广东深圳市2026届高三年级第一次调研考试数学试题-附答案解析

这是一份广东深圳市2026届高三年级第一次调研考试数学试题-附答案解析，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.样本数据4，6，10，16的平均数为
A. 6B. 7C. 8D. 9
2.复数z=sin1+ics1，则|z|=
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.已知抛物线y2=4x上的一点M的横坐标为1，则点M到焦点的距离为
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.函数f(x)=sinωx−π4(ω>0)的最小正周期为π，其图象的对称中心可以为
A. 5π8,0B. π2,0C. 3π8,0D. π4,0
5.设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2+x)=f(−x)，f(−1)=1，则f(9)=
A. −1B. 0C. 1D. 2
6.已知csθ=45，θ∈0,π2，则sinθ−π4=
A. − 25B. − 210C. 210D. 25
7.已知向量a=(2,4)，a⋅b=10，则向量b在向量a上的投影向量为
A. (4,2)B. (2,4)C. ( 2,2 2)D. (1,2)
8.若实数x，y，z满足 x=2−y=−lg2z，则x，y，z的大小关系不可能是( )
A. z>x>yB. z>y>xC. y>x>zD. y>z>x
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.在正三棱台ABC−A1B1C1中，D为BC的中点，则( )
A. A1D//ABB. AD//平面A1B1C1
C. AD⊥A1C1D. BC⊥平面AA1D
10.设双曲线Γ：x2−y2=1的左、右焦点分别为F1，F2.过F1的直线l与Γ的两条渐近线的交点分别为A、B，A为F1B的中点，O为坐标原点．则
A. △AOB是直角三角形B. △BOF2是等腰直角三角形
C. |AB|= 5D. 直线 l的斜率为±13
11.将一枚质地均匀的硬币连续投掷n次，定义随机变量Xn为结果中连续出现正面的最大次数．若始终未出现正面，规定Xn=0.例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为1和2，故X4=2.则
A. PX2=2=14B. EX3=118
C. P(X6=4)=[P(X3=2)]2D. EXn≤n2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，已知A=π4，B=5π12，a=2，则c= .
13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且3S5=8S3，S4=26，则a5= .
14.已知a1，a2，…，a8是8个正整数，记S=ai1+ai2+…+ai7∣1≤i1x.
故选C.
9.【答案】BD
【解析】解：选项A：假设A1D//AB，因A1∉平面ABC，AB⊂平面ABC，则A1D//平面ABC，但A1D与平面ABC交于D，矛盾，故A错误;
选项B：取B1C1中点D1，连接A1D1、DD1。由正三棱台性质，上下底面平行(平面ABC//平面A1B1C1)，且正三角形中线对应平行，故AD//A1D1。因A1D1⊂平面A1B1C1，AD∉平面A1B1C1，根据线面平行判定定理，得到AD//平面A1B1C1，故B正确；
选项C：由正三棱台性质，A1C1//AC，在正三角形ABC中，AD为BC中线，∠CAD=30∘(正三角形中线平分顶角)，故AD与AC夹角为30∘，则AD与A1C1夹角也为30∘，不垂直，故C错误；
选项D：因为正三角形ABC，D为BC中点，故AD⊥BC；
取B1C1中点D1，连接A1D1，BD1,CD1，易知AD//A1D1，所以A，D，D1，A1四点共面，又易知BD1=CD1，D为BC的中点，所以DD1⊥BC，又AD∩DD1=D，AD，DD1⊂平面AA1D，所以BC⊥平面AA1D，故D正确.
故选BD.
10.【答案】ABD
【解析】解：由双曲线Γ:x2−y2=1，得a2=1,b2=1，故c2=a2+b2=2，
焦点F1(− 2,0)，F2( 2,0)，渐近线方程为y=±x.
设过F1的直线l斜率为k，方程为y=k(x+ 2)，
与y=x联立，得k(x+ 2)=x，解得交点坐标为k 21−k,k 21−k；
与y=−x联立，得k(x+ 2)=−x，解得交点坐标为−k 21+k,k 21+k.
由A是F1B的中点，则xA=− 2+xB2, yA=0+yB2.
假设B在y=x上，A在y=−x上，
则yA=yB2⟹−xA=xB2⟹xB=−2xA,
xA=− 2+xB2⟹xA=− 2−2xA2⟹4xA=− 2⟹xA=− 24.
因此xB=−2xA= 22，yB=xB= 22，yA=−xA= 24.
直线l过F1(− 2,0)和A(− 24, 24)，斜率为k= 24−0− 24+ 2=13.
同理，若B在y=−x上，可得斜率k=−13，故直线l斜率为±13，选项D正确;
A(− 24, 24)，O(0,0)，B( 22, 22)，向量OA=(− 24, 24)，OB=( 22, 22)，
则OA⋅OB=− 24× 22+ 24× 22=0,
故OA⊥OB，△AOB是直角三角形，选项A正确；
O(0,0)，B( 22, 22)，F2( 2,0)，
则|OB|= 222+ 222=1,
|BF2|= 2− 222+0− 222=1,
|OF2|= ( 2−0)2+(0−0)2= 2.
由|OB|2+|BF2|2=|OF2|2且|OB|=|BF2|，故△BOF₂是等腰直角三角形，选项B正确；
A(− 24, 24)，B( 22, 22)，
则|AB|= ( 22+ 24)2+( 22− 24)2= 52≠ 5,故选项C错误.
11.【答案】ABD
【解析】解：选项A：X2=2表示两次均为正面，概率为122=14，故A正确，
选项B：X3=0(全反)：概率18；
X3=1(无连续2个正面)：序列为“反反正、反正反、正反正、正反反”，共4种，概率48=12；
X3=2(有连续2个正面但无连续3个)：序列为“反正正、正正反”，共2种，概率28=14；
X3=3(全正)：概率18，
期望E(X3)=0×18+1×12+2×14+3×18=118，故B正确。
选项C：
X6=4表示最大连续正面次数为4(存在连续4个正面，但无连续5或6个)，
可得符合条件的序列共5种，概率为5×126=564，
而P(X3=2)=28=14，故[P(X3=2)]2=116=464≠564，C错误。
对于D，不妨设Yn表示前n次投掷中出现正面的次数，于是Xn≤Yn，则Yn−Xn≥0，则E(Yn−Xn)≥0，
于是n2=E(Yn)≥E(Xn)，D正确.
12.【答案】 6
【解析】解：
由三角形内角和定理，C=π−A−B=π−π4−5π12=12π12−3π12−5π12=4π12=π3。
由正弦定理公式为asinA=csinC，代入已知条件a=2、sinA=sinπ4= 22、sinC=sinπ3= 32，得：
c=a×sinCsinA=2× 32 22=2× 32×2 2=2 3 2= 6
13.【答案】14
【解析】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由3S5=8S3得35a1+5×42d=83a1+3×22d，
化简得d=32a1①，
由S4=4a1+4×32d=26，
化简得4a1+6d=26②，
联立①②得a1=2，d=3，
因此a5=2+4×3=14.
14.【答案】23
【解析】解：设8个正整数的总和为T，则集合S中的元素对应T−a1,T−a2,…,T−a8，
由于S仅有7个元素，说明存在两个相等的差，即∃i≠j,T−ai=T−aj，故ai=aj.
8个差的和为7T，
已知S中7个元素和为82+83+84+85+86+87+89=596，
设重复差为x(x∈S)，则7T=596+x，即x=7T−596.
因T为整数，596+x需被7整除，仅x=83满足.
代入x=83得7T=596+83=679，故T=97.
则ai的值可通过T减去S中的元素得到，
即ai=T−(T−ai)，
即97−82=15，97−83=14，97−84=13，97−85=12，
97−86=11，97−87=10，97−89=8.
最小数为8，最大数为15，和为8+15=23.
故答案为23.
15.【答案】解：(1)设等比数列 {an} 的公比为 q ，则 q=a2a1=2 ，所以 an=2n ， n∈N* ，
因为 2b1+22b2+⋯+2nbn=n⋅2n+1 ，
当 n≥2 时， 2b1+22b2+⋯+2n−1bn−1=(n−1)⋅2n ，两式相减得 2n⋅bn=(n+1)⋅2n ，
则 n≥2 时， bn=n+1 ；当 n=1 时， b1=2 符合该式；所以 bn=n+1 ， n∈N* ．
(2)由于 1bn⋅bn+1=1(n+1)⋅(n+2)=1n+1−1n+2, Sn=(12−13)+(13−14)+⋯+(1n+1−1n+2)=12−1n+2=n2n+4, 所以 Sn=n2n+4 ．

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
16.【答案】解：(1)不妨设事件A=“模型甲回答正确”，事件B=“模型乙回答正确”，
则A=“模型甲回答错误”，B=“模型乙回答错误”，
由于A与B相互独立，A与B，A与B，A与B都相互独立，
由题意可得，P(A)=p=0.85，P(B)=0.75，P(A)=1−0.85=0.15，P(B)=1−0.75=0.25，
分析可得，“在第一次提问中两个模型答案不同”的概率为P(AB∪AB)，且AB与AB互斥，
根据概率的加法公式和事件的独立性定义，
得P(AB∪AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.85×0.25+0.15×0.75=0.325，
故在第一次提问中两个模型答案不同的概率为0.325.
(2)系统最终输出正确答案可分为第一次输出正确答案和第二次输出正确答案，
系统第一次输出正确答案的概率为：P(AB)=0.75p，
由(1)可知，在第一次提问中两个模型答案不同的概率为：
P(AB∪AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.25p+0.75(1−p)=0.75−0.5p，
系统第二次输出正确答案的概率为：P(AB∪AB)P(A)=(0.75−0.5p)⋅p=−0.5p2+0.75p，
设系统最终输出正确答案的概率为P′，则P′=0.75p+(−0.5p2+0.75p)=−0.5p2+1.5p，
于是P′≥0.88，解得0.8≤p≤2.2，又由p∈(0,1)，于是0.8≤p0，于是f(x)在(0,+∞)上单调递增，至多与x轴只有一个交点，矛盾；
于是a>0，令f′x=0，则等价于a2x2−4x−4=0，
易得Δ=16+16a2>0，因为x>0，则x=21+ 1+a2a2>0，
令x0=21+ 1+a2a2，则f(x)在0,x0上单调递增，在x0,+∞上单调递减，
则f(x)max=fx0=lnx0−a x0+1+4，
因为a2x 02−4x0−4=0即a2=4x0+1x 02，a=2 x0+1x0，
所以f(x)max=lnx0−2x0+2，
显然fx0≤0不符合题意，故fx0>0，即lnx0−2x0+2>0，
令h(x)=lnx−2x+2(x>0)，h′x=1x+2x2>0，
则h(x)在(0,+∞)上单调递增，且h(1)=0，
由于hx0=lnx0−2x0+2>0，所以x0>1，
由于a2= 1x 02+1x0，令t=1x0∈(0,1)，y=t2+t在(0,1)上单调递增，则a∈(0,2 2)，
于是x0=21+ 1+a2a2>2a> 22>1e4，f1e4=−a 1e4+10时，易证lnx≤x−1，则ln4x≤4x−1即lnx≤44x−4，
由于f(x)=lnx−a x+1+4256a4，则fx2