湖北省武汉市2026届高三下学期三月调研考试数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 或 , .
2. 已知复数 的实部与虚部相等,则实数 的值为
A. -3 B. 3 C. -1 D. 1
【答案】A
【解析】 实部与虚部相等,则 .
3.记半径为 的球体的表面积和体积分别为 和 ,记某底面半径为 的圆锥的表面积和体积分别为 和 ,若 ,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ,设圆锥的高为 ,母线为 ,
,
.
4.设 的内角 所对的边分别为 ,若 ,则
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】

5.记等比数列 的前 项和为 ,若 ,且 ,则正整数 的值为
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
【答案】A
【解析】等比数列 中, ,
或 1（舍）
.
6.连续抛掷一枚质地均匀的硬币 8 次，每次正面向上得 2 分，反面向上得 -1 分，记总得分为 ，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】正面向上次数为
.
7.若存在正实数 ,使得函数 是定义在 上的奇函数,则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】 , ，
关于 对称, 关于原点对称,则 .
8.已知 是双曲线 的左右顶点, 是该双曲线上异于顶点的一系列不同点,记 ,若 和 都是等差数列且公差相等,则
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】D
【解析】设 ,任取点列中的一点 ,
则
在 中, ,高为
设 的公差为 ,则 的公差为
又两列公差相等, .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.现有 10 个数据为:3,3,3,3,4,4,4,5,5,6,对于该组数据,下列说法中正确的有
A. 众数是 4 B. 平均数是 4 C. 极差是 3 D. 中位数是 4.5
【答案】BC
【解析】众数为 3, A 错. 平均数 , B 对. 极差 ，C 对，中位数 4，D 错.
10.如图,在正三棱柱 中,点 分别是 的中点,则下列说法中正确的有
A. 平面 B.
C. 平面 D. 与 相交
【答案】ACD
【解析】设底面边长为 ,侧棱长为 ,
则
对 ,由
可知 在平面 内,且平面 平面 ,所以 平面 对;
对
故 不垂直 ， 错；
对
是平面 内两条相交直线,故 平面 对;
对 ,线段 的中点为 线段 的中点为 ,故 与 相交, D 对.
11.定义在 上的函数 满足当 时, ,其中 ,则下列说法中正确的有
A.
B. 当 时,若 在区间 内恰有两个零点,则 的取值范围是
C. 存在正实数 和 ,使得 时,有
D. 当 时,若 在区间 内恰有两个极值点,则 的取值范围是
【答案】AD
【解析】由题目条件为 ,设 ,
则 . 故 ,即零点为
对 ,若 ,则
正确.
对 内零点个数,就是 内正整数个数.
当 时，区间长度小于 1，零点个数至多为 1 ；
当 时，恰有两个零点 ;
当 时,恰有两个零点 ;
当 时, 内零点为4,5; 当 时,取正整数 使 ,
则 ,故至少有 3 个零点.
所以 错误.
对 在 上, .
导函数零点为 . 取充分大的偶数 ,使 .
此时该点为这一段的极大值点,
又 ,故 .
若 正确,则 .
于是 . 但 ,矛盾, 错误.
对 ,由上式知每个区间 内恰有一个极值点,其位置为 .
当 时, ,只需看 .
分别有 ,
故区间 内极值点个数为
至多1.
所以 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.平面向量 满足: ，则 与 的夹角的余弦值是________.
【答案】
【解析】 ,
.
13.平行于 轴的直线交抛物线 于点 ,交抛物线 于点 ,记抛物线 和 的焦点分别为 和 ，若 ，则四边形 的面积为_______.
【答案】 3
【解析】令直线 ,则
不妨取
.
14.如图,已知 ,在函数 的部分图象中,其图象上的点 是同一直线上的三点，且该直线与 轴交于点 ，若 ，则 ________.
【答案】
【解析】方法一: 设 中点 在 轴上,
则
为 中点,
又
.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.在数列 中, ,且 是等差数列.
(1)求 ；
(2)证明: .
【解析】(1)由 是等差数列，
(2)由(1)知 成首项为 6，公差为 的等差数列
时,
而 也满足上式,
.
16.如图，在三棱锥 中， ， ， ， ， ， ， 点 分别是棱 上的点,且直线 平面 .
(1)求 的长；
(2)求三棱锥 的体积；
(3)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【解析】(1)
平面 且 ，
，
在 中,
(2)由(1)知 到 的距离
而 .
(3) 平面 平面 平面 平面 ， 平面 平面 ,过 作 于点 ,
平面 ,
到平面 的距离为 到平面 的距离为 ，
设 与平面 所成角为 .
17.已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性;
(3)若 有极小值，且 ，求 的取值范围.
【解析】
定义域为 .
(1)当 时，
(2)
的符号有 在 决定
当 时, 在 上单调递增
当 时,
且
在 上单调递减,在 上单调递增
(3) 有极小值，由(2)知
且 在 处取极小值.
又 ,故
设 ,则
在 上单调递减，
的取值范围是 .
18.曲线 与直线 交于点 ，过点 且与 垂直的直线交曲线 于另外的点 ,设线段 的中点为 ,定点 的坐标为 .
(1)用 表示点 的坐标；
(2)证明: 为定值；
(3)是否存在某条直线始终与以 为直径的圆相切？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)

(2)过 且与 垂直的直线


为定值.
(3)以 为直径的圆方程为:
整理得
当取 及 时三圆方程:
及
恰好与它们均相切 (必要性)
下检验定直线 即为所求,圆心 到直线 的距离 ,充分性满足
存在定直线 始终与以 为直径的圆相切.
19.有 张编号分别为 1 到 的卡片,横向随机排列. 对于这 张卡片,初始状态下卡片标号从左到右为 ,记此时的卡片排列为 . 对这 张卡片的排列进行如下三步操作: 1. 取出最左边的卡片，记其标号为 ；2. 剩余卡片中，标号小于 的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为 (若不存在则为空),标号大于 的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为 (若不存在则为空); 3. 对这 张卡片重新排列,得到新排列: . 每进行完上述三步操作，称为一次 “完整操作”.
(1)若初始排列为 ，写出连续经过两次完整操作后得到的新排列;
(2)求初始排列经过一次完整操作后恰好能得到 的顺序排列的概率；
(3)记初始排列中有 个排列种数能经过连续若干次完整操作后能得到 的顺序排列，当 时， 证明: .
【解析】(1) 中，第一次完整操作取
第二次完整操作取
故连续两次完整操作后得到的新排列为:
(2)设初始排列首项为 ，则一次完整操作后得到 要恰为 ,必须且只需
对固定 ,后面 个位置中选出 个位置放 ,
其余位置放
,总排列数为
(3)约定 . 设一个可经过若干次完整操作后变成 的排列首项为
,删去首项后,小于 的子序列记为
大于 的子序列记为
第一次完整操作后变为
以后继续操作时,首项始终来自 ,故 的相对次序不变.
因此该排列最终能变成 的充要条件为
可达
对固定 的取法有 种
又 与固定升序列 在首项 后交错排列的方法数为
即 同理
于是
又
代入得
而
又 ,故
.