沪教版（五四制）（2024）七年级下册（2024）等边三角形课时练习

这是一份沪教版（五四制）（2024）七年级下册（2024）等边三角形课时练习，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.若a、b、c是 △ABC的三边，且满足 b2+bc−ba−ca=0 ， a2+ab−cb−ac=0 ， 则 △ABC的形状为（ ）
A . 直角三角形
B . 等腰三角形
C . 等腰直角三角形
D . 等边三角形
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则BD的长为（ ）
A . 4 B . 3 C . 2 D . 1
3.如图，在等边三角形 ABC中， BD⊥AC于点 D ， CE⊥AB于点 E ， 则 ∠BOC=（ ）
A . 80° B . 95° C . 100° D .120°
4.如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB=5，BD=3，则△ADE的周长为（ ）
A . 2 B . 6 C . 9 D . 15
5.在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（ ）
A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
6.如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，测得 ∠B=60° ， 对角线 AC=10cm ， 最后用剩下的两根木条搭成了如图 3所示的图形，连接 BE ， 则图 3 中的 △BCE的面积为（ ）
A . 503cm2 B . 50cm2 C . 253cm2 D .25cm2
7.如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（ ）
A . 10cm B . 8cm C . 6cm D . 5cm
8.如图，面积为4的等边三角形 ABC中，D，E，F分别是 AB，BC，CA的中点，则 △DEF的面积是（ ）
A . 1 B . 12 C . 13 D .14
二、填空题
1.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东 45°方向，距离灯塔 502海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东 30°方向上的B处，这时B处与灯塔P的距离为 ________ 海里．
2.如图，∠AOB =30°，点P是∠AOB内的一定点，且OP =6，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是 ________ .
3.1.在平面直角坐标系中，直线l过原点且经过一、三象限，直线l与x轴所夹锐角的度数为 n° ． 对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为点Q，若点Q的纵坐标为正数，且 △MNQ是以 ∠MQN=90°的等腰直角三角形，则称点P为M，N的 n°点．
（1）如图，若点 M(2，0) ， N2+22，0 ， 点P为M、N的 45°点，连接 OP ， OQ ． 则点 P的坐标为 ________ ；
（2）已知 M(m，0) ， N(m+2，0) ， 若点 P为M，N的 60°点，且点 P的横坐标为 −1 ， 则 m= ________ ．
4.如图，点C，D分别是边∠AOB两边OA、OB上的定点，∠AOB＝20°，OC＝OD＝4.点E，F分别是边OB，OA上的动点，则CE+EF+FD的最小值是 ________ .
5.如图，直线y=2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′的坐标为 ________ ．
6.AD 是△ ABC 的中线， ∠ADB=60∘ ， BC=8 ；把△ ABC 沿直线 AD 折叠，使点 B 落在点 E 的位置，连接 CE ，则 CE 的长为 ________ .
7.如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP= ________ 时，△AOP为等边三角形．
8.已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ________ ．

三、综合题
1.已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上．
（1） 如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；
（2） 如图2，若∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
2.如图，点E、F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O.
（1） 求证：∠AFB=∠DEC；
（2） 若∠EOF=60°，试判断△OEF的形状，并说明理由.
3.在等边 ΔABC 中，线段 AM 为 BC 边上的中线.动点 D 在直线 AM 上时，以 CD 为一边在 CD 的下方作等边 ΔCDE ，连结BE.
（1） 若点 D 在线段 AM 上时（如图），则 AD ________ BE （填“＞”、“＜”或“=”）， ∠CAM＝ ________ 度；
（2） 设直线BE与直线 AM 的交点为O.
①当动点 D 在线段 AM 的延长线上时（如图），试判断 AD 与 BE 的数量关系，并说明理由；

②当动点 D 在直线 AM 上时，试判断 ∠AOB 是否为定值？若是，请直接写出 ∠AOB 的度数；若不是，请说明理由.
4.探究等边三角形“手拉手”问题.
（1） 如图1，已如△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由；
（2） 如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC＝60°，试说明点B，点D，点E在同一直线上；
（3） 如图3，已知点E在ABC外，并且与点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE.若∠BEC＝60°，猜测线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由.
四、解答题
1.我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如：如图1可以得到 a+b2=a2+2ab+b2 ．
（1） 写出由图2所表示的数学等式：______；
写出由图3所表示的数学等式：______．
（2） 利用上述结论，解决下面问题：
①已知 a+b+c=12 ， a2+b2+c2=48 ， 求 ab+bc+ac的值．
②在①的条件下，若 a、 b、 c分别是 △ABC的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．
2.在直角坐标系中等边三角形 AOB的位置如图所示，等边三角形的边长为2．
（1） 求点A的坐标；
（2） 直线 y=−33x+b过点A，与x轴交于点C，求该直线的表达式；
（3） 在x轴上是否存在点Q，使得三角形 ACQ是以 AC为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3.如图 1 ， 直线 AB过点 C2,−4 ， 且与 y轴交于点 B0,−8 ， 与 x轴交于点 A ．
（1） 求直线 AB的函数表达式及点 A的坐标；
（2） 如图 2 ， 作直线 OC ， 点P在直线 OC上，当 △PBC的面积为 △BOC面积的 3倍时，求点 P的坐标；
（3） 如图 3 ， 点 P为第二象限内的一点，连接 BP ， 以 BP为边在 BP的左侧作等边 △PBM ， 当 ∠MOB=60° ， OM=8+43时，求线段 PA的长．
4.已知 AD为等边 △ABC的角平分线，动点 E在直线 AD上（不与点 A重合），连接 BE ． 以 BE为一边在 BE的下方作等边 △BEF ， 连接 CF ．
（1） 如图1，若点 E在线段 AD上，且 DE=BD ， 则 ∠CBF=______度．
（2） 如图2，若点 E在 AD的反向延长线上，且直线 AE ， CF交于点 M ．
①求 ∠AMC的度数；
②若 △ABC的边长为 4 ， P ， Q为直线 CF上的两个动点，且 PQ=5 ． 连接 BP ， BQ ， 判断 △BPQ的面积是否为定值，若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
五、阅读理解
1.先阅读下面的材料，再分解因式．
要把多项式 am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出 a ， 再把它的后两项分成一组，并提出 b ， 从而得 am+an+bm+bn=am+n+bm+n ． 这时，由于 am+n+bm+n中又有公因式 m+n ， 于是可提公因式 m+n ， 从而得到 m+na+b ， 因此有 am+an+bm+bn=am+an+bm+bn=am+n+bm+n=m+na+b ．
这种因式分解的方法叫做“分组分解法”，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式．
（1） 请用上面材料中提供的方法分解因式：
① ab−ac+bc−b2；② x2y2−2x2y−4y+8 ．
（2） 已知 △ABC的三边长为 a ， b ， c ， 并且 a2+b2+c2−ab−bc−ca=0 ， 试判断此三角形的形状．
2.阅读：
材料一：含 30°角的直角三角形， 30°角所对的直角边等于斜边的一半；
材料二：连接三角形两条边的中点，形成的线段是三角形的中位线，三角形的中位线具有以下性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
完成以下问题：在 △ABC中， ∠BAC=120° ， 点 D是边 BC上的一点．
（1） 已知 AB=AC ．
①如图1，将线段 AD绕点 A逆时针旋转 120°得到线段 AE ， 连接 CE、DE ． 若 ∠DEC=90° ， 求 BDCD的值；
②如图2，以 AD为边在其右侧作 ∠DAF=60° ， 交边 BC于点 F ， 若 CF=4 ， BC=10 ， 求 DF之长；
（2） 如图3，点 D是边 BC的中点，将线段 AD绕点 A逆时针旋转 120°得到线段 AE ， 连接 CE ， 点 M是边 AB上一点，连接 CM ， 满足 ∠ACE=∠AMC ， 已知 CE=6 ， AM=4 ， 求 BM之长．