重庆市西南大学附属中学校2026届高三下学期3月月考数学试卷含答案（word版+pdf版）

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2026 年 3 月
注意事项:
1. 答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.
2. 答选择题时, 必须使用 2B 铅笔填涂; 答非选择题时, 必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写; 必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.
3. 考试结束后, 将答题卡交回 (试题卷学生保存, 以备评讲).
一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A={1,3} ，则集合 A 的真子集有( )
A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个
2. 已知复数 z=1−2i1+i+i ，则 z 的虚部为( )
A. 52 B. −12 C. 52i D. −12i
3. 已知函数 fx=12x ，则 fx−4 B. x>−2 C. x−3
4. 设 α,β 是两个平面， m,n 是两条直线，则下列命题为真命题的是( )
A. 若 m//α,α//β ，则 m//β B. 若 α//β,m⊥α,n⊥β ，则 m⊥n
C. 若 m⊂α,n⊂β,m//n ,则 α//β D. 若 m//α,m⊂β,α∩β=n ，则 m//n
5. 如图，用 4 种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有( )
A. 72 B. 56C. 48 D. 36
6. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 a1=1,an+1=an+1,n为奇数，an+2,n为偶数， 则 S20 的值为( )
A. 300 B. 2 C. 210 D. 29−1
7. 已知椭圆 M:x2a2+y2b2=1a>b>0 ，双曲线 N:x2m2−y2n2=1 . 若双曲线 N 的两条渐近线与椭 ,圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点,设椭圆 M 的离心率为 e1 ,双曲线 N 的离心率为 e2 ,则 e1+e2 为( )
A. 3+3 B. 3+1 C. 23−1 D. 23+1
8. 如图，边长都为 1 且互相垂直的正方形 ABCD 和 ABEF 的对角线 AC,BF 上分别有一动点 M,N ,满足 M 到点 C 的距离等于 N 到点 B 的距离. 则四面体 M−ABN 体积的最大值为( )
A. 18 B. 112C. 124 D. 127
二、多选题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 关于 1−2xn=a0+a1x+a2x2+⋯+anxnn≥3 ,下列说法正确的是( )
A. a0=1 B. a0+a1+a2+⋯+an=1
C. a3>0 D. 展开式的二项式系数和为 2n
10. 已知函数 fx=13x3−12a+1x2+ax+b ，则下列说法正确的是( )
A. 若 a>1 ，则 x=1 为 fx 的极大值点
B. 若 f′x1=f′x2 ,且 x1≠x2 ,则 x1+x2=a+1
C. 若 a=3 ,则对 ∀b∈R ,都有 fx+f4−x=0
D. 对 ∀a>1,∃b∈R ,使得 fx 有 3 个零点
11. 已知 fx=asin2x+cs2x ,下列说法正确的是( )
A. 若 a=1,fx 在区间 −π2,0 上单调
B. 若 fx 关于直线 x=π6 轴对称,则 a=3
C. 若 a=2 ，且 m,0 为 fx 的一个对称中心，则 sin4m=−45
D. 若 a=2,fx 在区间 t,t+π4 上的最大值与最小值的差的取值范围是 5−102,10
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12 已知正实数 2a2+3b2=6 ，则 ab 的最大值为_____.
13. 已知平面向量 a=x,1,b=x−1,−3x ，若 2a−b⋅a=−2 ，则 a= _____.
14. 在 △ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c ,已知 c=4,A=π6 ,若动点 P 在直线 AC 上运动，则 AP+2BP 的最小值为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分) △ABC 中，角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c ，且 2c⋅csA=a⋅csB+b⋅csA ， △ABC 外接圆半径 R=3 .
(1) 求角 A 和 a ;
(2)若 b=3 ，求 △ABC 的面积.
16. (15 分) 已知函数 fx=mx−lnx+1 .
(1) gx=fx−x2 在 0,+∞ 单调递减，求 m 的取值范围；
(2)若 fx 有两个不同的零点，求 m 的取值范围.
17. (15 分) 如图,在四棱锥 P−ABCD 中, AB=BC=2,AB⊥BC,AC⊥CD,CD=2 , PB=PC ，平面 PBC⊥ 平面 ABCD .
(1)求证: AB⊥PC ；
(2)若二面角 P−AB−C 的大小为 60∘ ，求直线 PD 与平面 PAB 所成角的正弦值.
18: (17 分) 某汽车公司最新研发了一款新能源汽车, 并在出厂前对 100 辆汽车进行了单次最大续航里程 (理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程) 的测试. 现对测试数据进行分析, 得到如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这 100 辆汽车的单次最大续航里程的平均值 x (同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(2)根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程 X 近似地服从正态分布 Nμ,σ2 ,经计算第 (1) 问中样本标准差 s 的近似值为 50 . 用样本平均数 x 作为 μ 的近似值,用样本标准差 s 作为 σ 的估计值;
(i) 现从该汽车公司最新研发的新能源汽车中任取一辆汽车, 求它的单次最大续航里程恰好在 200 千米到 350 千米之间的概率;
(ii) 从该汽车公司最新研发的新能源汽车中随机抽取 10 辆, 设这 10 辆汽车中单次最大续航里程恰好在 200 千米到 350 千米之间的数量为 Y ,求 EY ;
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动, 客户可根据抛掷硬币的结果, 操控微型遥控车在方格图上行进, 若遥控车最终停在 “胜利大本营”, 则可获得购车优惠券. 已知硬币出现正,反面的概率都是 12 , 方格图上标有第 0 格,第 1 格,第 2 格,...,第 50 格. 遥控车开始在第 0 格,客户每掷一次硬币,遥控车向前移动一次,若掷出正面,遥控车向前移动一格 (从 k 到 k+1 ), 若掷出反面,遥控车向前移动两格 (从 k 到 k+2 ),直到遥控车移到第 49 格 (获得优惠券 10000 元)或第 50 格(获得大礼包)时，游戏结束. 设遥控车移到第 n 格的概率为 Pnn=1,2,⋯,50 ,其中 P0=1 ,试说明 Pn−Pn−1,1≤n≤49 是等比数列,计算获得优惠券的概率和获得大礼包的概率, 并比较它们的大小.
参考数据: 若随机变量 ξ 服从正态分布 Nμ,σ2 ,则 Pμ−σ