辽宁省辽西重点高中2026届高三上学期1月期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份辽宁省辽西重点高中2026届高三上学期1月期末考试数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．已知，则 （ ）
A．1B．C．D．
2．已知，则“”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．为了解中小学生手机使用情况，某地区计划从8000名小学生、8000名初中生，4000名高中生中采用分层抽样的方式一共抽取100名学生进行调查，则应选取的高中生人数为（ ）
A．10人B．20人C．33人D．40人
4．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（ ）
A．B．C．D．
6．正三棱台上底面边长为2，下底面边长为3，侧棱长为，则该棱台的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列的前n项和为，，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．若，则
8．已知函数，将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．为等比数列的前项和，为的公比（），，，则（ ）
A．B．是和的等差中项
C．D．
10．已知抛物线的焦点为F，直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于A，B两点，M是线段AB的中点，则下列正确的有（ ）
A．线段AB的长度最短为2
B．若，则M到y轴的距离为2
C．M到y轴的最短距离为1
D．当的斜率存在时，的取值范围为
11．若定义域为. 对任意，存在唯一，使得，则称在定义域上是“倒数函数”，则下列说法正确的是（ ）
A．是倒数函数
B．是倒数函数
C．若在上是倒数函数，则
D．若存在，使得 在定义域上是倒数函数，则
三、填空题
12．已知点为椭圆上一点，直线过圆的圆心且与圆交于，两点，则的取值范围为 ．
13．已知函数，若恒成立，则的最大值为 ．
14．已知函数，若对任意，，存在，使得不等式成立，则的最大值为 .
四、解答题
15．内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知成等差数列.
(1)求；
(2)若，点在BC上，满足，求.
16．已知椭圆的离心率为，且经过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)斜率为的直线与轴交于点，与椭圆交于两点，求的值.
17．如图，在以为顶点的五面体中，四边形为等腰梯形，，，为直线上的点．
(1)证明：四边形为平行四边形；
(2)已知．
（i）求；
（ii）若，求二面角的余弦值．
18．已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)直线l是曲线的一条切线，且l与曲线有无穷多个切点，求l的方程并求出关于x的方程的所有实数解；
(3)已知，且当，都有恒成立，求正整数a的所有可能取值.
19．某学术机构计划在相邻的两周各举办一场不同主题的学术研讨会，分别由“理论组”和“应用组”负责．已知该机构有位研究员，每场会议需要邀请位研究员作报告和是固定的正整数，且）．假设“理论组”和“应用组”独立地、随机地从全部位研究员中各自选择人发出邀请，且所有邀请都能准确送达．记收到“理论组”或“应用组”邀请通知的研究员人数为．
(1)当时，求研究员甲收到邀请通知的概率；
(2)定义变量，记“第位研究员收到“理论组”或“应用组”邀请通知”为“”，否则记为“”，求；
(3)求使取得最大值的整数．
参考答案
1．D
【详解】因为，所以，
故．
故选：D
2．B
【详解】证明充分性：因为，解得，当时，，则，所以是偶函数；
当时，，则，所以是奇函数，故不充分.
证明必要性：若为奇函数，则，即，
整理得，因为，所以，即，故必要，
综上所述“”是“为奇函数”的必要不充分条件，
故选：B.
3．B
【详解】设选取的高中生人数为人，
根据题意，可得，解得，
所以应选取的高中生人数为人.
故选：B.
4．A
【详解】设，则，
因为，所以，所以.
故选：A.
5．C
【详解】∵函数为奇函数，∴，
又∵，
∴，故选项C正确.
其他三个选项条件不足无法计算，故选C.
故选：C.
6．C
【详解】由题知当上底面边长时，则正三角形中心（重心）到顶点的距离：，
当下底面边长时，正三角形中心到顶点的距离：，
设棱台的高为，侧棱长，
由勾股定理得：
，
则，，
将，， 代入体积公式：
故选：C.
7．C
【详解】对于A，由，得，，两式相减得，故A正确；
对于B，又由，，
两式相加得，故B正确；
对于C，由，可得，又，两式相减得，
所以
，故C错误；
对于D，由
，
即，结合，得，故 D正确.
故选：C.
8．B
【详解】将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，
可得：，
当，可得，
则，
因为存在唯一实数，使得，
即是的子集，且唯一，
由图像可知，
，
所以实数的取值范围为，
故选：B
9．ABD
【详解】对于等比数列，有，依题意，，解得或（舍），，选项A正确；
结合A的分析可知，则，
则，即是和的等差中项，选项B正确；
对于等比数列，有，
因此，选项C错误；
对于等比数列，有，，
则，
，选项D正确.
故选：ABD.
10．BC
【详解】由题意有：抛物线的方程为，焦点，准线：，
设，点，
对于A，当垂直于轴时，的长度最短为4，故A错误；
对于B，由抛物线的定义知，，有，
所以到轴的距离为，故B正确；
对于C，当直线的斜率不存在时，到轴的距离为1.
当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为，
联立，得，
则，所以到轴的距离为，
综上，到轴的最小距离为1. 故C正确；
对于D，当直线的斜率存在时，同上设为，
则
，
，
则
，
因为，所以，所以，所以，
所以，即，故D错误.
故选：BC.
11．AC
【详解】由题意对任意，存在唯一，使得，
则称在定义域上是“倒数函数”，
则在定义域上是“倒数函数”当且仅当对任意，存在唯一，
使得；
即当且仅当的值域是的值域的子集，
定义的值域、的值域分别为，
所以在定义域上是“倒数函数”当且仅当；
对于A，的值域为，
而的值域为，显然满足，
又为增函数，故唯一性成立，故A正确；
对于B，由对勾函数性质可得，的值域为，
而的值域为，不满足，故B错误；
对于C，由题意在上是倒数函数，
首先当时，单调递减，
此时，
由倒数函数定义可知，不包含0，即（1）；
从而在时的值域为，
由题意，
所以要满足题意，还需满足（2）；
只需（1）（2）式子同时成立即可，
所以当且仅当，解得，
又在上递减，故唯一性成立，故C正确；
对于D，必要性：
情形一：当时，在定义域上单调递增，
则，
若在定义域上是倒数函数，
首先，此时的值域为，
同时注意到不成立，故不符合题意；
情形二：当时，在定义域上单调递增，
则，
若在定义域上是倒数函数，
首先，此时的值域为，
同时注意到不成立，故不符合题意；
情形三：当时，注意到的对称轴为，
则，
（i）当时，，
由二次函数性质可知存在使得，即此时，
若在定义域上是倒数函数，
首先，此时的值域为，
同时注意到不成立，故不符合题意；
（ii）当时，
由二次函数性质可知，
即此时，注意到，
若在定义域上是倒数函数，
首先，其次结合，可得应该满足；
充分性：，有，
此时的值域为，，，
故存在，使，
此时存在两个，使，不合题意，故D错误.
故选：AC.
12．
【详解】由圆，可得的圆心为，半径为，
又由椭圆，可得，，则，
所以所以圆心为椭圆的右焦点,
因为直线过圆的圆心且与圆交于两点，
所以是圆的直径，且为的中点，所以，所以，
如图所示，连接，
可得：
因为点为椭圆上任意一点，所以．
由，所以．
故答案为：．

13．
【详解】由可得，
当时，此时恒成立，在上单调递增，当时，，不满足，故不合题意；
当时，此时；
当时，令得，故在单调递增，
令得，故在单调递减，
要使恒成立，则，故，
所以，
记，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故，故的最大值为．
故答案为：
14．/0.5
【详解】由题意可得，若存在，使得不等式成立，则，
即对于任意，则，
可看作函数与函数图象上横坐标相同时，纵向距离的最大值中的最小值，
由正弦函数性质作出函数的图象如下：

可取.
设与直线平行，且与的图象相切的直线为，
则的方程为，
当直线与两条直线的距离相等时，即恰好在与直线的中间时，
函数与函数图象上的纵向距离能取到最大值中的最小值，
即，，此时，，故，
所以的最大值为.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为成等差数列，
所以，
由正弦定理可得，
因为，所以且，
所以，故，
（2）因为，，
设，则，
因为，，
所以，
因为，所以，即，
所以，则，
因为，故，即.
16．(1)
(2)
【详解】（1）解：由椭圆的离心率为，且经过点，
可得，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：设的坐标分别为，直线的方程为，
联立方程，消去后整理为，
则有，
由，令，解得，即点，
则
，
所以的值为.
17．(1)证明见解析
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）证明：因为，平面，平面，
故平面，
因为平面，平面平面，
则，
又，所以四边形为平行四边形；
（2）（i）如图，在四边形中，连接，
由（1）知，故，
由余弦定理，有，
故，解得，
故，
（ii）如图，在梯形中，作于，
由，
故，则，
又等腰梯形，，，
故，，则，
又，有，即，
故两两互相垂直，以为原点，分别为建立空间直角坐标系，如图：
则，
，
点在上，故平面即平面，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，则，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，则，
所以，
由图可知二面角为钝角，故二面角的余弦值为．
18．(1)单调减区间为，无单调增区间
(2)直线的方程为或，
当时，方程的所有实数解为或，；
当时，方程的所有实数解为 ()；
当时，方程的解为全体实数.
(3)
【详解】（1）当时，，则，此时，
所以的单调减区间为，无单调增区间.
（2）由，得，
由直线与曲线有无穷多个切点知直线斜率一定存在.
设直线的方程为且与曲线相切于点，
则直线的方程也为，
即，
化简得，
则.
由与曲线有无穷多个切点，即存在无穷多个满足，
若，则可以无穷大，也可以无穷大.
与矛盾，故必有.
此时，解得，，，
则直线的方程为或.
而，即为，
当时，方程的所有实数解为或，.
当时，方程的所有实数解为 ()；
当时，方程的解为全体实数.
（3）因为，，则在上恒成立，
则，且.
当，，不合题意舍去；
当，则，
故.
令，则.
令，由（1）知在上递增，所以，
所以，即在上递增.
又，则，所以在上递增.
又，即，，符合题意；
当，令，则，
所以，不合题意舍去，
综上，正整数a的取值集合为
19．(1)
(2)，
(3)答案见解析
【详解】（1）设事件表示“研究员甲即没被“理论组”邀请，也没有被“应用组”邀请”，
则；
（2）
；
由，
则；
（3）当时，只能取，有，
当，整数满足，其中是和中的较小者，
“两组各自独立、随机的选择人发出邀请”所包含的基本事件总数为，
当时，同时收到两组人邀请的人数恰为，
仅收到一组人邀请的人数为，
则事件所含基本事件数为，
此时，
当，，即，
即，
化简得，
即，则，
假如成立，
则当能被整除时，
，
故在和处达到最大值；
则当不能被整除时，
在处达最大值.（注：表示不超过的最大整数）.
下证：，
因为，所以，