湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高一下学期入学考试数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由于 ,但 ,故 不是 的子集, 错误; 错误; 错误，D正确.
2. “ 为第一象限角” 是 “tan ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若 为第一象限角，则 成立，但若 ，则 为第一或第三象限角. 故 “ 为第一象限角”. 是 “tan ”的充分不必要条件.
3.如果 ，那么下列不等式成立的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由 得 ,则 ,故 A 错误;
由 得 ,则 ,故 B 错误;
由 得 ,故 正确;
由 得 ,则 ,即 ,故 错误 .
4.函数 的单调递增区间为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数 的定义域为 ,因为函数 是由 与 复合而成,又 在 上单调递减, 在 上单调递减,所以函数 在 上单调递增.
5.已知 是奇函数，当 时， (其中 为自然对数的底数),则
A. -8 B. -3C. 3 D. 8
【答案】A
【解析】由 是奇函数得 ,又 时, ,所以 .
6.当 时,不等式 恒成立,则 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】当 时,不等式 恒成立,
当 时,满足不等式恒成立;
当 时,令 ,则 在 上恒成立,
函数 图象的对称轴为直线 ,
当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,
则当 解得 ,故 ;
当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减,
则 ,解得 ,故 .
综上可知, . 的取值范围是 .
7.已知函数 的部分图象如图所示,则下列说法正确的是
A. 在区间 上单调递增
B. 点 是 图象的一个对称中心
C. 若 ,则 的值域为
D. 的图象可以由 的图象向右平移 个单位长度得到
【答案】D
【解析】由题图及五点作图法得 ,则 ,故 .
时, 的值域为 错误;
由 知 在 上不单调递增, 错误;
由 ,知 B 错误;
,将函数 的图象向右平移 个单位长度得到 的图象,故 正确.
8.定义:对于 定义域内的任意一个自变量的值 ，都存在唯一一个 使得 成立，则称函数 为“正积函数”. 下列函数是“正积函数”的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于 ,由 ,
当 时，则不存在 满足情况，故 不是正积函数；
对于 ,由 ,
则对任意一个自变量的值 ,都存在唯一一个 满足 ,故 是正积函数;
对于 ,由 ,
,得 ,当 时,则 ,则 不唯一,故 不是正积函数;
对于 ,由 ,
当 时,则不存在 满足情况,故 不是正积函数.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列选项的值为正数的有
A. B. cs 2C. sin 3 D. cs 4
【答案】AC
【解析】 ,
.
10.下列函数是奇函数的是
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】A 中, 为奇函数, A 正确;
中， 为偶函数，B 错误；
C 中, 为偶函数, C 错误;
D 中, 是奇函数, D 正确.
11.已知 是定义在 上的偶函数,且 是奇函数,当 时, ,则
A. 的值域为 B. 的最小正周期为 4
C. 在 上有 3 个零点 D.
【答案】BC
【解析】对于 ,因为 是奇函数,
所以 的图象关于 对称,且 ,
因为 为偶函数,图象关于 轴对称,且当 时, ,作出 的图象,如图所示.
由图可知, 的值域为 ,故 错误;
对于 ,因为 是奇函数,所以 ,即 ,
因为 为偶函数,所以 ,即 ,
所以 ,即 ,所以函数 的最小正周期为 4,故 正确;
对于 ,由图象可得在 上, 的图象与 轴有 3 个交点,
所以函数 在 上有 3 个零点,故 正确;
对于 ,由题意得 ,所以 ,故 错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为________.
【答案】
【解析】令 ,则 ,则 ,所以 即 的定义域为 .
13.已知函数 ,若 ,总 ，使 成立，则实数 的取值范围是_______.
【答案】 或
【解析】 当 时,函数 在 上单调递增,可得 , 又函数 在 上单调递减,可得 ,由 ,总 ,使 成立,可知 解得 ;当 时，函数 在 上单调递减，可得 ，
同理可知 解得 . 综上, 或 .
14.已知函数 在区间 上单调递增,且在区间 上有且仅有 1 个零点,则 的取值范围为________.
【答案】
【解析】因为 ,所以 ,
因为 在 上单调递增,故 ,则 .
当 ,且 ,
又因为 在 上有且仅有 1 个零点,
故讨论两种情况:① ;
② .
综上, 的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知函数
(1)在所给的平面直角坐标系中，画出函数 的简图，并写出 的单调区间和值域;
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【解析】(1)作出函数 的简图如图所示.
3 分
根据图象知,函数 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 . 6 分
由于 的图象过原点,且位于 轴上方,
故 的值域为 . 9 分
(2)由 ，及函数 的单调性知，
若 ,则实数 的取值范围为 . 13 分
16.求下列关于 的一元二次不等式的解集:
(1)(7 分) -2 ；
(2)(8 分) .
【解析】(1)原不等式可化为 ,
因为方程 的两个根为 , 3 分
所以不等式的解集为 . 7 分
(2)原不等式可化为 , 9 分
① 当 时，不等式的解集为 ； 11 分
② 当 时，不等式的解集为 ； 13 分
③ 当 时，不等式的解集为 . 15 分
17.已知函数 .
(1)求 的最小正周期；
(2)若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】
( 1 )
, 5 分
所以函数 的最小正周期为 . 7 分
(2)由(1)知 ，
由 ,得 , 9 分
又函数 在 上单调递增,
所以 ,即 . 12 分
因为 恒成立,
所以 在 上恒成立,则 ,
即实数 的取值范围为 . 15 分
18.如图所示，一条笔直的河流 (忽略河的宽度) 两侧各有一个社区 ， (忽略社区的大小), 社区距离 上最近的点 的距离是 , 社区距离 上最近的点 的距离是 ,且 . 点 是线段 上一点,设 .
现规划了如下三项工程:
工程 1: 在点 处修建一座造价 0.1 亿元的人行观光天桥;
工程 2: 将直角三角形 地块全部修建为面积至少为 的文化主题公园，且每平方千米造价为 亿元;
工程 3: 将直角三角形 地块全部修建为面积至少为 的湿地公园，且每平方千米造价为 1 亿元.
记这三项工程的总造价为 亿元.
(1)求实数 的取值范围；
(2)问点 在何处时， 最小，并求出该最小值.
【解析】(1)因为直角三角形 地块全部修建为面积至少为 0.25 km 的湿地公园，
所以 ,解得 . 4 分
因为直角三角形 地块全部修建为面积至少为 的文化主题公园,
所以 ,解得 , 8 分
故实数 的取值范围为 . 9 分
(2)依题意可得，
, 15 分
当且仅当 ,即 时等号成立. 16 分
所以当点 满足 时, 最小,最小值为 5.1 亿元. 17 分
19.若存在实数对 ,使等式 对定义域中每一个实数 都成立,则称函数 为 型函数.
(1)若函数 是 型函数，求 的值；
(2)若函数 是 型函数，求 和 的值；
(3)已知函数 定义在 上， 恒大于 0，且为(1,4) 型函数,当 时, . 若 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】(1) 由 是 型函数,得 ,即 ,
所以 . 2 分
(2)由 是 型函数，得 , 3 分
则 ,因此 对定义域 内任意 恒成立, 4 分
于是 解得 ,
所以 . 6 分
(3)由 是 型函数，得 ,
① 当 时， ，而 ，则 ，满足 ； 8 分
② 当 时， 恒成立,
令 ,则当 时, 恒成立,于是 恒成立,
而函数 在 上单调递增,则 ,当且仅当 时取等号,因此 ; 11 分
③ 当 ,则 ,
由 ,得 ,
令 ,则当 时, , 14 分
由 ② 知 ，则只需 时， 恒成立，即 恒成立，
又 ,当且仅当 时取等号,因此 . 16 分
综上,实数 的取值范围是 . 17 分