2025-2026学年四川省南充市阆中市川绵外国语学校高二上学期第一次月考数学试题 [附答案]

这是一份2025-2026学年四川省南充市阆中市川绵外国语学校高二上学期第一次月考数学试题 [附答案]，共10页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上；等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；
2．请将答案正确填写在答题卡上；
一、单选题（共8小题，共40分）
1．某镇有、、三个村，，它们的精准扶贫的人口数量之比为，现在用分层抽样的方法抽出容量为的样本，样本中村有15人，则样本容量为（ ）
A．50B．60C．70D．80
2．国家射击运动员甲在某次训练中次射击成绩（单位：环）如：，则这组数据第百分位数为（ ）
A．B．C．D．
3．已知直线，的方向向量分别为，，则直线，夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．在空间直角坐标系中，已知点关于原点中心对称的点为，而点关于轴对称的点为，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ）．
A．B．97C．D．61
已知数据，，…，的极差为8，方差为6，则数据，，…，的极差和方差分别为（ ）
A．24，19 B．25，19 C．24，54 D．25，54
8．如图所示，空间四边形中，，点分别为上的点，且为中点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（共3小题，共18分）
9．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，下面结论正确的是（ ）
A．甲不输的概率B．乙不输的概率
C．乙获胜的概率D．乙输的概率
10．2021年7月1日是中国共产党建党100周年，某单位为了庆祝中国共产党建党100周年，组织了学党史、强信念、跟党走系列活动，对本单位200名党员同志进行党史测试并进行评分，将得到的分数分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.下列说法正确的是（ ）
A．
B．得分在的人数为4人
C．200名党员员工测试分数的众数约为87.5
D．据此可以估计200名党员员工测试分数的中位数为85
11．如图，在边长为1的正方体中，点为线段的中点，点为线段的中点，则（ ）
A．点到直线的距离为 B．直线到直线的距离为
C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为
三、填空题（共3小题，共15分）
12．已知，则向量的夹角为 .
13．我省新高考实行“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必选，物理与历史2选1，政治、地理、化学和生物4选2.今年高一小王与小李都准备选历史与地理，若他俩再从其他三科中任选一科，则他们选科相同的概率为 .
14．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点分别为的中点，点为内的一个动点（包括边界），若平面，则点的轨迹的长度为 .
四、解答题
15．（13分）已知向量，，.
（1）求 （2）若，求m，n. （3）求
16．（15分）如图，在棱长是2的正方体中，为的中点.
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求点到平面的距离.
17．（15分）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某学校统计了该校500名学生观看世界杯比赛直播的时长情况（单位：分钟），将所得到的数据分成7组：，，，，，，（观看时长均在内），并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)采用分层抽样的方法在观看时长在和的学生中抽取6人，现从这6人中随机抽取2人分享观看感想，求抽取的2人恰好观看时长在的概率.
18．（17分）甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求甲连续打四局比赛的概率；
(2)求在前四局中甲轮空两局的概率；
(3)求第四局甲轮空的概率.
19．（17分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E为CD的中点，M在AB上，且.
(1)求证：；
(2)求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值；
(3)求点D到平面PBC的距离.
《2025-2026学年度高中数学期中考试卷》答案
12．【详解】因为，则，
所以向量的夹角为，故答案为.
13．【详解】依题意，今年高一的小王与小李都准备选历史与地理，
则他俩再从其他三科中任选一科的基本事件有（政，政），（政，化），（政，生），（化，政），（化，化），（化，生），（生，政），（生，化），（生，生），共件，
他们选课相同包含的基本事件有：（政，政），（化，化），（生，生），共有件，
所以他们选课相同的概率．
14．/【详解】由题知，两两垂直，
以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
记的中点为，连接，因为为正方形，为中点，所以，且，所以为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
记点的轨迹与交于点，由题知平面，
因为是平面内的相交直线，所以平面平面，
所以即为点的轨迹，因为，
所以，
设，则，
设为平面的法向量，
则，令得，
因为，所以，解得，则，又所以，
所以.
15．（1）（2），（3）
【详解】（1）∵，∴
（2）∵，，若，则，解之得，
（3）∵，∴
，
16．(1)；(2).
【详解】（1）因为正方体棱长为2，
故以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则有，，，，，，，，.因为，，所以，因为异面直线与所成角是锐角，所以异面直线与所成角的余弦值是.
（2）设平面的法向量是 ，则，，即，
又，，
所以，令，则，，所以，又，
所以点到平面的距离.
17．(1)，平均数为157.6； (2)
【详解】（1）解：由频率分布直方图性质得：，解得平均数为
，∴估计样本数据的平均数为157.6；
（2）解：采用以样本量比例分配的分层随机抽样方式，则中抽取人，
分别记为，，，，中抽取人，分别记为，，
现从这6人中随机抽取2人分享观看感想，包含的基本事件有：
，，，，，，，，，，，，，，共15个，抽取的2人恰好观看时长在基本事件有：
，，，，，共6个，
所以抽取的3人中恰有2人的观看时长在的概率为.
18．(1) (2) (3)
【详解】（1）若甲连续打四局，根据比赛规则可知甲前三局都要打胜，
所以甲连续打四局比赛的概率；（2）在前四局中甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，故在前四局中甲轮空两局的概率；
（3）甲第四轮空有两种情况：
第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，
第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，
第1种情况的概率；第2种情况的概率；
由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲轮空的概率为.
19．(1)证明见解析 (2) (3)
【详解】（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
由，得，
解得，即，所以，，
所以，又，所以.
（2）解：由（1）得，则，，
设平面的一个法向量为，则，令，得，， 所以，
又平面的一个法向量为， 所以，
即平面与平面夹角的余弦值为.
（3）解：由题意知，由（2）得平面的一个法向量为
所以点到平面的距离为
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
B
A
A
C
C
A
ABCD
ACD
题号
11









答案
ABD