陕西省西安市西北工业大学附属中学2026届高三下学期第九次适应性训练 数学含解析（word版）

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1. 已知集合 A=x x+12−x≥0,B={y∣y=x−1} 则 A∩B= ( )
A. [1,2) B. [0,2) C. [−1,2) D. 2,+∞
【答案】B
【解析】
【分析】先应用一元二次不等式求解集合 A ,再应用值域得出集合 B ,最后应用交集定义计算求解.
【详解】集合 A=x x+12−x≥0=x x+1x−2≤0=[−1,2),B=y∣y=x−1={y∣y≥0} , 则 A∩B=[0,2) .
故选: B.
2. 函数 y=sin2x+π6 的一条对称轴是( )
A. 直线 x=π3 B. 直线 x=π2 C. 直线 x=−π6 D. 直线 x=π6
【答案】D
【解析】
【详解】对于正弦型函数 y=sinωx+ϕ ,其对称轴满足: ωx+ϕ=π2+kπ,k∈Z , 所以对于函数 y=sin2x+π6 ,令 2x+π6=kπ+π2,k∈Z ,解得对称轴方程为: x=kπ2+π6,k∈Z.
验证选项: 当 k=0 时, x=π6 .
3. 已知复数 z 满足 z+2z=2+i (其中 i 为虚数单位),则 z= ( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 22
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的四则运算可得 z=1−i ,进而可求模长.
【详解】因为 z+2z=2+i ,即 z+2=2+iz ,
可得 z=21+i=21−i1+i1−i=1−i ,所以 z=12+−12=2 .
4. 已知随机变量 X∼N4,σ2,PX>6=0.2,P20 的离心率为 5 ,等边三角形 ABC 的顶点 A 在 y 轴上, 点 BC 在双曲线的右支上,当 BC⊥x 轴时, AB=41111 .
(1)求 W 的方程；
(2)设直线 BC 交 y 轴于点 D ,证明: 以 AD 为直径的圆过定点.
【答案】(1) x2−y24=1
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1) 根据已知条件,求出 BC ,进而可得 a,b ,即可求得双曲线 W 的方程;
(2)将直线 BC 与双曲线联立，得到一元二次方程，利用韦达定理和题目已知条件，即可证明.
【小问 1 详解】
(1)由题知 ba=e2−1=2 ①，
当 BC⊥x 轴时,不妨设直线 BC:x=m ,
与双曲线联立知 x2a2−y2b2=1x=m⇒y=bam2−a2 ,
又因为 AB=BC=CA=41111=2m2−a2 ,
∴BC=2y=4m2−a2=41111 ②,
又因为 A 在 BC 的中垂线上,故 A0,0 ,
∴m=ABsin60∘=23311 ③,
将③代入①②知 a=1 ， b=2 .
即双曲线 W 方程为: x2−y24=1 ;
【小问 2 详解】
证明: 由题意知,直线 BC 的斜率存在,不妨设 BC:y=kx+mk≠0 , 设 A0,yA,Bx1,y1,Cx2,y2,D0,m ,

直线 BC 与双曲线联立 y=kx+mx2−y24=1⇒4−k2x2−2mkx−m2−4=0 ，需满足 Δ>0 ， ∴x1+x2=2mk4−k2>0,x1x2=−m2−44−k2>0 ,
取 BC 中点为 P ,则易知 AP⊥BC ,
xP=x1+x22=mk4−k2, yp=y1+y22=kx1+x2+2m2=4m4−k2,
又 ∵kBC⋅kAP=−1 ,
∴ 设直线 AP 的方程为: y=−1kx−mk4−k2+4m4−k2=−1kx+5m4−k2 ,
∴yA=5m4−k2 ,
由于 △ABC 为等边三角形, ∴AP=32BC .
∴1+1k2⋅mk4−k2=321+k2x1+x22−4x1x2⇔11m2−12k2+48=0 ,
∴yA=−6011m ,
设以 AD 为直径的圆的圆心为 M ,则 M0,yA+y02 ,
则以 AD 为直径的圆的方程为 x2+y−yA+yD22=14yA−yD2 ④,
由于 yAyD=−6011 ,
故④化简得 x2+yy−yA+yD=6011 ,
令 y=0 ,解得 x=±216511 ,
∴ 以 AD 为直径的圆过定点 ±216511,0 ,证毕.
【点睛】关键点点睛: 此题关键在于,利用已知条件,找到点 A,D 的纵坐标的关系,进而可以证明以 AD 为直径的圆过定点
19. 布洛卡点是三角形内部的特殊点, 由法国数学家亨利·布洛卡于 19 世纪提出, 其定义如下: 设 P 是 △ABC 内一点,若 ∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ ,则称点 P 为 △ABC 的布洛卡点,角 θ 为 △ABC 的布洛卡角. 如图,在 △ABC 中,记它的三个内角分别为 A,B,C ,其对边分别为 a,b,c,△ABC 的面积为 S ，点 P 为 △ABC 的布洛卡点，其布洛卡角为 θ ，请完成以下问题:

(1)若 ∠ABC=π2,AC=2,AB=1 ，求 ∠APC 的大小及 tanθ 的值；
(2)已知 θ=π6 的条件下，解下列两个问题:
①若 S=3 ，求 a2+b2+c2 的值；
②若 a=2 ，求 S .
【答案】(1) ∠APC=2π3,tanθ=34
(2)①12；②√3
【解析】
【分析】(1) 根据角的关系求得 ∠APC=2π3,∠APB=π2 ，在 △APC 、 △APB 中，分别由正弦定理可得 AP=433sinθ,AP=csθ ,由商数关系求 tanθ 的值;
(2)由 S△ABC=S△APB+S△APC+S△CPB ，可得 PA⋅AB+PB⋅BC+PC⋅AC=4S ，对于①在 △APB 、 △CPB、△APC 中由余弦定理结合代数运算可得 a2+b2+c2=3PA⋅AB+PB⋅BC+PC⋅AC , 再根据面积可求 a2+b2+c2 的值; ②由面积公式结合余弦定理可得 S=12ac1−a2+c2−b22ac2 , 结合①可得 a2+b2+c2=23ac1−a2+c2−b22ac2 ，平方展开运算得解.
【小问 1 详解】

在 △ABC 中, ∠ABC=π2,AC=2,AB=1 ,
所以 cs∠CAB=12 ,而 ∠CAB 为锐角,故 ∠CAB=π3 ,所以 ∠ACB=π6 ,
所以 ∠PAC=π3−θ ,而 ∠ACP=θ ,故 ∠APC=π−π3−θ+θ=2π3 .
又 ∠ABP=π2−θ ,故 ∠APB=π−π2−θ+θ=π2 ,
在 △APC 中,由正弦定理有 APsinθ=ACsin2π3=433 ,所以 AP=433sinθ ,
在 △APB 中,由正弦定理有 APsinπ2−θ=ABsinπ2=1 ,所以 AP=csθ ,
所以 433sinθ=csθ ,故 tanθ=34 .
【小问 2 详解】
S△ABC=S△APB+S△APC+S△CPB
=12PA⋅AB⋅sinθ+12PB⋅BC⋅sinθ+12PC⋅AC⋅sinθ
因为 θ=π6 ,所以 S=14PA⋅AB+PB⋅BC+PC⋅AC ,即
PA⋅AB+PB⋅BC+PC⋅AC=4S ，
① S=3 ，所以 PA⋅AB+PB⋅BC+PC⋅AC=43
在 △APB 中, PB2=AP2+AB2−2AP⋅AB⋅csπ6 ,
在 △CPB 中, PC2=BP2+CB2−2BP⋅CB⋅csπ6 ,
在 △APC 中, PA2=CP2+AC2−2CP⋅AC⋅csπ6 ,
三式相加得 PA2+PC2+PB2
=PA2+PC2+PB2+AB2+CB2+AC2−2csπ6⋅PA⋅AB+PB⋅BC+PC⋅AC ,
整理得:
a2+b2+c2=AB2+CB2+AC2=3PA⋅AB+PB⋅BC+PC⋅AC=3×43=12 .
② 又 S=12acsinB=12ac1−cs2B=12ac1−a2+c2−b22ac2
又由①知 a2+b2+c2=3PA⋅AB+PB⋅BC+PC⋅AC=43S ，
所以 a2+b2+c2=23ac1−a2+c2−b22ac2 ,
故 a2+b2+c22=12a2c2−3a2−b2+c22 ,
整理得: a4+b4+c4−a2b2−a2c2−b2c2=0 ,
即 a2−b22+a2−c22+c2−b22=0 ,
所以 a2=b2=c2 ,即 a=b=c=2 ,
所以 S=12acsinB=12×2×2×sinπ3=3 .Y
3
4
5
6
P
18
38
38
18
Y
3
4
5
6
P
18
38
38
1 8