四川射洪中学校2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题含 答案

这是一份四川射洪中学校2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题含 答案，共18页。
注意事项:
1. 本试卷分第I卷和第II卷两部分.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答第I卷时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.
3. 回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题:(本题共8小题共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的)
1. 已知复数 z 满足 iz=−2+3i ，其中 i 为虚数单位，则 z 在复平面内对应点的坐标为( )
A. 3,−2 B. −3,−2 C. −3,2 D. 3,2
2. 已知全集 U={−1,0,1,2},A=x∈Zx−11 ,若函数 fx=axlna−ex 有两个不同的零点,则 a 的取值范围是( )
A. e,+∞ B. 1,e C. 2e,+∞ D. e,2e
二、多选题: (本题共3小题, 每小题 6 分, 共18分.在每小题给出的选项中, 有多 项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 设等差数列 an 的前 n 项的和为 Sn ,若 a1+a8>0,a50 B. S9>0
C. 当 n=4 时, Sn 取最大值
D. 数列 Snn 是递减数列
10. 已知函数 fx 是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时, fx=x2−3ex ,则()
A. f−1=−2e
B. fx 的零点个数为 3
C. fx 的极值点个数为 3
D. 若方程 fx=t 有三个实数根,则 t 的取值范围是 −2e,−3∪3,2e∪{0}
11. 已知函数 fx=3sin3x−cs3x ，则下列说法正确的是( )
A. fx 的图象可由 y=2sin3x 的图象向右平移 π18 个单位长度得到
B. 直线 x=2π9 是 fx 的图象的一条对称轴
C. fx 在区间 −π18,5π18 上单调
D. y=fx−sinx 在区间 0,2π 上有 6 个零点
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 正项等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,已知 S3=a2+10a1 ,则公比 q= _____.
13. 直线 ax−2y+5=0 与圆 x2+y2=2 相交于 A,B 两点,且 ∠AOB=90∘ ( O 为坐标原点), 则 a= _____.
14. 已知三棱锥 P−ABC 中, Q 为 BC 中点, PB=PC=AB=BC=AC=4 ,侧面 PBC⊥ 底面 ABC ，则过点 Q 的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，且 3asinC−ccsA−c=0 .
(1)求 A ；
(2)若 sinB+sinC=11314,a=7 ，求 △ABC 的面积.
16. 某工厂生产了两批次的某种产品，现从两批次的产品中共抽取 500 件进行检测，根据检测结果(“次品”或“合格品”)得到如下列联表:
(1)根据小概率值 α=0.01 的 χ2 独立性检验，能否认为产品检测结果与生产批次有关联？
(2)用样本估计总体，频率估计概率. 现等可能地从两批次中选一批次，再从该批次中随机抽取 1 件产品.
(i)求取出的产品是次品的概率；
(ii) 已知取出的产品是次品, 求它是从第一批次的产品中取出的概率.
参考公式: χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d ,其中 n=a+b+c+d .
参考数据:
17. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左焦点在抛物线 y2=46x 的准线上,且椭圆的短轴长为 22 .
(1)求椭圆的方程；
(2)已知过原点的直线 l1 与椭圆相交于 M,N 两点，若直线 l2:x−2y+42=0 上存在点 Q ， 使得 △MNQ 是以 MN 为底边的等腰直角三角形,求直线 l1 的方程.
18. 如图,直角梯形 ABCD,AB//CD,BC⊥CD,AE⊥CD,M 为 AD 中点,将 △ADE 沿 AE 折起,使 D 到 P 处.


(1)求证: PC// 平面 BEM ；
(2)若平面 AEP⊥ 平面 ABCE ， AE=PE=4 ， AB=42 ， PN=λNBλ>0
(i) 当 λ=13 时,求证: 平面 PBC⊥ 平面 EMN ;
(ii) 当二面角 P−EM−N 的正弦值为 41717 时,求 λ 的值.
19. 拉格朗日 (Lagrange) 中值定理, 是微分学中的基本定理之一, 反映了可导函数在闭区间上整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系. 定理的表述如下: 若函数 fx 在 a,b 上连续,且其导函数为 f′x ,那么在开区间 a,b 内至少存在一点 ξ ,使得 f′ξ=fb−fab−a . 已知函数 fx=xlnx
(1)求函数 fx 在 1e2,e2 上的值域；
(2)已知 0