山东淄博市桓台县2025-2026学年第一学期九年级数学期末试卷（试卷+解析）

这是一份山东淄博市桓台县2025-2026学年第一学期九年级数学期末试卷（试卷+解析），共32页。
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动、用橡皮擦干净后、再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 下图是某几何体的三种视图，符合条件的几何体为（ ）
A. B. C. D.
2. 在中，，若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
3. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的个数（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
4. 一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，满足三角形内心在上的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，为上的点，为圆外一点，为圆的切线，切点为．若三点在一条直线上，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，正六边形边长为2，则该正六边形的外接圆与内切圆的半径之差为（ ）
A. B. C. 1D.
9. 如图所示，某动点从点出发，随机向正上或正右走，到达或点后，继续向正上或正右走，最终可到达，三点．其中到达点的概率为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，已知抛物线，点为轴上一动点，为抛物线上的动点，在轴上运动时，始终保持．且，当点的横坐标为时，点的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．
11. 计算： _____．
12. 如图是两根木杆在同一时刻的影子，则它们的影子是在__________（填“太阳”或“灯光”）光线下形成的．
13. 新生婴儿性别比是每名女婴对应的男婴数．通过抽样调查得知，我国年出生的婴儿性别比约为．某婴儿于年出生，估计他（她）为男性的概率_____．
14. 二次函数的图象如图所示，现有以下结论：
①；②；③；④．
其中正确的结论有_____（填序号）．
15. 如图，扇形是以为圆心的圆，．点为上的动点，以为圆心，以为半径画圆，当从与相切运动到与相切的过程中，点经过的距离为_____．
三、解答题：本题共8小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 完成下列各题：
（1）如图，请写出图中对应几何体的名称：①______；②______；③______．

（2）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的这个几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数．请你画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图；

17. 如图，一个电路中有三个元器件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看作是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．分别用和表示元件和的可能状态，则这个电路的工作状态可用表示．进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，如三元件均“正常”记为．
（1）用画树状图法，求所有可能出现的结果总数；
（2）求该电路不是通路的概率．
18. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，点为一次函数上横坐标为2的点．反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限相交于点，且点平分．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）过点且平行于轴的直线交反比例函数图象于点，求的面积．
19. 如图，已知，，，，为上动点．是以点为圆心、2为半径的圆，为的切线，切点为．
（1）若为的中点，求的长；
（2）求的最小值．
20. 小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点处安装测角仪，测得信号杆顶端的仰角为，与坡面的夹角为，又测得点与信号杆底端之间的距离为．已知，点，，在同一条直线上，，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，）
21. 函数是中学数学中最基本、最重要的内容之一．某数学兴趣小组在学习函数内容时，受到启发．开展了名为“利润最优”的数学建模探究．探究过程如下：
【问题提出】
经调查．桓台某酒店有200间客房．经过一段时间的市场调研，小组得到一些数据：以一天为单位，如果每间客房定价为600元．住房率为；每间客房定价为500元．住房率为65%；每间客房定价为400元，住房率为75%；每间客房定价为300元，住房率为85%．欲使每天收入最高，问每间客房的定价应为多少？
【模型假设】
为了便于建立酒店的收入模型，特作如下假设：
假设一：在无其他信息时，不妨假设每间客房的最高定价为600元；
假设二：根据小组提供数据，设随着房价的下降，住房率呈线性增长（即下降的房价与增长的住房率为一次函数关系）；
假设三：酒店每间客房定价相等．
根据题意，设酒店一天的总收入为元，而为与600元相比降低的房价．
【模型建立与求解】
（1）取值范围为_____；
（2）求（与600元相比降低的房价）与（酒店一天的总收入）的函数关系式；
（3）求该酒店以一天为单位的最大收入．
【模型反思】
当定价为513元/间时，其收入为65356.2．这实际上是不可能实现的．因为入住房间数必须为整数，而模型中计算的入住房间数（）可能为小数，所以该模型与实际情况存在误差．
22. 如图，点C在以为直径的半圆O上，连接，过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，在上取点E，使，连接，交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，求半圆O的半径及的长．
23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线顶点的坐标．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将抛物线沿射线平移个单位长度．得到抛物线，为抛物线上点．
①直接写出抛物线表达式；
②若，为抛物线上异于的两点，且．记点，到直线的距离分别为，，是一个定值吗？若是，请求出该值；若不是，请说明理由．
初四数学练习题
本试卷共8页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动、用橡皮擦干净后、再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 下图是某几何体的三种视图，符合条件的几何体为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根据三视图判断几何体的形状，解题的关键是掌握常见几何体的三视图特征．根据三视图的形状即可判断．
【详解】解：A、三棱柱的主视图是长方形，左视图是小长方形，俯视图是三角形，故此选项符合题意；
B、圆锥的主视图是三角形，故此选项不符合题意；
C、圆柱的主视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是圆，故此选项不符合题意；
D、圆锥的主视图是三角形，故此选项不符合题意；
故选：A．
2. 在中，，若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查锐角三角函数的定义，熟练掌握直角三角形中三角函数与边的对应关系是解题关键．利用锐角三角函数的定义及勾股定理求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，，且，，
设，则，
由勾股定理得，，
∴，
故选∶B．
3. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的个数（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于利用判别式进行解答；
通过判断抛物线对应的一元二次方程根的情况，确定与轴交点的个数．
【详解】解：∵求抛物线与轴的交点，令，
∴得到方程，即，
∵，，，
∴，
∴该一元二次方程无实数根，
∴抛物线与轴交点的个数是0，
故选：D．
4. 一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，根据一次函数和反比例函数的性质可得结论．
【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限，故选项B和C错误，不符合题意；
反比例函数位于第一、三象限，故选项A正确，符合题意；选项D错误，不符合题意，
故选：A．
5. 如图，满足三角形内心在上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查三角形的内心、基本尺规作图，根据三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点可得答案．
【详解】解：由题意，三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，选项A中是该三角形的角平分线，符合题意，
故选：A．
6. 如图，为上的点，为圆外一点，为圆的切线，切点为．若三点在一条直线上，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查切线性质、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解答的关键．
先根据切线的性质和直角三角形的性质求得，再根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
7. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理、解直角三角形，构造直角三角形是解答的关键．
取格点H，连接，利用勾股定理及其逆定理得到是直角三角形，且，然后利用正切定义求解即可．
详解】解：取格点H，连接，
由图知，，则，
，则，
，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
故选：A．
8. 如图，正六边形的边长为2，则该正六边形的外接圆与内切圆的半径之差为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查正多边形的外接圆与内切圆，勾股定理，等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
设内切圆与的切点为H，则，利用正六边形和外接圆的性质得到，，再根据等边三角形的性质得到，，再根据含角的直角三角形的性质求得、即可求解．
【详解】解：如图，连接，设内切圆与的切点为H，则，
∵是边长为2的正六边形的外接圆，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，即该正六边形的外接圆与内切圆的半径之差为．
故选：A．
9. 如图所示，某动点从点出发，随机向正上或正右走，到达或点后，继续向正上或正右走，最终可到达，三点．其中到达点的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是概率，熟练掌握列表法和树状图法是解题的关键；根据题意列表或画树状图求概率即可．
【详解】解：由题意画树状图如下：
由上图可知：所有等可能情况共种，其中到达的情况有种，
∴．
故选：B．
10. 如图，已知抛物线，点为轴上一动点，为抛物线上的动点，在轴上运动时，始终保持．且，当点的横坐标为时，点的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的综合，涉及全等三角形的判定与性质、解一元二次方程、坐标与图形等知识，利用全等三角形的性质求解是解答的关键．
先求得点A坐标，过A作轴于E，过B作轴于F，证明得到，设，利用坐标与图形性质得到，解方程求得m值即可．
【详解】解：将代入中，得，
∴，
如图，过A作轴于E，过B作轴于F，
则，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
设，
∴，，，，
∴，
整理，得，
解得，
即点B的横坐标为．
故选：B．
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．
11. 计算： _____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
直接代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算．
【详解】解：
故答案为：．
12. 如图是两根木杆在同一时刻的影子，则它们的影子是在__________（填“太阳”或“灯光”）光线下形成的．
【答案】灯光
【解析】
【分析】本题考查了中心投影和平行投影的知识．根据光线的平行和相交即可判断是平行投影和中心投影．
【详解】解：因为影子的顶点和木杆的顶点的连线不平行，
所以它们的光线应该是点光源．它们是灯光下的投影．
故答案为：灯光．
13. 新生婴儿性别比是每名女婴对应的男婴数．通过抽样调查得知，我国年出生的婴儿性别比约为．某婴儿于年出生，估计他（她）为男性的概率_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查用频率估算概率，掌握好频率与概率的关系是关键．
根据性别比定义，男婴数与女婴数之比为， 求出男婴的频率．当试验次数足够大时，频率会趋近于概率，据此得出答案．
【详解】解：由题意可知，男婴数与女婴数之比为，
∴男婴的频率为，
∵当试验次数足够大时，频率会趋近于概率，
∴他（她）为男性的概率为．
故答案为：．
14. 二次函数的图象如图所示，现有以下结论：
①；②；③；④．
其中正确的结论有_____（填序号）．
【答案】②③④
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴求与b的关系，以及数形结合思想的运用．
由抛物线开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①∵抛物线开口向上，
，
又∵对称轴，
，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
，
，故①错误；
②根据图示知，当时，，即，故②正确；
③根据图示知，当时，，即，故③正确；
④∵，，
∴，故④正确；
综上所述，正确的结论有②③④，共3个，
故答案为：②③④．
15. 如图，扇形是以为圆心的圆，．点为上的动点，以为圆心，以为半径画圆，当从与相切运动到与相切的过程中，点经过的距离为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查切线的性质、锐角三角函数、弧长公式等知识，求得是解答的关键．
设圆P与、相切时的圆心分别为、，切点分别为E、F，利用切线的性质得，利用正弦定义求得，则，然后利用弧长公式求解即可求解．
【详解】解：如图，设圆P与、相切时的圆心分别为、，切点分别为E、F，则，
由题意，，，
∴，
∴，
∴，
∴，即经过的距离为，
故答案为：．
三、解答题：本题共8小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 完成下列各题：
（1）如图，请写出图中对应几何体的名称：①______；②______；③______．

（2）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的这个几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数．请你画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图；

【答案】（1）圆锥；三棱柱；圆柱
（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了几何体的展开与折叠，从不同方向看；
（1）根据几何体的展开图的形状进行解答即可；
（2）根据从正面和左面看到的图形，进行解答即可．
解题的关键是熟练掌握几何体展开图的形状．
【小问1详解】
解：图中对应几何体的名称：①圆锥；②三棱柱；③圆柱．
故答案为：圆锥；三棱柱；圆柱．
【小问2详解】
解：如图所示：

17. 如图，一个电路中有三个元器件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看作是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．分别用和表示元件和的可能状态，则这个电路的工作状态可用表示．进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，如三元件均“正常”记为．
（1）用画树状图法，求所有可能出现的结果总数；
（2）求该电路不是通路的概率．
【答案】（1）图见解析，结果总数有8个
（2）
【解析】
【分析】本题考查画树状图法求概率，会画树状图得到所有可能结果，熟知物理知识是解答的关键．
（1）根据题意画树状图即可得到所有可能结果；
（2）找出该电路不是通路的可能结果，然后利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：画树状图如下图所示：
由图知，所有可能出现的结果总数有8个；
【小问2详解】
解：由（1）知，该电路不是通路的有，，，，，共5个，
∴该电路不是通路的概率为．
18. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，点为一次函数上横坐标为2的点．反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限相交于点，且点平分．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）过点且平行于轴的直线交反比例函数图象于点，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、坐标与图形性质，熟练掌握坐标与图形性质是解答的关键．
（1）先求得点A、B坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可；
（2）先求得点C坐标，再利用三角形的面积公式和坐标与图形性质求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，将代入中，得，
∴，
∵点平分．
∴，
将代入中，得，
∴该反比例函数表达式为；
【小问2详解】
解：∵过点且平行于轴的直线交反比例函数图象于点，
∴点C纵坐标为4，
由得，则，
∴的面积为．
19. 如图，已知，，，，为上动点．是以点为圆心、2为半径的圆，为的切线，切点为．
（1）若为的中点，求的长；
（2）求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查切线的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、垂线段最短，得到最短时最短是解答的关键．
（1）连接，证明是等边三角形得到，再根据切线性质得到，然后利用勾股定理求解即可；
（2）先得到，，则当最短时最短，此时，利用三角形的等面积法求得即可求解．
【小问1详解】
解：连接，
∵，，，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵为的切线，
∴，又，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）得，
，
∴当最短时最短，此时，
∵，
∴，
∴，
即的最小值为．
20. 小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点处安装测角仪，测得信号杆顶端的仰角为，与坡面的夹角为，又测得点与信号杆底端之间的距离为．已知，点，，在同一条直线上，，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，）
【答案】信号杆的高为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和性质，矩形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出，再在中，运用，，代入数值进行计算，得出的值，然后证明四边形是矩形，故，根据，，得，，把数值代入进行计算，即可作答．
【详解】解：过点E作于点，过点D作于点，如图所示：
∵，均与水平线垂直．
∴
∴，
∵
∴
在中，，
则，
在中，，
则，
∵过点E作于点，过点D作于点，
∴，
∴四边形是矩形
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
信号杆的高为．
21. 函数是中学数学中最基本、最重要的内容之一．某数学兴趣小组在学习函数内容时，受到启发．开展了名为“利润最优”的数学建模探究．探究过程如下：
【问题提出】
经调查．桓台某酒店有200间客房．经过一段时间的市场调研，小组得到一些数据：以一天为单位，如果每间客房定价为600元．住房率为；每间客房定价为500元．住房率为65%；每间客房定价为400元，住房率为75%；每间客房定价为300元，住房率为85%．欲使每天收入最高，问每间客房的定价应为多少？
【模型假设】
为了便于建立酒店的收入模型，特作如下假设：
假设一：在无其他信息时，不妨假设每间客房的最高定价为600元；
假设二：根据小组提供的数据，设随着房价的下降，住房率呈线性增长（即下降的房价与增长的住房率为一次函数关系）；
假设三：酒店每间客房定价相等．
根据题意，设酒店一天的总收入为元，而为与600元相比降低的房价．
【模型建立与求解】
（1）的取值范围为_____；
（2）求（与600元相比降低的房价）与（酒店一天的总收入）的函数关系式；
（3）求该酒店以一天为单位的最大收入．
【模型反思】
当定价为513元/间时，其收入为65356.2．这实际上是不可能实现的．因为入住房间数必须为整数，而模型中计算的入住房间数（）可能为小数，所以该模型与实际情况存在误差．
【答案】（1）（2）（3）66125元
【解析】
【分析】本题主要考查了函数模型的实际应用；
（1）根据已知求出住房率与房价降低量的函数关系，再根据每间客房的最高定价以及房价下降的情况来确定的取值范围即可；
（2）住房率与房价降低量的函数关系，再结合总收入=客房数×住房率×（定价-降低房价），即可求解；
（3）根据二次函数的性质，通过配方或公式法求出函数的最大值，即可求解．
【详解】解：（1）设住房率与降低的房价的函数关系式为，
当时，，即，可得，
当时，，即，解得，
∴住房率与降低的房价的函数关系式为，
∵，解得，
故答案为：；
（2）∵酒店有200间客房，每间客房定价为600元，降低的房价为元，则实际定价为元，住房率为，
∴，
，
，
∴与的函数关系式为；
（3）对于二次函数，
∵，，，
∴，
把 代入函数中，可得，
∴该酒店以一天为单位的最大收入为66125元．
22. 如图，点C在以为直径的半圆O上，连接，过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，在上取点E，使，连接，交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，求半圆O的半径及的长．
【答案】（1）见解析 （2）半圆O的半径为2，
【解析】
【分析】（1）连接，切线得到，等边对等角得到，圆周角定理得到，同角的余角得到，等量代换得到，即可得证；
（2）连接，设半圆O的半径为，解直角三角形，求出半径的长，进行求出的长，平行得到，解直角三角形，求出，的长，角平分线的性质，以及同高三角形的面积比等于底边比，得到，进行求解即可．
【小问1详解】
解：连接，则：，
∴，
∵过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
设半圆O的半径为，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：半圆O的半径为2；
∴，
连接，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
∴到的距离相等，都等于的长，
∴，
∴，
∴，
∴．
本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线顶点的坐标．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将抛物线沿射线平移个单位长度．得到抛物线，为抛物线上的点．
①直接写出抛物线的表达式；
②若，为抛物线上异于的两点，且．记点，到直线的距离分别为，，是一个定值吗？若是，请求出该值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①；②是一个定值，
【解析】
【分析】（1）根据顶点坐标构造方程得到，解出，即可；
（2）①先计算出，则平移后抛物线的顶点坐标为，结合平移不改变抛物线的形状，求出抛物线的表达式；
②先出点，设，， 作直线，直线，过点作轴的平行线，分别交直线和直线于点、，过点作轴的平行线，分别交直线和直线于点、．容易证明，则．通过因式分解化简后得到，则为定值．
【小问1详解】
解：∵抛物线顶点的坐标，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：①由（1）知抛物线的表达式为，
由勾股定理可得，
∵将抛物线沿射线平移个单位长度，得到抛物线，
又∵，
∴抛物线的顶点为点，
∴抛物线的表达式为；
②如图，
作直线，直线，过点作轴的平行线，分别交直线和直线于点、，过点作轴的平行线，分别交直线和直线于点、，设点，，
将代入，得，
∴点的坐标为，
由题意可知，，，，，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵点、不与点重合，
∴，，
∴，即，
∵，，
∴为定值．
本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移，相似三角形的判定与性质，平方差公式，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．