山西省大同市2026届高三下学期第一次模拟考试质量监测数学试卷试卷含答案（word版+pdf版）

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1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置.
2. 全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
3. 回答选择题时，选出每小题答案，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案用 0.5 mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上.
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
5. 本试题共 5 页, 满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的.
1. 设集合 P={−1,0,1,3},Q={x∈Z∣−1≤x5
6. 已知 csα+2sinα3csα−4sinα=−1 ,则 tan2α+π4=
A. -3B. −13 C. −17 D. -7
7. 已知双曲线 x29−y272=1 的左右焦点分别是 F1,F2,Q 是双曲线右支上的动点,过 F1 作 ∠F1QF2 平分线的垂线,垂足为 M ,则点 M 的轨迹方程为
A. x2+y2=9−12fx2−3x+3f2xx2 的解集为
A. 3,3 B. 3,+∞ C. 0,3 D. 3,+∞
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中,有多项 符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有错选的得 0 分
9. 下列关于函数 fx=4sin2x−π8 的说法正确的是
A. 直线 x=π16 是函数 y=fx 图象的一条对称轴
B. fx 在区间 −π8,π8 上单调递增
C. fx 的图象可通过 y=4sin2x 的图象上所有点向右平移 π8 个单位长度得到
D. 若 x1≠x2 ,且 fx1=fx2=2 ,则 x1−x2min=π3
10. 已知单位向量 a,b,c 满足 a+b+c=0 ，则下列结论正确的是
A. a,b=2π3
B. b+c=1
C. a⋅b+c=1
D. a 在 b+c 上的投影向量为 a
11. 如图,在几何体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,棱 AE⊥ 底面 ABCD , CF//AE ,且 AE=CF=a ,则下列表述一定正确的是.
A. EF// 平面 ABCD
B. 几何体 ABCDEF 外接球表面积是 2a2π
C. 几何体 ABCDEF 的体积是 2a3
D. 当 a=1 时,几何体 ABCDEF 一定有内切球
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 曲线 y=x3+2x 在点 −1,a 处的切线方程为_____.
13. 已知 △ABC 内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c ，该三角形外接圆半径为 R ，面积为 S . 若 a2sin2B+b2sin2A=4R2,S=4 ，则 R= _____.
14. 抛物线 y2=2pxp>0 的焦点为 F ,过 F 的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点 (其中点 A 位于第一象限), AF=3FB,M 是线段 AB 的中点,且点 M 纵坐标为 2,则 p= _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,a1=1,3Sn=an+1−1 .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)求数列 Sn 的前 n 项和 Tn .
16. (15分)
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中， AB=AC=1 ， ∠CAB=90∘ ， D ， E ， F 分别为棱 AA1 ， BB1 ， C1B1 的中点.
(1)证明:平面 EFD⊥ 平面 ACC1A1 ；
(2)过 C1 作平面 EFD 的平行平面 α ，平面 α 将直三棱柱 ABC−A1B1C1 截成两部分，其中较大部分体积为 23 ,求直线 A1C 与平面 EFD 所成角的正弦值.
17. (15 分)
已知椭圆 x24m+y2m=1 的长轴长为 4，左、右顶点分别为 A,B ，经过点 P1,0 的动直线与椭圆相交于不同的两点 C,D (不与点 A,B 重合).
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)求四边形 ACBD 面积的最大值.
18.(17 分)
某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性；现有 nn∈N∗ 份血液样本，有以下两种检验方式:①逐份检验，需要检验 n 次；②混合检验，将其中 kk∈N∗,k≥2 份血液样本分别取样混合在一起检验. 若检验结果为阴性,这 k 份血液全为阴性,因而这 k 份血液样本只要检验一次就够了,如果检验结果为阳性,为了明确这 k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这 k 份再逐份检验，此时这 k 份血液的检验次数总共为 k+1 次. 假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为 p00 ,即 x2fx1>x1fx2 , 所以 fx1x1>fx2x2 ,令 gx=fxx ,因为当 x1>x2>0 时,都有 gx1>gx2 , 所以函数 gx 在 0,+∞ 上单调递增. 又不等式 f2x>2fx2−3x+3f2xx2 两边同乘以 x2 , 得 x2f2x>2xfx2−3+3f2x ,即 x2−3f2x>2xfx2−3 , 即 f2x2x>fx2−3x2−3 ,所以 g2x>gx2−3 , 故 2x>0x2−3>02x>x2−3 ,解得 30 , 13 分
当 x∈0,4 时, f′x>0,fx 在 0,4 上单调递增,
当 x∈4,+∞ 时, f′x0,f9=ln9−94=2ln3−940,fx 在 −∞,ln23 上单调递增,
当 x∈ln23,+∞,f′x02a+1>0 ,解得 −12