湖南省衡阳市衡阳县2025-2026学年高一创新实验班上学期1月期末质量检测数学试题含答案

这是一份湖南省衡阳市衡阳县2025-2026学年高一创新实验班上学期1月期末质量检测数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡上交，若，，使得，则的最小值为，已知正数，满足，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
数学
注意事项：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4大题，19小题，满分150分，考试时量120分钟．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．将答案写在答题卡上，写在试题卷上无效．
4．考试结束后，将答题卡上交．
第I卷
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则与的关系为（ ）
A．B．C．D．
2．若，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A．B．
C．D．
8．若，，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知正数，满足．则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列结论正确的是（ ）
A．为平面内一定点，如，则三点共线且
B．非零向量满足，则与的夹角为锐角
C．已知是与平行的单位向量，则
D．平面内与动点满足，则点的轨迹必过的内心
11．已知定义在上且不恒为0的函数，对任意，都有，则（ ）
A．
B．函数是奇函数
C．对，有
D．若，则
第II卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．方程的实数解为___________．
13．在中，角、、的对边分别为、、．向量，，且．若边，，的平分线交于点，则的长为___________．
14．均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．
15．已知集合，集合．
(1)若，求；
(2)若是的充分不必要条件，求的取值范围．
16．某企业生产某款空调预计全年需投入固定成本万元，生产千台空调，需另投入资金万元，且，经测算，当生产千台空调时需另投入的资金为万元．已知每台空调的售价为万元，且当年生产的空调能全部销售完．
(1)求该企业生产并销售该款空调所获年利润（单位：万元）关于年产量（单位：千台）的函数关系式．
(2)当年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？（注：利润销售额成本）
17．已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点．
(1)求实数的取值范围；
(2)如果求在（1）的范围内取最小整数．令．求在上的值域．
18．已知是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）解不等式；
（3）记，若对任意的成立，求实数的取值范围.
19．已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，.
(1)求证：；
(2)求的取值范围；
(3)若，求三角形面积的取值范围．
1．B
，
，
则，，故B正确；A、C错误；
，故D错误；
故选：B
2．B
因为，所以，即，故，
所以复数的虚部为.
故选：B.
3．C
由，得，即，
则，解得，
则不等式的解集为.
故选：C
4．D
依题意，得，
得，
当时，，
得的最小值为，
故选：D
5．A
由题知对一切成立，
于是.
故选：A
6．B
因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故选：B.
7．B
法一：设，所以
令，则，此时，A有可能；
令，则，此时，C有可能；
令，则，此时，D有可能；
故选：B．
法二：设，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着的变化可能出现：，，，，
故选：B．
8．A
由，得，，
由，得，，
若，，使得，
则的区间长度要不小于的解集的区间长度，
，.
故选：A
9．CD
因为，，所以，
所以，当且仅当时取等号，故A错误；
，
当且仅当，即时取等号，故B错误；
由，得，所以，
当且仅当时取等号，故C正确；
因为，，所以，所以，
所以，
当且仅当时，取等号，故D正确.
故选：CD.
10．AD
选项 A ：已知 ，则 , ，则 ，即 ；
因为 与 有公共点 ，所以 A 、 B 、 C 三点共线，故 A 选项正确；
选项 B ：根据向量的数量积公式 ，
当 时，即 ，因为 ，所以 ．
又因为 ，所以 ，
当 时， 与 同向，此时夹角不是锐角，故 B 选项错误；
选项 C ：已知 ，根据向量模长公式 ，可得 ；
与 平行的单位向量 ，即 ，
所以 或 ，故 C 选项错误；
选项 D ：因为 是与 同向的单位向量， 是与 同向的单位向量，
根据向量加法的平行四边形法则，以 和 为邻边的平行四边形是菱形，
所以 平分 ，
已知 ，则 与 的角平分线共线，
又因为 为公共点，
所以点 的轨迹必过 的内心，故 D 选项正确.
故选：AD
11．ABD
对于A，因为对任意，都有，
令，得
，A正确．
对于B，当时，令，则有，
，，
又，，为奇函数，B正确．
对于C，由B知，不恒等于，即时，C错误．
对于D，，
由知，，
，
，
，
，
，故D正确．
故选：ABD
12．或0
时方程显然成立，若，则有，
设，则，所以，同理可得，，
则原方程可化为，
等式两边同时除以可得，即，
设，
因为函数、在上均为减函数，
故函数在上为减函数，
又因为，所以方程有且只有一个实根，
所以，解得，故方程的实数解为.
故答案为：或.
13．##
因为，则，
所以，
由余弦定理可得，
又因为，故，
由平面向量数量积的定义可得，故，
所以，可得，
故，故，
因为的平分线交于点，则，
由三角形的面积公式可得，
即，故.
故答案为：.
14．
由题意，均为单位向量，且，
则，
由，则，解得，
则的取值范围是.
故答案为：.
15．(1)或
(2)
（1）当时，，
又因为，所以，
故或.
（2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，
当时，，解得，符合题意；
当时，则有，解得，
当时，，此时是的真子集，符合题意，
当时，，此时是的真子集，符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
16．(1)
(2)当年产量为千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为万元
（1）当时，，解得，
故，
当时，；
当时，.
所以.
（2）当时，，所以当时，有最大值，最大值为；
当时，，
当且仅当，即当时，有最大值，最大值为.
因为，
所以当年产量为千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为万元.
17．(1)
(2)
（1）由已知．
令，当时，
则在区间上的最值点个数等价于在上的最值点个数．
由，，
得．所以的取值范围是；
（2）由题知：，令
当时，，
由得
所以，的值域为.
18．（1）；（2）或；（3）.
（1）因为是偶函数，则对任意实数恒成立，
即，
对任意实数恒成立，则；
（2），，
当时，，在上是增函数，
又因为是偶函数，
∴，
两边平方可得，解得或；
故不等式的解集为或；
（3），问题即为恒成立，显然，
首先对任意成立，即，
因为，则，所以，
其次，，即为，
即成立，
亦即成立，
因为，所以对于任意成立，
即所以，
综上，实数的取值范围为.
19．（1）由及正弦定理可得，即，
因为，则，所以，即，
由余弦定理可得，所以，
所以，由正弦定理可得
，
因为为锐角三角形，故，，所以，
又函数在上单调递增，且，故，即.
（2）
，
因为为锐角三角形，故，解得，
又因为，可得，故角的取值范围是，
所以，故，
令，，
任取、且，
则
，
因为，所以，则，所以，
所以函数在上为增函数，故，
故的取值范围是.
（3）由正弦定理可得，所以，，
所以
，
因为，所以，
令，函数、在上均为减函数，
故函数在上为减函数，所以，即，
因此，即面积的取值范围是.