安徽省宿州市2025-2026学年高三上学期期末测试数学试卷（Word版附解析）

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1.本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，请将答案写在答题卡上.写在本试卷
上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. [1，2] B. （1，2］ C. ［1，3］ D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数性质和一元二次不等式化简集合，然后利用交集的定义运算即得.
【详解】由 可得 ，即 ，故 ；
由 得 ，即 ，故 .
因此 ，
故选：B.
2. 已知复数 ，在复平面内， 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】首先化简 ，再根据复数代数形式的除法运算化简 ，最后根据复数的几何意义判断即可.
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【详解】因为 ，
所以 ，
所以 在复平面内对应的点为 ，位于第三象限.
故选：C.
3. 已知向量 满足 ，且 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据投影向量的定义计算可得.
【详解】因为 ，且 ，由投影向量的定义，向量 在 上的投影向量为： .
故选：A.
4. 已知函数 ，当 时， 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为 ，然后再利用正弦函数的基
本性质可求出函数 的最小值.
【详解】由 ，
根据二倍角公式得 ，
当 时，所以 ，结合正弦函数图像可知，
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时， 的最小值为 ,
最大值为 ，故 ，
因此 ，所以 的最小值为 .
故选：B.
5. 2025 年 11 月 7 日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三
场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是 ，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比
赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算，再利用条件概率公式求解.
【详解】设第一、第二、第三场单打赢对手分别为事件 A，B，C，
三场比赛中恰有两场赢对方为事件 D，则 ，
，
所以 .
故选：B
6. 一个底面直径为 16cm，高为 60cm 的圆柱形水槽中装有高度为 40cm 的水，现向其中放入一个直径为 8cm
的铁球和一个底面直径和高均为 8cm 的圆锥形铁块，当铁球和圆锥形铁块都完全浸没入水中时，水槽中的
水面高度达到（ ）
A. 42cm B. 44cm C. 48cm D. 50cm
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【答案】A
【解析】
【分析】易知铁球的体积和圆锥形铁块的体积之和除以圆柱形水槽的底面积即得水面上升的高度.
【详解】根据题意可知铁球的体积和圆锥形铁块的体积之和等于上升部分水的体积，
利用体积之和除以圆柱形水槽的底面积即得水面上升的高度，
即 ，故水槽中水面的高度达到了 42cm.
故选：A
7. 已知圆 ，直线 ，则直线 被圆 截得的弦长的最小值为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】定点与圆心连线垂直于直线 时，圆心到直线的距离最大，此时弦长最小.
【详解】因为圆 ，圆心 ，半径 ，
直线 过定点 ，
则定点到圆心的距离 ，
故定点在圆内，定点与圆心连线垂直时，此时弦长最小，
故最小值为 .
故选：D.
8. 已知正实数 m，n，满足 ，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题可得 或 ，结合对数函数，指数函数的性质依次判断各选项即可.
【详解】因为正实数 m，n，满足 ，且 ，可得 或 ，
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对于 A 选项，取 ，显然 ，A 错误；
对于 B 选项，取 ，显然 ，B 错误；
对于 C 选项，设函数 ，令 ，则
，
当 在 上单调递增，当 ， 在 单调递减，
又因为 ，所以 恒成立，即 恒成立，即 在 上均单调递减，
所以当 或 时， ，即 ，
由于 ，所以 即 ，C 正确；
选项 D，取 ，显然 ，而 ，故 ，D 错误.
故选：C.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9 设函数 ，则（ ）
A. 在 处的切线方程为 B. 是 的极大值点
C. 当 时， D.
【答案】AD
【解析】
【分析】对于 A 选项求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，对于 B,C 选项求出函
数的单调区间，从而得到函数的极大值点以及函数值的范围，对于 D，代入函数解析式验证即可求解.
【详解】对于 A， ，在 处的切线方程为 ，
化简可得 ，故 A 选项正确；
对于 B， ，令 ，解得： ,
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令 ，解得： 或 ,
令 ，解得： ,
所以函数 在 和 递增，在 递减，
则 是 的极小值点，故 B 选项错误；
对于 C，由于函数 在 和 递增，在 递减，故当 时，最小值为
，最大值为 ，所以 ，故 C 选项错误：
对于 D 选项，由于
，D 选项正确.
故选：AD
10. 已知 是各项均为正数的等差数列，且公差 ， 是各项均为正数的等比数列，且公比
，若项数均为 项（ ），下列说法正确的有（ ）
A. 数据 的平均数是
B. 数据 的平均数是
C. 若 ，则数据 的中位数大于数据 的中位数
D. 若 ，则数据 的平均数大于数据 的平均数
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出数据 平均数可判断 A 选项：举例可判断 B 选项；求出 、
的中位数可判断 C 选项；求出 、 的平均数可判断 D 选项.
【详解】对于 A 选项,设 的前 项和为 ，
所以数据 的平均数是 ，故 A 选项正确：
对于 B 选项，当 时，取 为 2，4，8，
平均数 ，故 B 选项错误；
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对于 C 选项， 的中位数是 ， 的中位数
是 ，故 C 选项正确；
对于 D 选项，数列 的前 项和为 ，
所以数列 的前 项和的平均数为 ，
数列 是各项均为正数，且公比 的等比数列，
所以 ，
所以 的前 项和 ，
所以数列 的前 项和的平均数小于 ，
由 C 选项知， ，所以数列 的前 项和的平均数
比 的前 项和的平均数大，D 选项正确.
故选：ACD.
11. 已知点 是曲线 上的任意一点， 是曲线 上任意一点，设 PQ 的中点为 M，O 为坐标原点，记
的最小值为 ，下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】对 A 可判断中点 在直线 上，进而可得最小值 ；对 BCD 选项，先由中点坐标公
式及曲线 ，曲线 ，可得点 M 的轨迹方程（以 P 点的横坐标为参数），再用点到直线的距离公式，并结
合用导数求最小值可得.
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【详解】设 ，
对于 A：若动点 P，Q 分别在直线 和 上移动，且 .
如图：
所以 PQ 的中点 在直线 上，所以点 到原点 的距离 ，故.A 选项正
确.，
对于 B：设点 在直线 上，点 在曲线 上，
对于直线上一个固定点 ，曲线 上一个动点 ，
中点 满足 ，代入 可得 ，
即对于每一个直线上的固定点 ， ，只需再求点 在直线上运动时 ，
显然 ，故 .所以 B 选项正确.
对于 C：设点 在直线 上，点 在曲线 上，
线段 PQ 的中点为 M，O 为坐标原点，则 ，
消去参数 ，可得点 的轨迹方程为直线 ，则 ，
令 ， ，所以 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，所以 ，
故 ，所以 C 选项正确.
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对于 D：若动点 P，Q 分别在 和曲线 上，
则 ，又 ，所以 ，
所以点 在直线 上.
又 ，所以点 到直线 的距离 ，
令 ，则 ，
令 ，得 ，进而可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 .于是可得 ，D 选项错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在 的展开式中， 的系数是__________.（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】直接根据二项式定理展开式的通项公式计算可得.
【详解】因为 的展开式的通项为 ，
令 ，得 ，所以 的系数是 .
故答案为：
13. 已知椭圆 与抛物线 有相同的焦点 ，若椭圆 与抛
物线 在第一象限的交点为 且 ，则椭圆 的离心率为__________.
【答案】
【解析】
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【分析】先由焦点可得 ，进而可得 ，再由椭圆的定义可得椭圆的长轴，从而可
得离心率的值.
【详解】由焦点 ，得 ，所以抛物线的方程为 ，准线为 .
又由 ，得 ，所以 ，设椭圆的左焦点为 ，
有 ，故 ，可得离心率为 .
故答案为： .
14. 在 中， 分别是边 边的中点，若 ，则
的面积是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形重心的几何性质、向量的数量积公式和三角形的面积公式即可求解.
【详解】如图，设 的三条中线 交于点 ，则点 为 的重心，
由重心的几何性质有 ， ， ，
在 中， ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
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所以 ；
所以 ，即 的面积是 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某数学兴趣小组为深入了解某款智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人
群中随机抽取了 200 名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的 分位数；
（2）为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照等比例分配分层随机抽样的方式
从 ，［30，40）年龄段中随机共抽取 8 名居民.若从选定的这 8 名居民中随机再抽取 3 名，记 3 人中
在 年龄段的人数为 ，求 的分布列及数学期望.
【答案】（1）28 （2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）解法 1：按照 分位数的性质，结合频率分布直方图进行求解即可；
解法 2：按照 分位数的公式，结合频率分布直方图进行求解即可；
（2）根据分层抽样的性质，结合古典概型运算公式、组合的定义、数学期望的定义进行求解即可.
【小问 1 详解】
由频率分布直方图可知，年龄在 居民占的比例为 ，年龄在 的居民所
占到比例为 ，所以 分位数位于 内，设其为 ，
则 ，解 ，
所以年龄样本数据的 分位数为 28.
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解法 2.由频率分布直方图知，年龄在 的居民所占的比例 ，年龄在 的居民所
占的比例为 ，所以 分位数位于 内，
由
所以年龄样本数据的 分位数为 28.
【小问 2 详解】
被调查的居民年龄在 ， 比例为 1:3，按照分层随机抽样， 应抽取 人，
应抽取 人.
设从中随机抽取的 3 名居民中年龄在 的人数记为 X，X 的可能取值为 0，1，2.
.
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
0 1 2
所以数学期望为： .
16. 已知各项均不为零的数列 ，且满足 .
（1）若 是公比为 的等比数列，求数列 的前 项和 ；
（2）若 是公差为 2 的等差数列，记数列 前 项和为 ，证明： .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先应用已知转化为 得出等比数列，再应用等比数列的求和公式计算求解；
（2）先应用累乘法求出通项公式 ，再应用裂项相消法计算证明.
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【小问 1 详解】
由数列 各项均不为零，且 ，所以 ，
因为 是公比为 的等比数列，所以 ，
因为 ，所以数列 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，
所以 ；
【小问 2 详解】
证明：因为 ，且 是公差为 2 的等差数列，所以 ，
即 ，
当 ，且 时， ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 .
17. 已知函数 .
（1）证明函数 存在唯一零点；
（2） 的零点为 ，证明 .
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分析函数的单调性，再结合零点存在定理证明；
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（2）根据 得到 满足的关系式，再将 转化，最后通过研究函数的单调性来证明不等式.
【小问 1 详解】
函数 的定义域为 ，当 时， ，（这是因为 ）
故函数 在 没有零点；
当 时， ，易见 在 上是减函数，
且 ，故存在 ，使得 在 上递增，在 上递减，
且 ，
所以 在 上存在唯一零点，又 ，所以在 上无零点，
故 在 上存在唯一零点.
【小问 2 详解】
注意到 ，由（1）知存在唯一 使得 ，
即有 ，故 .
令 ，
令 ，显然当 时， .故 在 上单调递减，
所以 .
18. 已知四棱锥 的底面 ABCD 是平行四边形， 平面 ABCD.
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（1）若平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 ，证明： ；
（2）若平面 平面 PDC.
（i）求平面 PAD 与平面 PBC 夹角的余弦值；
（ii）判断四棱锥 是否存在内切球，若存在，求出内切球半径；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）（i） ；（ii）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）首先证明 平面 PAD，利用线面平行的性质即可证明结论；
（2）（i）以点 A 为坐标原点， 所在的方向为 轴， 所在的方向为 轴， 所在的方向为 轴建立
坐标系，分别求出平面 PAD 与平面 PBC 的法向量，利用向量夹角公式求解即可；
（ii）假设四棱锥 存在内切球，内切球的半径为 ，根据棱锥内切球半径公式求得 ，
且求出 ，计算球心 到平面 PBC 的距离 与半径比较即可得到结
论.
【小问 1 详解】
因为底面 ABCD 是平行四边形，故 平面 PAD，可得 平面 PAD，
又因为 平面 PBC，平面 平面 ，所以 .
【小问 2 详解】
在平面 PAD 内过点 作 于点 ，
因为平面 平面 PDC，所以 平面 PDC，故 ，
又因为 ，又因为 ，
所以 平面 PAD，有 .所以平行四边形 ABCD 为长方形.
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如图所示，以点 A 为坐标原点， 所在的方向为 轴， 所在的方向为 轴， 所在的方向为 轴建
立坐标系.
则有 ， .取平面 PAD 的法向量为 ，
设平面 PBC 的法向量为 ，
则有 ，代入得 ，取 ，
设平面 PAD 与平面 PBC 所成角为 ，则 .
（3）易知 ，
假设四棱锥 存在内切球，内切球的半径为 ，
则有 ，解得 ，
设内切球球心为 ，根据图形特征，必有 ，
，
则球心 到平面 PBC 的距离 ，与内切球与平面 PBC 相切矛盾.
故四棱锥 不存在内切球.
19. 对任意平面向量 ，把 绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量
，叫做把点 绕点 沿逆时针方向旋转 角得到点 .
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（1）已知平面内点 ，点 ，把点 绕点 沿逆时针方向旋转 后得到点 ，求点
的坐标；
（2）若曲线 上的每一点绕原点逆时针旋转 后得到曲线 .
（i）求曲线 的方程；
（ii）已知点 在曲线 上按逆时针排列， 且有 ，求直线 斜率的取值范
围.
【答案】（1）
（2）（i） ；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据题目给的旋转角定义可得答案；
（2）（i）利用轨迹方程求法里的坐标转移法，以及题目给的旋转定义可得答案；（ii）方法一：利用题目给
的旋转的定义，点 的坐标用点 表示出来，代入到曲线 中，运算可得答案；方法二：设直线，分别求
出 的弦长，利用 ，列方程，可得答案.
【小问 1 详解】
，设 ，则 ，
由于逆时针旋转 ，根据公式有 ，
解得 ，即 .
【小问 2 详解】
（i）在曲线 上任取点 ，则有 ，
因为绕原点旋转 ，设旋转后得到点 ，
必有 ，
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故 ，即曲线 的方程为 .
（ii）方法一：（旋转设点法）设 ，
利用向量坐标旋转公式，易得 ，
则直线 DE 斜率 ，设点 ，则点 为 ，点 为 .
因 点 E，F 在曲线 上，所以 ，
即 ，两式相加有 ，
即 ，
解得 .
方法二：（常规设线法）设点 ，直线 的斜率为 ，
则直线 的方程为 ，
联立 可得 ，
化简求解得 ，
同理设直线 的方程为 ，可解得 ，
由弦长公式可得
因为 故 ，
化简得 ，平方有 ，
解得 或者 .
由于点 三点按逆时针排列，
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不妨设点 在第三象限，即 ，则有如下三种关系：
①当 时有 ，如图 1 所示，
必有 或 ，
解得 或者 ，即 ；
②当 时有 ，如图 2 所示，
必有 或 ，
解得 或者 ，即 ；
③当 时解得 或者 ，
显然不满足（注： 时可以理解为弦长无限长意义下的相等，与题意不符），
综上，弦 所在的直线的斜率 k 的取值范围是 .