陕西渭南市华阴市2025-2026学年高二第一学期期末教学质量检测数学试题(B卷)（试卷+解析）

这是一份陕西渭南市华阴市2025-2026学年高二第一学期期末教学质量检测数学试题(B卷)（试卷+解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分150分 时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 某影城有一些电影新上映，其中有2部文艺片、3部喜剧片、2部科幻片，小明从中任选1部电影观看，则不同的选法共有（ ）
A. 12 种B. 8种C. 7种D. 6种
3. 已知甲，乙，丙，丁四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，则线性相关程度最强的是（ ）
A. 甲组B. 乙组C. 丙组D. 丁组
4. 已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 假设某次考试的成绩服从正态分布.如果按照，，，的比例将考试成绩从高到低分为，，，四个等级，则等级的分数线约为（若，则，）（ ）
A. 76B. 88C. 94D. 103
6. 如图，在平行六面体中，，，则（ ）
A. B. 8C. -4D. 4
7. 若圆：上有且仅有个点到直线：的距离为，则实数的值是（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
8. 已知为坐标原点，，点在曲线：上，则的面积（ ）
A 有最大值，但没有最小值B. 没有最大值，但有最小值
C. 既有最大值，也有最小值D. 既没有最大值，也没有最小值
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9. 已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（ ）
A. 抛物线C的准线方程为B. F的坐标为
C. 若，则D.
10. 已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 变量之间呈现负相关关系
B.
C. 可以预测，当时，y约为
D. 由表格数据知，该回归直线必过点
11. 如图 1，长方形中，，为的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图2，满足平面平面，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 与所成角为30°
C. 点到平面的距离为
D. 直线与平面所成角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5 分，共15 分.
12. 已知椭圆的左、右焦点分别是是该椭圆上一点，则________________．
13. 已知在展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则的系数为___________．
14. 在信道内传输0、1信号，信号的传输相互独立，由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9.若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为_________________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）某兴趣小组有7名学生，其中男生4名，女生3名，现要从中选取4人参加学校举行的汇报展示活动，男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？
（2）6名学生站成一排照相留念，其中男生3人，女生3人，3名女生必须相邻而站，且女生不站两端，有多少种不同的站法？
16. 直线经过两直线和的交点.
（1）若直线与直线垂直，求直线方程；
（2）若直线与圆相切，求直线的方程.
17. 某兴趣小组为宣传传统非遗文化制定了两种宣传方法，为了解两种宣传方法的宣传效果，该小组在人群中随机对84人进行了宣传（宣传前所有人均未了解过），其中42人采用宣传方法一，其余采用宣传方法二，宣传后的人群对传统非遗文化的了解程度分为“比较了解”和“有点了解”.经统计发现，采用宣传方法一宣传后的人中有30人是“比较了解”.采用宣传方法二宣传后的人中有18人是“比较了解”.
（1）完成下面的列联表，并依据的独立性检验，是否可以认为宣传效果与宣传方法有关?
（2）以频率估计概率，现给2人采用宣传方法一宣传传统非遗文化（宣传前均未了解过），记宣传后“比较了解”的人数为，求的分布列和数学期望.
附：，其中.
18. 如图，直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点，过点作与平面平行的直线，交于点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
19. 已知过点的椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）斜率不为零的动直线，与椭圆交于两点，求（为原点）面积的最大值.
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
宣传方法
了解程度
合计
有点了解
比较了解
方法一
30
42
方法二
合计
84
0.05
001
0.005
0.001
3.841
6.635
7879
10.828
2025~2026学年度第一学期期末教学质量检测
高二数学试题
满分150分 时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角．
【详解】直线的斜率为，因此倾斜角为，
故选：B．
2. 某影城有一些电影新上映，其中有2部文艺片、3部喜剧片、2部科幻片，小明从中任选1部电影观看，则不同的选法共有（ ）
A. 12 种B. 8种C. 7种D. 6种
【答案】C
【解析】
【分析】根据分类加法计数原理即可得到答案.
【详解】根据分类加法计数原理得不同的选法共有种.
故选：C.
3. 已知甲，乙，丙，丁四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，则线性相关程度最强的是（ ）
A. 甲组B. 乙组C. 丙组D. 丁组
【答案】D
【解析】
【分析】根据相关系数的性质即可得到答案.
【详解】相关系数的绝对值越大，则其相关程度越强，
又因为，所以线性相关程度最强的是丁组.
故选：D.
4. 已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，联立两圆方程消去二次项即得所求方程.
【详解】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
而，即两圆相交，
所以直线的方程为，即.
故选：B
5. 假设某次考试的成绩服从正态分布.如果按照，，，的比例将考试成绩从高到低分为，，，四个等级，则等级的分数线约为（若，则，）（ ）
A. 76B. 88C. 94D. 103
【答案】C
【解析】
【分析】结合正态分布的对称性，依据已知概率区间确定A等级对应的分位数，计算得分数线.
【详解】已知成绩服从正态分布，则均值，标准差.
A等级为成绩由高到低的前，
由，得.
计算，即A等级的分数线约为94.
故选：C
6. 如图，在平行六面体中，，，则（ ）
A. B. 8C. -4D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.
【详解】因为，，
所以
.
故选：C.
7. 若圆：上有且仅有个点到直线：的距离为，则实数的值是（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，将问题转化为圆心到直线的距离为求解即可.
【详解】圆：的圆心，半径，
由圆上有且仅有个点到直线的距离为，得圆心到直线的距离为，
则，解得或.
故选：D.
8. 已知为坐标原点，，点在曲线：上，则面积（ ）
A. 有最大值，但没有最小值B. 没有最大值，但有最小值
C. 既有最大值，也有最小值D. 既没有最大值，也没有最小值
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线上的点，结合三角形面积求法，数形结合分析判断的面积最值情况.
【详解】的渐近线方程为，点，在渐近线上，如下图，
当点在点处时，点到渐近线的距离取得最大值，
当点远离轴时，点到渐近线的距离趋于0，
所以的面积有最大值，但无最小值.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9. 已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（ ）
A. 抛物线C的准线方程为B. F的坐标为
C. 若，则D.
【答案】BC
【解析】
【分析】对A，B，根据抛物线的标准方程求出焦点，准线方程，判断；对C，D，根据抛物线的定义求解判断.
【详解】对于A，B，由抛物线方程为，则焦点，准线方程为，故A错误，B正确；
对于C，将代入，得，则，故C正确；
对于D，由抛物线定义得，当时，取等号，故D错误.
故选：BC.
10. 已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 变量之间呈现负相关关系
B.
C. 可以预测，当时，y约为
D. 由表格数据知，该回归直线必过点
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据回归直线斜率知A正确；利用回归直线必过样本中心点可构造方程求得，可知B正确，D正确；将代入回归直线知C错误.
【详解】对于A，由得：，故呈负相关关系，A正确；
对于B，，，
，解得：，B正确；
对于C，当时，，C错误；
对于D，由知：，回归直线必过点，即必过点，D正确.
故选：ABD.
11. 如图 1，长方形中，，为的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图2，满足平面平面，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 与所成角为30°
C. 点到平面的距离为
D. 直线与平面所成角为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用空间角的向量求法求解判断BD；利用空间距离的向量求法求解判断D.
【详解】取中点，连接，由，得，则，
而平面平面，平面平面，平面，
因此平面，在平面内过作，则直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
对于A，，，则，A正确；
对于B，，设和所成角为，，
因此，B错误；
对于C，，设平面的法向量，则，
取，得，，点到平面的距离为，C正确；
对于D，令直线与平面所成角为，则，因此，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5 分，共15 分.
12. 已知椭圆的左、右焦点分别是是该椭圆上一点，则________________．
【答案】
【解析】
【分析】由题可得，再根据椭圆的定义即可求解．
【详解】对于椭圆，则，即，
由椭圆的定义得．
故答案为：．
13. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则的系数为___________．
【答案】60
【解析】
【分析】先根据题干条件算出，然后由二项式定理的展开式通项进行求解.
【详解】的展开式中第项与第项的二项式系数相等，
，，则的展开式中的通项为：
，令，解得，
故该展开式中的系数为
故答案为：60
14. 在信道内传输0、1信号，信号的传输相互独立，由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9.若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为_________________.
【答案】0.8##
【解析】
【分析】设事件为“发送信号”，事件为“发送信号”，事件为“接收信号为”，事件为“接收信号为”， 设发送信号为1的概率为，利用全概率公式得到方程，解得即可.
【详解】根据题意，设事件为“发送信号”，事件为“发送信号”，事件为“接收信号为”，事件为“接收信号为”，
则，，，.
设发送信号为1的概率为，
则接收信号为的概率
，
解得，即发送信号为的概率为.
故答案为：0.8
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）某兴趣小组有7名学生，其中男生4名，女生3名，现要从中选取4人参加学校举行的汇报展示活动，男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？
（2）6名学生站成一排照相留念，其中男生3人，女生3人，3名女生必须相邻而站，且女生不站两端，有多少种不同的站法？
【答案】（1）30（2）72
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用组合计数问题，结合排除法列式求解.
（2）根据给定条件，利用不相邻问题，结合特殊元素法列式求解.
【详解】（1）依题意，从兴趣小组7人中任选4人，有种选法，甲乙都没有被选取，有种选法，
所以所求方法种数是.
（2）求不同站法种数需分2步进行：
第一步，将3名男生全排列，有种方法，
第二步，将3名女生看成一个整体进行内部排列，再安排在男生中间2个空位中，有种方法，
所以不同的站法种数是.
16. 直线经过两直线和的交点.
（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；
（2）若直线与圆相切，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）求出直线、的交点坐标，求出直线的斜率，可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程；
（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求出的值，综合可得出直线的方程.
【小问1详解】
联立两直线和的方程，解得，，即交点坐标为，
直线的斜率为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
根据题意得：圆心到直线的距离，解得，
所以直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
17. 某兴趣小组为宣传传统非遗文化制定了两种宣传方法，为了解两种宣传方法的宣传效果，该小组在人群中随机对84人进行了宣传（宣传前所有人均未了解过），其中42人采用宣传方法一，其余采用宣传方法二，宣传后的人群对传统非遗文化的了解程度分为“比较了解”和“有点了解”.经统计发现，采用宣传方法一宣传后的人中有30人是“比较了解”.采用宣传方法二宣传后的人中有18人是“比较了解”.
（1）完成下面的列联表，并依据的独立性检验，是否可以认为宣传效果与宣传方法有关?
（2）以频率估计概率，现给2人采用宣传方法一宣传传统非遗文化（宣传前均未了解过），记宣传后“比较了解”人数为，求的分布列和数学期望.
附：，其中.
【答案】（1）列联表见解析，有关
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）由题意求出列联表，再计算出即可判断；
（2）由题意可得采用宣传方法一宣传后的人是“比较了解”的概率为，进而得到，再根据二项分布的概率公式及期望公式求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，完成的列联表如下：
零假设：宣传效果与宣传方法无关，
经计算得，
∴依据的独立性检验，我们推断不成立，
即可以认为宣传效果与宣传方法有关，此推断犯错误的概率不超过0.01；
【小问2详解】
依题意可得，采用宣传方法一宣传后人是“比较了解”的概率为，
∴，
则，
∴的分布列为：
则．
18. 如图，直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点，过点作与平面平行的直线，交于点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，利用向量的数量积判断线线垂直，进而证明线面垂直；
（2）由（1）建立空间直角坐标系，设，由平面，可求得， 进而求得平面和平面的法向量，再结合二面角的向量求法，即可求解.
【小问1详解】
在直三棱柱中，平面，平面，则，，
又，即两两垂直，故可以为原点建立空间直角坐标系，
则，
因是的中点，是的中点，则
所以，，，
所以，所以，
所以，所以，
又且都在平面内，
所以平面.
【小问2详解】
由（1）建立空间直角坐标系，设，则，
易知，平面的一个法向量为，
又平面，则，解得，
故，所以，又，
设平面的法向量为，
则，取，得，
由（1）知，为平面的一个法向量，
所以，
由图知，二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
19. 已知过点的椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）斜率不为零的动直线，与椭圆交于两点，求（为原点）面积的最大值.
【答案】（1）；
（2）1.
【解析】
【分析】（1）根据椭圆过点以及离心率为，结合椭圆的性质，联立方程组求解可得，进而得到椭圆的标准方程；
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出弦长，再根据点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，最后根据三角形面积公式，结合基本不等式求出面积的最大值即可.
【小问1详解】
由题意，椭圆离心率为，即，所以，
又，所以，即，
所以可设椭圆的方程为，
又椭圆过点，所以，解得，
所以椭圆的标准方程为；
【小问2详解】
由题意，设直线的方程为，，
与椭圆的方程联立，即，化简可得，
则①，且，，
所以，
所以，
又点到直线的距离为，
所以
，
故当，即时，的面积有最大值1，此时满足①和，
例如：当 时，，满足 且斜率 ，符合题意，
故最大值可以取到，
所以面积的最大值为1.
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
宣传方法
了解程度
合计
有点了解
比较了解
方法一
30
42
方法二
合计
84
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
宣传方法
了解程度
合计
有点了解
比较了解
方法一
12
30
42
方法二
24
18
42
合计
36
48
84
0
1
2