2026版高考总复习《优化设计》数学一轮复习配套PPT课件_课时规范练54　抛物线_含解析

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7.(2024·湖南常德一模)已知抛物线方程为y2=16x,焦点为F.圆的方程为(x-5)2+(y-1)2=1,设P为抛物线上的点,Q为圆上的一点,则|PF|+|PQ|的最小值为(　　)A.6B.7C.8D.9
解析 由抛物线方程得焦点F(4,0),准线方程为x=-4,过点P作准线的垂线,垂足为N,因为点P在抛物线上,所以|PF|=|PN|,所以|PF|+|PQ|=|PN|+|PQ|,当点Q固定不动时,P,Q,N三点共线,即QN垂直于准线时|PF|+|PQ|最小,即|QN|最小,又因为点Q在圆上运动,由圆的方程为(x-5)2+(y-1)2=1得圆心M(5,1),半径r=1,所以当MN与准线垂直时,|QN|min=|MN|-r=8.
10.(2021·新高考Ⅰ,14)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为　　　　　.
11.(2024·陕西西安模拟)设P为抛物线C:y2=4x上的动点,A(2,6)关于P的对称点为B,记P到直线x=-1,x=-4的距离分别为d1,d2,则d1+d2+|AB|的最小值为　　　 　.
解析 因为圆(x-2)2+(y+1)2=4的一条直径与抛物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边,而抛物线x2=2py(p>0)的通径与y轴垂直,所以圆(x-2)2+(y+1)2=4的这条直径与x轴垂直,且圆的这条直径的上端点就是抛物线通径的右端点,因为圆(x-2)2+(y+1)2=4的圆心为(2,-1),半径为2,所以该圆与x轴垂直的直径的上端点为(2,1),即抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1),则4=2p,解得p=2.经检验p=2满足题意.
15.(2024·浙江名校协作体联考)写出两个与直线x+1=0相切且与圆x2+y2-4x+3=0外切的圆的圆心坐标　　　 　　.
(0,0),(2,4)
16.(15分)(2025·北京顺义检测)如图,已知M是抛物线C:y2=2px(p>0)在第一象限上一点,F是抛物线C的焦点,以Fx为始边,FM为终边的∠xFM=60°,且|FM|=4,l为抛物线C的准线,O为原点.(1)求抛物线C的方程;(2)若直线FM与抛物线C交于另一个点N,过N作x轴的平行线与l相交于点E.求证:M,O,E三点共线.
(1)解 过点M作MA⊥l,垂足为A,连接FA,则|MA|=|FM|,因为∠xFM=60°,所以∠FMA=60°,△MFA为等边三角形,故|FA|=|MA|=4.因为∠FAQ=30°,所以|FQ|=|FA|·sin 30°=2,即p=2,故抛物线C的方程为y2=4x.
17.如图,在平面直角坐标系xOy中,O为矩形ABCD的边CD的中点,且OC=CB=4,H为AB的中点.对于任意的n∈N*且n≥2,将线段AH和AD分成n等份,设AH,AD上的分点为Mk和Nk(k=1,2,…,n-1),过AH上的分点Mk作与HO平行的直线lk,lk与直线ONk交于点Ak,利用对称性作出Ak关于OH对称的另一半的点,用光滑曲线把它们连接起来,得到曲线E(过坐标原点O).设T(0,-3),P为曲线E上的一个动点,则|PT|的最小值为　　　　　.