精品解析：江苏省常州市联盟学校2024-2025学年高二下学期期中学情调研数学试卷+答案

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高二年级数学试卷
本试卷共19大题，满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知随机变量，设随机变量，则（ ）
A B.
C D.
4. 甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数在处取得最小值，则（ ）
A. B. C. D.
6. 定义：设是的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为，则求函数在点处的切线方程（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，则小球落入（ ）号格子的概率最大.
A. 5B. 6C. 7D. 8
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知两个离散型随机变量，满足，其中的分布列如下：
其中为非负数.若，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，菱形边长为为边的中点，将沿折起，折叠后点的对应点为，使得平面平面，连接，则下列说法正确的是（ ）
A. 点到平面的距离为
B. 三棱锥的体积为
C. 与所成角的余弦值为
D. 直线与平面所成角的正弦值为
11. 设函数，则（ ）
A. 有二个零点
B. 过点仅可以作一条直线与的图象相切
C. 当时，
D. 若在区间上有最大值，则的取值范围为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则__________.
13. 设函数，已知，且，则的最小值为__________.
14. 如图，长方体的顶点在平面内，其余顶点均在平面的同侧，.若顶点到平面的距离为，顶点到平面的距离为，则顶点到平面的距离为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，平行六面体的底面是菱形，且，为的中点. 求证：
（1）平面；
（2）.
16. 常州市教育局为了解高二学生每天的作业完成时长，在高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示：
用表格中频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响，
（1）从样本“完成各科作业总时长在2.5小时内”的学生中随机选取4人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望；
（2）从高二学生（学生人数较多）中随机选取4人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，人在3小时及以上完成各科作业，试写出数学期望并比较其大小关系.
17. 如图，在三棱锥中，为的中点，平面平面.
（1）证明：；
（2）若二面角的大小为，求平面与平面的夹角的正弦值.
18. 2024年新高考Ⅰ卷数学卷面分值进行了调整，其中第9题到第11题为多项选择题，每题分值为6分，若正确选项有2个，选对2个得6分，选对1个得3分，有选错的或不选择得0分；若正确选项有3个，选对3个得6分，选对2个得4分，选对1个得2分，有选错的或不选择得0分．已知甲、乙两位同学各自独立作答第11题，设第11题正确答案是2个选项的概率为．
（1）已知甲同学随机（等可能）选择了2个选项作答，求他既选出正确选项也选出错误选项的概率；
（2）若乙同学在作答第11题时，除确定B，D选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项作答．求乙在答题过程中使得分期望最大的答题方式，并写出得分的最大期望．
19. 已知函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若，求的取值范围.1
2
3
时长（小时）
人数
4
5
33
42
16