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式，设，则，得，得，取，连接，则四边形是平行四边形，，当点E在上时，取得最小值解题即可；
（3）先求出的顶点为，根据平移得到平移后的顶点为，即可得到解析式，求出直线解析式，当时，的解析式，解方程组，得；同理求得．
（1）解：∵中，当时，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为；．
（2）解：设直线的解析式为
∵，，
∴，
解得，
∴，
设，
则，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，
∴，
取，连接，
则，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当点E在上时，取得最小值，，
∵，
∴的最小值为；
（3）解：∵，
∴顶点为，
∵将该抛物线沿射线的方向移动个单位长度，得到新抛物线，且，
∴该抛物线向右平移2个单位长度，向上平移2个单位长度得到新抛物线，
∴新抛物线的顶点为，
∴新抛物线解析式为，
由（2）知，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴，
当时，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
与联立，
得，
解得（舍去），
∴；
设直线解析式为，
∴，
解得，，
∴
与联立，
得，
解得（舍去），
∴；
综上，，．
次数
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
成绩/下
8
9
8
8
7
9
16
8