北师大版（2024）数学 八年级下册 期末质量检测卷（试卷含答案）

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一、单项选择题(每小题4分，共40分)
1．使得eq \f(x,x－1)分式有意义的x的取值范围是（ A ）
A．x≠1 B．x≠0
C．x≠0且x≠1 D．x≠0或x≠1
2．对下列各表情图片的变换顺序描述正确的是（ A ）
A．轴对称、平移、旋转 B．轴对称、旋转、平移
C．旋转、轴对称、平移 D．平移、旋转、轴对称
3．已知a＜b，下列运用不等式的基本性质变形不正确的是( D )
A．a－3＜b－3 B．a＋3＜b＋3
C．3a＜3b D．－3a＜－3b
4．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( B )
A．－6ab2c3＝－abc·6bc2 B．4a2－1＝(2a＋1)(2a－1)
C．a(a－3b)＝a2－3ab D．a2＋2a＋1＝a(a＋2)＋1
5．上周末，李老师准备去离家15 km的研学基地考察，由于恰逢打出租车高峰期，他决定骑自行车前往，结果比打出租车要多花40 min。已知出租车的平均速度是骑自行车平均速度的3倍。若设骑自行车的平均速度为x km/h，则可列方程为( A )
A.eq \f(15,x)－eq \f(15,3x)＝eq \f(2,3) B.eq \f(15,3x)－eq \f(15,x)＝eq \f(2,3) C.eq \f(15,x)－eq \f(15,3x)＝40 D.eq \f(15,3x)－eq \f(15,x)＝40
6．如图，在▱ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝3，若BA平分∠EBC，则DE的长为（ D ）
A．6 B．3 C．2 D．5
7．如图，直线l1：y1＝x＋1与l2：y2＝kx＋b相交于点A，则不等式x＋1＞kx＋b的解集是（ B ）
A．x＜3 B．x＜2 C．x＞2 D．x＞3
8．如图，△ABC的三条角平分线交于点O，若AB＝50，BC＝60，CA＝70，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO的值为（ D ）
A．1∶1∶1 B．7∶6∶5 C．6∶5∶7 D．5∶6∶7
9．如图，点D，E分别在△ABC的边AC，BC上，DE垂直平分BC，∠ABD∶∠A∶∠C＝2∶6∶5，则∠BDE的度数为（ C ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点(不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E，下列结论：①∠DEC＝∠BDA；②若AB＝DC，则AD＝DE；③当DE⊥AC时，则D为BC中点；④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝40°。其中正确的有（ C ）
A．1个 B．2个 C.3个 D．4个
二、填空题(每小题4分，共20分)
11．因式分解：x3y－4xy＝xy(x＋2)(x－2)。
12．如图，点P是数轴上A，B之间的一个动点(不与A，B重合)，则x的取值范围是－4＜x＜2。
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DA⊥AB于点A，AD＝6，BC的长为18。
14．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，CE，则∠ACE的度数为36°。
15．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，△OAB是边长为4的等边三角形，已知点C(－8，0)，D(2，0)，点P是线段CD上一点，连接BP，将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BQ，连接AQ。在点P从点C运动到点D的过程中，线段AQ扫过的面积为10eq \r(3)。
【解析】连接QO并延长至Q1，使OQ1＝AD，证△ABP≌△OBQ，AB∥QO，线段AQ扫过的面积等于△CDB的面积。
三、解答题(共90分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(10分)(1)因式分解：(x－1)(x＋7)＋16；
(2)解不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－1≤3（3－x），①,\f(x＋7,4)－\f(x,3)＜2，②))并将解集在数轴上表示出来。
解：(1)原式＝x2－x＋7x－7＋16＝x2＋6x＋9＝(x＋3)2。
(2)解不等式①得x≤2，解不等式②得x＞－3，
∴不等式组的解集为－3＜x≤2，
将解集表示在数轴上如图所示。
17．(7分)先化简，再求值：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,a＋1)－a＋1))÷eq \f(a2－4a＋4,a＋1)，请从－1，1，2中选择一个合适的数作为a的值代入求值。
解：原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,a＋1)－\f(a2－1,a＋1)))÷eq \f(（a－2）2,a＋1)
＝－eq \f(（a＋2）（a－2）,a＋1)·eq \f(a＋1,（a－2）2)＝－eq \f(a＋2,a－2)，
∵a≠－1，a≠2，∴当a＝1时，原式＝－eq \f(1＋2,1－2)＝3。
18．(12分)如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点A，B的坐标分别为(2，4)，(4，1)，将△ABO先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A1B1O1。
(1)画出△A1B1O1，并写出点A1，B1，O1的坐标；
(2)连接AA1和BB1，则线段AA1与BB1之间的位置关系和数量关系是AA1∥BB1且AA1＝BB1；
(3)在坐标轴上是否存在一点P，使得S△AOP＝S△AOB.若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
解：(1)如图，△A1B1O1即为所求；
∴点A1的坐标为(－2，5)，
点B1的坐标为(0，2)，
点O1的坐标为(－4，1)。
(3)存在，
∵S△AOB＝4×4－eq \f(1,2)×1×4－eq \f(1,2)×
2×3－eq \f(1,2)×2×4＝7＝S△AOP，
∴当点P在x轴上，
S△AOP＝eq \f(1,2)|xP|×4＝7，解得xP＝±eq \f(7,2)，∴点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，0))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,2)，0))；
当点P在y轴上时，S△AOP＝eq \f(1,2)|yP|×2＝7，解得yp＝±7，
∴点P(0，7)或(0，－7)。
综上所述，点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,2)，0))，(0，7)或(0，－7)。
19．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°。
(1)请用无刻度的直尺和圆规作AB的垂直平分线DE，分别交AB，BC于点D，E，连接CD，AE；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)求证：点E在线段CD的垂直平分线上。
(1)解：如图所示。
(2)证明：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，AC＝eq \f(1,2)AB。
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝DB＝eq \f(1,2)AB，AE＝BE，DE⊥AB，
∴AD＝AC，∠EAB＝∠B＝30°，
∴∠BAE＝∠CAE＝30°，∴AE平分∠BAC。
∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴DE＝EC，∴点E在线段CD的垂直平分线上。
20．(8分)如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF。
(1)求证：△ABE≌△CBF；
(2)若∠BAE＝25°，求∠ACF的度数。
(1)证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AE＝CF，,AB＝CB，))∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)。
(2)解：∵△ABE≌△CBF，∴∠BAE＝∠BCF＝25°，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠ACF＝25°＋45°＝70°。
21．(8分)在冰雪旅游季，某旅游商品经销店欲购进A，B两种冰雪纪念品，若用380元可以购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件。
(1)求A，B两种纪念品的进价；
(2)若该经销店每件A种纪念品售价25元，每件B种纪念品售价38元，该经销店准备购进A，B两种纪念品共50件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于310元，则该经销店最多可购进A种纪念品多少件？
解：(1)设A种纪念品每件进价为x元，B种纪念品每件进价为y元，由题意得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(7x＋8y＝380，,10x＋6y＝380，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝20，,y＝30。))
答：A种纪念品每件进价为20元，B种纪念品每件进价为30元。
(2)设该经销店购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品(50－a)件，
由题意得(25－20)a＋(38－30)(50－a)≥310，解得a≤30。
答：该经销店最多可购进A种纪念品30件。
22．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E，F分别是AC，BC的中点，延长AB至点D，使BD＝eq \f(1,2)AB，连接EF，ED，EB，FD，ED交BC于点O。
(1)求证：BF与ED互相平分；
(2)若AB＝4，CF＝3，求OE的长。
(1)证明：∵E，F分别是AC，BC的中点，
∴EF∥AB，EF＝eq \f(1,2)AB，
∵点D在AB的延长线上，BD＝eq \f(1,2)AB，
∴EF∥BD, EF＝BD，
∴四边形BDFE是平行四边形，∴BF与ED互相平分。
(2)解：∵∠ABC＝90°，EF∥AB，∴∠OFE＝90°，
∵AB＝4，CF＝3，∴EF＝eq \f(1,2)AB＝2，BF＝CF＝3，
∴OF＝eq \f(1,2)BF＝eq \f(3,2)，
∴OE＝eq \r(EF2＋OF2)＝eq \r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up12(2))＝eq \f(5,2)，∴OE的长是eq \f(5,2)。
23．(9分)方法呈现：我们把多项式a2＋2ab＋b2及a2－2ab＋b2叫作完全平方式。在运用完平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样的，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小(或最大)问题。
例如：x2＋4x＋5＝(x2＋4x＋4)－4＋5＝(x＋2)2＋1，∵(x＋2)2≥0，∴(x＋2)2＋1≥1。∴当(x＋2)2＝0时，(x＋2)2＋1的值最小，最小值是1。即当x＝－2时，x2＋4x＋5的最小值是1。
尝试应用：(1)下列多项式中①x2＋2x－1；②x2－6x＋9；③4y2－12xy＋9x2是完全平方式的有 ②③(选填序号)。若9x2＋kx＋16是一个完全平方式，则k＝±24(k为常数)；
(2)求代数式x2＋10x＋2 026的最小(或最大)值，并写出相应的x的值；
拓展提高：(3)用长12 m的一根铁丝围成长方形，能围成的长方形的最大面积是多少？请说明理由。
解：(2)∵x2＋10x＋2 026＝(x2＋10x＋25)＋2 001＝(x＋5)2＋2 001，
∵(x＋5)2≥0，∴(x＋5)2＋2 001≥2 001，
∴当(x＋5)2＝0即x＝－5时，该式的值最小，最小值是2 001。
(3)围成的长方形的最大面积是9 m2；
理由：设长方形的一边长为x m，则另一边长为(6－x) m，
围成的长方形的面积是y，则y＝x(6－x)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，
∵－1＜0，∴当x＝3时，y的值最大，最大值是9，
∴围成的长方形的最大面积为9 m2。
24．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，设AC＝b，BC＝a，AB＝c，CD＝h。
(1)求证：eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)＝eq \f(1,h2)；
(2)求证：a＋b＜c＋h；
(3)判断以a＋b，h，c＋h为边的三角形的形状，并说明理由。
(1)证明：∵Rt△ABC的面积为eq \f(1,2)ab或eq \f(1,2)ch，
∴ab＝ch，(ab)2＝(ch)2，即a2b2＝c2h2，
∵a2＋b2＝c2，∴a2b2＝(a2＋b2)h2，
∴eq \f(a2b2,a2＋b2)＝h2，∴eq \f(a2＋b2,a2b2)＝eq \f(1,h2)，∴eq \f(a2,a2b2)＋eq \f(b2,a2b2)＝eq \f(1,h2)，∴eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)＝eq \f(1,h2)。
(2)证明：∵c2＜c2＋h2，a2＋b2＝c2，∴a2＋b2＜c2＋h2，
∵ab＝ch，∴a2＋b2＋2ab＜c2＋h2＋2ch，∴(a＋b)2＜(c＋h)2，
∴a＋b＜c＋h。
(3)解：是直角三角形。
理由：∵(c＋h)2＝c2＋2ch＋h2，h2＋(a＋b)2＝h2＋a2＋2ab＋b2，
a2＋b2＝c2，ab＝ch，∴c2＋2ch＋h2＝h2＋a2＋2ab＋b2，
∴(c＋h)2＝h2＋(a＋b)2，∴根据勾股定理的逆定理可知以h，c＋h，a＋b为边构成的三角形是直角三角形。
25．(10分)综合与实践
问题初探：(1)如图①，在△ABC中，BA＝4，BC＝6，BD为AC边上的中线，求BD的取值范围。解答这个问题，我们可以将△ABD绕点D旋转180°，得到△CED，连接AE，则BD的取值范围可解。请直接写出BD的取值范围：1＜BD＜5；
问题解决：(2)如图②，P为等边三角形内一点，满足PB＝1，PA＝eq \r(2)，PC＝eq \r(3)，试求∠BPA的大小；
问题拓展：(3)如图③，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，CD边上的点，且满足∠EAF＝45°，AB＝2，BE＋DF＝eq \r(3)，求△AEF的面积。
解：(2)将△BPA绕点B顺时针旋转60°得到△BDC，连接PD，
由旋转得BP＝BD，∠PBD＝60°，CD＝PA＝eq \r(2)，∠BPA＝∠BDC，
∴△PBD是等边三角形，PD＝BP＝1，∠PDB＝60°，
在△PCD中，∵PD2＋CD2＝12＋ (eq \r(2))2＝3, PC2＝ (eq \r(3))2＝3，
∴PD2＋CD2＝PC2，∴∠PDC＝90°，
∴∠BDC＝∠PDC＋∠PDB＝90°＋60°＝150°，∴∠BPA＝150°。
(3)将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，
由旋转得∠MAB＝∠FAD，AM＝AF，BM＝DF，
∴EM＝BE＋BM＝BE＋DF＝eq \r(3)，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝90°－∠EAF＝45°，
∴∠MAB＋∠BAE＝∠FAD＋∠BAE＝45°，∴∠MAE＝∠FAE，
∴△MAE≌△FAE(SAS)，∵AB＝2，EM＝eq \r(3)，
∴S△AEF＝S△AEM＝eq \f(1,2)EM·AB＝eq \f(1,2)×eq \r(3)×2＝eq \r(3)。