高中数学人教版第一册下册向量表格教学设计

这是一份高中数学人教版第一册下册向量表格教学设计，共5页。
课程基本信息
学科
数学
年级
高中二年级
学期
秋季
课题
用空间向量研究空间角问题
教科书
书 名：选择性必修一
出版社：人民教育出版社 .5月
教学目标
1.能用向量方法得到两条直线所成的角、直线和平面所成的角、两个平面的夹角的向量表达式，解决立体几何中有关角度的度量问题。
教学内容
教学重点：
1.利用向量的数量积研究两条直线所成的角、直线和平面所成的角、两个平面的夹角。
教学难点：
1.根据问题的条件选择合适的直角坐标系，即基底。
教学过程
导入问题：与距离一样，角度是立体几何中的另一类度量问题。本质上，角度是对两个方向的差的量度，向量是有方向的量，所以利用向量研究角度问题有其独特的优势。本节我们用空间向量研究夹角问题，你认为可以按怎样的顺序展开研究。
师生活动：学生独立思考、小组交流后，通过全班讨论达成对研究路径的共识，即：直线与直线所成的角→直线与平面所成的角→平面与平面所成的角。
设计意图：明确研究路径，为具体研究提供思路。
1.典型例题，求解直线与直线所成的角
问题1 如图4，在棱长为1的正四面体（四个角都是正三角形）ABCD中，M、N分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值。
用向量方法求解几何问题时，首先要用向量表示问题中的几何元素，对于本问题，如何用向量表示异面直线AM与CN？它们所成的角可以用向量之间的夹角表示吗？
追问1：这个问题的已知条件是什么？根据以往的经验，你打算通过什么途径将这个立体几何问题转化为向量问题？
师生活动：首先，教师分析题目的条件：已知正四面体的棱长和棱与棱之间的夹角，AM和CN是中线，其模长可求，与其他棱的夹角也是确定的，这些条件有利于向量基底的选取。接着在学生回答问题的基础上，教师补充后形成共识：求异面直线AM和CN的夹角时，主要用基底向量表示出它们的方向即可，这样，异面直线AM和CN的夹角，可以转化为求向量MA和CN的夹角。为此，选择CA ，CB ，CD为基底并表示向量MA，CN。
在此基础上，将此问题推广到一半，学生思考后作答，教师对学生的回答给予补充，梳理出将几何问题转化为向量问题的途径；
途径1：通过建立一个基底，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化为向量问题；
途径2：通过建立空间直角坐标系，用坐标表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化为向量问题。实际上，空间直角坐标系也是基底，是“特殊”的基底。
追问2：请你通过向量运算，求出向量MA，CN夹角的余弦值，进而求出直线AM和CN夹角的余弦值。
师生活动：学生利用向量的数量积求出向量MA，CN夹角的余弦值，从而解决问题。
追问3：回顾问题1的求解过程，你能归纳出利用向量求空间直线与直线所成的角的一般方法吗？
师生活动：教师引导学生梳理，得出：将直线与直线所成的角转化为直线的方向向量的夹角，进而利用向量的数量积求解，也就是说，若异面直线l1和l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则
csθ=|csu，v|=|u∙vuv|=|u∙v|u|v|
在此基础上，教师板书下面的过程，让学生进一步认识用向量方法解决几何问题的基本步骤：
几何问题→向量问题→向量运算→几何解释。
设计意图：通过用向量方法求解一个空间直线与直线所成角的具体问题，归纳得出用向量方法求解直线与直线所成角的角度的一般方法。
2.类比研究，求解直线与平面、平面与平面所成的角
问题2：你能用向量方法求问题1中直线AB和平面BCD所成的角吗？一般地，如何求直线与平面所成的角？
追问：这个问题的已知条件是什么？如何将几何问题转化为向量问题？
师生活动：教师引导学生分析已知条件，明确平面的法向量在解决直线与平面所成角的问题中的关键作用，将直线AB与平面BCD所成的角转化为直线AB的一个方向向量与平面BCD的一个法向量的夹角，进而利用向量的数量积求解。
进一步地，师生共同给出求直线与平面所成角的步骤与方法，即将直线与平面所成的角，转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角，进而得到直线与平面所成的角的一般表达式
sinθ=csu，n=u∙nun=|u∙n|u|n|
其中，u为直线的方向向量，n为平面的法向量。
设计意图：通过本问题的解决，让学生体会法向量在求解直线与平面所成角时的关键作用，并得出一般的求解直线与平面所成角的向量表达式。
问题3：类比已有的直线、平面所成角的定义，你认为应如何合理定义另个平面所成的角？进一步地，如何求平面与平面的夹角？
师生活动：教师给出两个相交平面的图形，让学生类比已有的空间基本元素所成角的定义，给两个平面所成的角下定义，教师可以追问学生：“角度是度量方向差异的量，那么决定平面方向的是什么？”从而启发学生用两个平面的法向量刻画两个平面所成的角，在学生讨论、交流的基础上，教师小结如下：
如图5，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角。
类似两条异面直线所成的角，若平面α ，β 的法向量分别
是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角
或其补角。设平面α与平面β的夹角的夹角为θ，则
csθ=|csn1，n2|=|n1∙n2n1|n2||= |n1∙n2|n1|n2|
追问1：如何求平面的法向量？
师生活动：学生思考、回答后，师生共同总结求平面法向量的方法：在平面内找两个不共线的向量a和b，设平面的法向量为n=(x, y, z)则
n∙a=0n∙b=0
根据这个不定方程组，可以求出一个法向量n=(x0, y0, z0).
教师在学生回答问题的基础上进一步指出，求得的n=(x0, y0, z0)是法向量中的一个，不是所有的法向量，但所有的法向量（x，y，z）可以用n=(x0, y0, z0)表示，即x, y, z=kn=k(x0, y0, z0).
追问2：你能说说平面与平面的夹角与二面角的区别和联系吗？
师生活动：学生思考、回答，教师与学生共同总结。二面角的大小是指其两个半平面的张开程度，可以用其平面角θ的大小来定义，它的取值范围是0≤θ≤π；而平面α与平面β的夹角是指平面α与平面β相交，形成的四个二面角中不大于90°的二面角。
设计意图：引导学生类比已有的空间基本元素所成角的定义，建立平面与平面的夹角的概念，并进一步利用向量方法得到求解两个平面夹角的表达式。结合法向量的求解，使学生体验不定方程组的“通解”和“特解”之间的关系，体会一般性寓于特殊性之中的道理。通过对平面与平面的夹角和二面角的辨析，使学生对平面与平面的夹角的理解更加深入。
3.巩固应用，解决立体几何中的角度问题
例3 如图6，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P为BC的中点，点Q、R分别在棱AA1，BB1上，且A1Q=2AQ，BR=2RB1.求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值。
师生活动：教师引导学生先分析提议，明确解题思路，再让学生独立解答，教师根据学生的解答板书补充，其中重点关注法向量的求法。为了保证解题规范，教师展示学生的解答，并适当完善学生的板书。
设计意图：通过例题巩固平面与平面所成的角的求解方法，进一步理解法向量的夹角和两个平面所成角的关系，进一步体会向量方法解决立体几何问题的一般步骤。
4. 归纳小结
教师引导学生回顾本课时的学习内容，回答下面的问题：
（1）这节课主要学习了哪些内容？
（2）研究这些内容主要用了什么方法？
（3）用向量方法解决立体几何问题的一般步骤是什么？
设计意图：师生共同小结本节课学习的内容和学习过程，通过小结，让学生体会到，直线、平面间的夹角刻画了它们的方向的差异，因而可用方向向量或法向量“代表”直线或平面，从而将直线、平面间的角度为θ转化为求相应的方向向量、法向量的夹角，进一步体会用向量方法解决立体几何问题的一般步骤。
5.布置作业
教科书习题1.4第9,10题。
（五）目标检测设计
1.如图，在正方体ABCD- A1B1C1D1中，AM=14AA1，直线MB与直线DB1所成角的余弦值为（ ）。
(A)12 （B）22 （C）32 （D）5117
设计意图：考察利用向量方法解决直线与直线所成角的能力。
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD= AA1=2，AB=4，E，F分别为A1D1，AB的中点，O是BC1与B1C的交点，求直线OF与平面DEF所成角的余弦值。
设计意图：考查利用向量方法解决直线与平面所成角的能力。