2025-2026学年浙江省强基联盟高一上学期（12月）月考数学试题 [附解析]

这是一份2025-2026学年浙江省强基联盟高一上学期（12月）月考数学试题 [附解析]，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（ ）
A．B．C．D．
2．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
4．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知，则（ ）
A．B．1C．3D．
6．函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
7．若“”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数是定义在上的偶函数，满足在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点中心对称
D．在上单调递增
10．函数的零点所在区间可以是（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数，且正实数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的最大值为3
C．的最小值为6D．的最大值为
三、填空题
12．已知，则 .
13．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是 .
14．若关于的方程恰有4个根，则实数的取值范围是 .
四、解答题
15．已知函数．
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由．
16．已知函数的最小正周期为，且当时，取得最小值-1.
(1)求函数的解析式和单调递增区间；
(2)当时，求函数的值域.
17．某药物研究所发现，病人在服用某种药物后，血液中药物的含量（单位：）在小时内随时间（单位：）的变化曲线如图所示.当时，可选择用函数（）来近似地刻画随变化的规律；当时，可选择用函数（为常数）来近似地刻画随变化的规律.
(1)当时，求这段曲线的函数解析式；
(2)如果该药物在病人血液中的含量保持在以上时才有疗效，问病人一次性服用该药物100，持续有疗效时长约为多少小时？（参考数据：）
18．已知定义域为的函数是实数）是奇函数，且指数函数的图象与函数的图象关于直线对称.
(1)求实数的值；
(2)判断函数的单调性，并用定义证明；
(3)若方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
19．教材第87页第13题有以下阅读材料：我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
(1)已知函数的定义域为，且图象关于点中心对称，求的值.
(2)已知函数的图象关于点中心对称.
（i）求实数的值，并判断函数的单调性（不用证明）；
（ii）若对任意的实数，都存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.
1．D
利用诱导公式化简求解.
【详解】因为.
故选：D.
2．C
设出幂函数解析式，由待定系数法可得.
【详解】因为为幂函数，，
又因为图象过，所以，即，得.
故选：C.
3．D
由余弦函数，指、对函数的单调性可得.
【详解】.
故选：D.
4．C
先利用奇函数的定义判定是奇函数，根据奇函数图象关于原点对称排除AB；再根据当时，，排除D，即可得解
【详解】因为恒成立，所以函数的定义域为，
又，则是奇函数，
其图象关于原点对称排除A，B.
当时，，排除D.
故选：C.
5．A
分子分母同时除以可得.
【详解】.
故选：A.
6．B
由对数型复合函数的单调性可解.
【详解】∵函数的定义域为，
又因为外层函数在定义域上单调递减，二次函数在上递增，结合函数的定义域，得到函数的单调递减区间为.
故选：B.
7．B
先由存在命题的否定得到真命题，再分和两种情况结合二次函数的性质讨论可得.
【详解】是假命题，
是真命题，
首先当时，显然成立；
当时，需要满足
综上所述得到.
故选：B.
8．D
先由偶函数及其单调性确定的取值，再解一元二次不等式，然后可得.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，满足函数在上单调递增，且，
所以函数在上单调递增，且，
所以当；
当；当；当
时，成立.
故选：D.
9．ABD
结合正弦函数的周期、对称轴、对称中心、单调区间依次分析选项即可.
【详解】对于的最小正周期，故A正确；
对于B，当时，，所以的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，当时，，所以的图象不关于点中心对称，故C错误；
对于D，当时，，所以在上单调递增，故D正确.
故选：ABD.
10．AC
分别作出函数与函数的图象，数形结合可得.
【详解】由得，
作出函数与函数的图象如图，
由图可知在区间和上存在零点.
故选：AC.
11．AB
由对数的运算性质可得A；结合基本不等式可得BCD.
【详解】由可知，所以，故A正确；
由A可知，所以，
所以，
当且仅当即时，等号成立，故B正确；
，
当且仅当时，等号成立，故C错误；
由，可知，
当且仅当即时，等号成立，
因为，所以，故D错误.
故选：AB.
12．
利用诱导公式计算可得.
【详解】因为，所以.
故答案为.
13．
由指数函数的单调性结合分段函数的单调性和间断点的连续性列不等式可得.
【详解】因为当时，函数单调递减，且当时，；
当时，函数单调递减，且当时，.
由题意得，，解得
即实数的取值范围是.
故答案为.
14．
先将问题等价于函数与的图象有4个公共点，再画出函数与的图象，数形结合分别求出4个临界位置可得.
【详解】方程恰有4个根等价于函数与的图象有4个公共点，
画出函数与的图象，
分别求出4个临界位置，分别为与相切､经过和，
求得直线方程为+6，
所以.
故答案为.
15．(1)
(2)奇函数，理由见解析
（1）根据对数函数的真数大于零得到不等式，解得即可；
（2）根据奇偶性的定义判断即可.
【详解】（1）解：由，等价于，解得，
故函数的定义域为；
（2）解：函数是奇函数，理由如下：
由（1）知，函数的定义域关于原点对称，且，
故函数为奇函数．
16．(1)，
(2)
（1）由正弦函数的周期公式，最小值和单调递增区间可得；
（2）整体代入利用正弦函数的单调性可得.
【详解】（1）由得，
由，解得，
因为，所以，
所以，
由，
解得，
所以单调递增区间为.
（2）当时，，
，
所以的值域为.
17．(1)
(2)3.50小时
（1）由余弦函数的周期和点在指数函数上代入可得；
（2）结合题意，由对数的运算性质计算可得.
【详解】（1）由题意知，当时，函数的最大值为，最小值为0.
所以函数的周期为2，所以，
当时，函数过点，代入得.
所求曲线的函数解析式为
（2）当时，令，解得.
当时，令，两边同时取常用对数得：，
，解得，
，
故病人一次性服用药物100，持续有疗效时长约为3.50小时.
18．(1)
(2)单调递增，证明见解析
(3)
（1）根据反函数的性质确定，利用奇函数求，再检验奇偶性确定、的值.
（2）先变形函数表达式，再用单调性的定义，任取两个自变量作差比较函数值，证明函数单调递增.
（3）利用奇函数与单调性将方程转化为代数方程，换元后结合二次函数在区间内有两个不等实根的条件，列不等式组求的范围.
【详解】（1）由指数函数的图象与函数的图象关于直线对称，
得，
又为上的奇函数，所以，得，
所以，
经检验，符合，
所以.
（2）在定义域内单调递增，
任取，且，
则，
其中，所以，
所以，
所以在定义域内单调递增.
（3）由（1）（2）知
，即，
令，则，
上述方程可化为：在上有两个不等实数根，
令，则
解得
综上所述.
19．(1)
(2)（i），在上是增函数（ii）
【详解】（1）因为函数的图象关于点中心对称，
所以为奇函数，所以，
令，则有，故；令，则有，
所以.
（2）（i）由（1）可知，
因为，所以，则解得
此时，
所以，
所以，即为奇函数，符合题意，
所以.
因为函数的图象可由先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，
故函数在上也是增函数.
（ii）因为函数的图象关于点对称，且该函数的定义域为，
对任意的，
由可得，
即，
因为函数在上是增函数，则，
因为，所以，
令，得，
设，只有才能保证图象上下平移时，其绝对值不小于1.
否则当任意变化到使时，对任意的，
.
故原命题等价于.
①当时，在上单调递增，
即，所以，
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，在上单调递增，；
③当时，在上单调递减，在上单调递增，
，
若，则，所以，
若，则，所以，
所以，
当时，在上单调递减，此时，得.
综上得