河北省唐山市2026届高三下学期一模数学试卷含答案（word版+pdf版）

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注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，使用 0.5 毫米黑色字迹签字笔，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的.
1. 样本数据1,2,3,6,12,24的中位数为
A. 8 B. 6
C. 4.5 D. 3
2. z 表示复数 z 的共轭复数,若 z=3+4i ,则 z+z=
A. 2−4i B. 8−4i
C. 22−4i D. 28−4i
3. 已知全集 U 及其两个非空真子集 M,N ,则 ∁UM∪N=
A. ⌀ B. M∩N
C. ∁UM∩∁UN D. ∁UM∪∁UN
4. 记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和,若 a2=2,S7=35 ,则 a8=
A. 11 B. 9
C. 8 D. 5
5. 某学校组织同学们假期参加社区服务活动, 4 名同学被分配到甲、乙两个社区, 每个社区至少一名同学, 则不同的分配方案有
A. 6 种 B. 12 种
C. 14 种 D. 28 种
6. 若 x 为锐角,且 2sinx−12csx−1>0 ,则 x 的取值范围是
A. 0,π6 B. π6,π4
C. π4,π3 D. π3,π2
7. 等轴双曲线 C 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,以 F1F2 为直径的圆 O 与双曲线 C 交于 M,N,P,Q 四点. 设四边形 MNPQ 的面积为 S1 ,圆 O 的面积为 S2,O 为坐标原点,则
A. S1S2=32π B. S1S2=3π
C. S1S2=2π D. S1S2=3π
8. 已知 csαcsβ=csα−csβ,M=csα−csβ,N=csα+csβ ,则
A. M 的最小值为 −12 B. M 的最大值为 1
C. N 的最小值为 0 D. N 的最大值为 32
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知 an=2n,Sn 为数列 an 的前 n 项和,则下列结论正确的有
A. an 是等比数列 B. Sn=2n−2
C. 1an 是递减数列 D. an 中存在连续三项成等差数列
10. 若函数 y=gx 与函数 fx=xex 的图象关于 y 轴对称,则
A. fx 与 gx 有相同的零点 B. fx+gx 为偶函数
C. fx 与 gx 有相同的极值点 D. 对任意的 x∈R ,都有 fx+gx≥0
11. O 为坐标原点,抛物线 C:y2=4x 的准线与 x 轴的交点为 M ,直线 l 与 x 轴交于点 N ,与抛物线 C 交于 A,B 两点,满足 OA⊥OB ,作 OD⊥l 于 D ,则
A. N 的横坐标是 4
B. NA⋅NB≤ON2
C. 直线 MD 斜率的最大值为 23
D. 当直线 MA 与 C 相切时, BN=4AN
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 fx=xx−2 ,若 fx=3 ,则 x= _____.
13. 已知点 A1,1,B5,3 ,若将 AB 绕点 A 逆时针旋转 90∘ 得到 AC ,则点 C 的坐标为_____.
14. 若一个棱长为 22 的正四面体可以绕其中心在一个封闭的圆锥形容器 (容器壁厚度忽略不计) 内任意转动，则此圆锥体积的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
如图，在三棱锥 P−ABC 中， BC=PB=PC=2,BC⊥AP,D 是 BC 的中点.
(1)证明:平面 ABC⊥ 平面 APD ；
(2)若 AD=1 ，三棱锥 P−ABC 的体积为 33 ，求直线 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值.

16. (15 分)
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 32 ，其左顶点为 A ，上顶点为 B ， △AOB 的面积是 1,其中 O 是原点,平行于 AB 的直线 l 与 C 交于 M,N .
(1)求 C 的方程；
(2)是否存在这样的直线 l ，使以 A ， B ， N ， M 为顶点的四边形为等腰梯形？若存在， 求此时 l 的方程；若不存在，请说明理由.
17. (15 分)
记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ,已知 cs2A+cs2B=2cs2C .
(1)证明: a2+b2=2c2 ；
(2)若 bc=sinA3 ，求 A .
18.(17 分)
函数 fx=alnx−x+1x,gx=xlnx−x+1 .
(1)若 fx 在 0,+∞ 单调递减，求 a 的取值范围；
(2)若曲线 y=fx 与 y=gx 在 x=1 处有相同的切线，
( i ) 求 a 的值;
(ii) 若 fx1=gx2 ,证明: x1⋅x2≤1 .
19. (17 分)
某销售公司为了激励员工，对销售冠军——员工甲进行奖励，奖励方案为:在一个盲盒里,有 n (足够多) 张奖券,这些奖券的金额各不相等,其最大值为 M ,但金额具体是多少, 并未公开. 该员工甲需逐张随机抽取并查看金额, 如果对抽取的奖券不满意就弃掉,继续抽奖 (弃掉的奖券不能再抽取), 如果对这张奖券比较满意就保留, 从而停止抽奖, 公司将以此奖券金额作为奖励.
(1)若甲抽取了两张，把第 2 张奖券保留下来，求甲获得最大金额奖励 M 的概率；
(2)若甲先抽取了 kk∈N∗ ，且 k