2025-2026学年陕西省咸阳市2026年高考模拟检测(一)数学试题 [附答案]

这是一份2025-2026学年陕西省咸阳市2026年高考模拟检测(一)数学试题 [附答案]，共10页。
1.本试卷共4页,满分150分,时间120 分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效.
4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效.
5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数z=1-2i,则 1z=
A. A.−13−23iB. −13+23i C. 15−25iD. 15+25i
2.已知集合A={x|x²-6x+8≤0},B={x|y= ln(x-3)},则A∩B=
A. [3,4]B. (3,4]C. [2,+∞)D. [2,3)
3.抛物线 x2=4y的准线方程为
A. x=1B. x=-1C. y=1D. y=-1
4.为了得到函数y=sin 2x的图象，只需将函数 y=sin2x−π6的图象
A. 向左平移π12个单位B. 向右平移π12个单位
C. 向左平移π6个单位D. 向右平移π6个单位
5.(2x-1)⁵的展开式中，x² 的系数为
A. -40B. 40C. -10D. 10
6.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)=f(2-x),且当x≤1时,f(x)=2x,则
A. f(1)＜f(-1)＜f(4)B. f(1)＜f(4)＜f(-1)
C. f(4)＜f(-1)＜f(1)D. f(-1)＜f(4)＜f(1)
7.已知数列{an}的前n项和为 Sn,a1=2,an+1=2Sn+4,则 S5=
A. 242B. 322C. 243D. 324
8.若关于x的不等式 2x−aln1x−b≤0ab∈R恒成立，则 a+2b的取值范围为
A. (-∞,-2]B. (-∞,-2]∪[6,+∞)
C. (-∞,-2)∪(6,+∞)D. [6,+∞)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 a=2,c=233,A=120∘,则
A. b=223B. C=30°
C. △ABC的周长为 2+3D. △ABC的面积为 33
10.已知空间向量a=(3,4,5),b=(2,1,-1),则下列结论正确的是
A. 3∣a∣=5∣b∣B. (a+3b)∥a
C. b⊥(5b-6a)D. a在b上的投影向量为 5356−56
11.如图，在棱长为2的正方体 ABCD−A1B1C1D1中，点 P 是正方体的上底面A₁B₁C₁D₁内(不含边界)的动点，点Q 是棱 BC 的中点，则以下结论正确的是
A. 三棱锥 Q-PAD 的体积是定值
B. 存在点 P,使得PQ⊥平面AB₁C
C. 直线 PQ 与平面ABCD 所成角的正弦值的取值范围为 231
D. 若 PQ∥平面 BDD₁B₁,则点 P 的轨迹长度为 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15 分.
12.某单位为了解日用电量y(单位：千瓦时)与当天平均温度x(单位：摄氏度)之间的关系，随机统计了4天的日用电量与当天的平均温度，绘制了如下表格，由表中数据可得线性回归方程 y=-2x+51,则实数a= .
13.设椭圆的左、右焦点分别是 F₁、F₂，A为椭圆上的一点，且 AF1⋅AF2=0,∠AF1F2=60∘,则该椭圆的离心率为 .
14.设 card(M)表示有限集合M 中元素的个数，已知函数 fx=x2ex,gx=x+2,若 card({x|f(x)=m}∪{x|g(x)=m})=2,其中m为常数，且m＜3，则m的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知函数 fx=sin2x+3sinxcsx−12,x∈0π2.
(1)求函数f(x)的最大值及所对应的x值；
(2)若方程f(x)=k在| 0π2上有两个不同的实根x₁,x₂,求k的取值范围及 x1+x2的值.
16.(本小题满分15分)
已知函数 fx=ax−52+6lnxa∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1）处的切线与y轴相交于点(0,6).
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y=f(x)+b有三个零点，求实数b的取值范围.
17.(本小题满分15分)
如图，已知平行六面体 ABCD−A1B1C1D1,底面ABCD 为菱形, ∠BAD=60∘,AA1=23,AB=2,点 A1在底面ABCD内的射影为AC的中点O.
(1)求证: A1C1⊥A1D;
(2)求直线. AA1与平面 A1C1D所成角的正弦值.
18.(本小题满分17分)
已知双曲线C x2a2−y2b2=1a0,b＞0)的实轴长为2，点( 2, 3)在C上.
(1)求双曲线 C 的标准方程；
(2)过双曲线C右焦点 F的直线l与双曲线C 的左、右两支分别交于点A、B，点M 是线段AB 的中点，过点 F 且与l垂直的直线l'交直线 OM 于点 P，点Q 满足 PM=MQ,求四边形 PAQB 面积的最小值.
19.(本小题满分17分)
某无人机执行飞行挑战任务，规则如下：挑战按阶段依次进行，若连续两个阶段任务都执行失败，则挑战结束；每一个阶段系统随机分配一个低空任务或高空任务，分配到低空任务的概率为 23，分配到高空任务的概率为 13.已知该无人机成功完成低空任务与高空任务的概率分别为 34和 12,，且各阶段任务完成情况相互独立.
(1)求该无人机在一个阶段中成功完成任务的概率；
(2)记Pn为该无人机在执行完第n个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率.
①求P₃,P₄;
②证明：数列{Pn}单调递减.若对系统分配任务进行设置，在执行完第n个阶段任务后，当Pn＜ 23时，系统停止分配任务，求该无人机最多能挑战多少个阶段的任务?
咸阳市2026年高考模拟检测(一)
数学试题答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. D2. B3. D4. A5. A6. C7. B8. B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.若有两个正确选项，则选对一个得3分，全部选对得6分；若有3个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6分；有选错的得0分.
9. BD10. ACD11. ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.4 13.3−1 14.4e23∪0
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.解: 1fx=1−cs2x2+32sin2x−12=sin2x−π6,
∵x∈0π2,∴−π6≤2x−π6≤5π6,
∴当 2x−π6=π2,即 x=π3时，,f(x) max=1. 6分
2∵x∈0π2,∴−π6≤2x−π6≤5π6,
由正弦函数图象知，方程f(x)=k在| 0π2]上有两个不同实根，则 k∈121.
由对称性知 2x1−π6+2x2−π62=π2,故 x1+x2=2π3. 1 3分
16.解:(1)因为 fx=ax−52+6lnx,故 f'x=2ax−5+6x,
令x=1,得f(1)=16a,f'(1)=6-8a,
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1）处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1),
因为切线与y轴相交于点(0，6)，
所以 6−16a=8a−6,∴a=12.即 fx=12x−52+6lnx,x＞0, 4分
f'x=x−5+6x=x−2x−3x,令f'(x)=0,得x=2或x=3,
当0＜x＜2或x＞3时,f'(x)＞0,故f(x)在(0,2),(3,+∞)上单调递增;
当2＜x＜3时,f'(x)＜0,故f(x)在(2,3)上单调递减.
所以函数f(x)的单调递增区间是(0,2)和(3,+∞),单调递减区间是(2,3). 8分
(2)由(1)知函数f(x)的单调递增区间是(0,2)和( 3+∞,，单调递减区间是(2，3)，故函数f(x)在x=2处取得极大值 f2=92+6ln2,在x=3处取得极小值j f3=2+6ln3,,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分
因为函数y=f(x)+b有三个零点，即方程.f(x)=-b有三个实数根，
且当x→0时,f(x)→-∞,当x→+∞,f(x)→+∞,
故 2+6ln3＜−b＜92+6ln2,所以 −92−6ln2＜b＜−2−6ln3,
即实数b的取值范围是 −92−6ln2−2−6ln3. 15分
17.解:(1)证明:连结BD,因为底面ABCD为菱形,所以AC与BD交于点O,且 AC⊥BD,因为点A₁在底面ABCD内的射影为AC的中点O,所以A₁O⊥底面ABCD.
因为AC⊂底面ABCD,所以. A1O⊥AC,
又因为AC⊥BD,BD∩A₁O=O,BD⊂平面A₁OD,A₁O⊂平面A₁OD,
所以AC⊥平面A₁OD. 又A₁D⊂平面A₁OD,所以. AC⊥A1D.
由平行六面体易知AC∥A₁C₁，所以 A1C1⊥A1D. 7分
(2)如图，以CA、DB、OA₁ 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
因为底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,AB=2,易知 OB=1,OA=3,
在 Rt△A₁AO中,由勾股定理,得
易知O(0,0,0),A( 3,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),A₁(0,0,3),C(- 3
0,0),C₁(-2 3,0,3),则 AA1=−303,DA1=013,A1C1=(−23,0,0).
设平面A₁C₁D的法向量为n=(x,y,z),
则令x=1,则x=0,y=-3,所以n=(0,-3,1),
设直线AA₁与平面A₁C₁D所成角为φ，
则 15分
18.解:(1)由已知得 2a=2 ， 2a2−3b2=1 ，解得a=1 ， b=3 ，
所以双曲线 C的标准方程为 x2−y23=1.·⋯ 6分
(2)设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),M(x₀,y₀),P(xp, yp),设直线AB 的方程为 x= my+2(m≠0),联立 {3x2−y2=3,x=my+2,得 3m2−1y2+12my+9=0,
△=(12m)2−4×9(3m2−1)=36m2+36＞0,且 3m2−1≠0,
y1+y2=12m1−3m2,y1y2=93m2−1,
所以 y0=y1+y22=6m1−3m2,所以 x0=my0+2=21−3m2. 10分
由O，M，P三点共线得 y0x0=yPxP=3m,①
由PF⊥AB得 kPF⋅kAB=−1,
又F(2,0),则 yP−0xP−2⋅1m=−1,② 12分
联立①②解得 xp=12,yp=32m,即 P1232m,
由M是线段AB的中点及 PM=MQ可知，四边形 PAQB是平行四边形，
设P到直线AB 距离为d，
则 d=∣12−32m2−2∣1+m2=321+m2,
而 ∣AB∣=1+m2∣y1−y2∣=1+m212m1−3m22−363m2−1=61+m2∣1−3m2∣,
S四边形PAQB=d⋅∣AB∣=321+m2⋅61+m2∣1−3m2∣=9m2+133m2−12. 14分
令 t=3m2−1t−1且t≠0),则 m2=t+13,
则 S四逆形PAQB=3t+43t2,
令 ft=t+43t2,则 f't=3t+42t2−2tt+43t4=t+42t−8t3,
所以在(-1,0)上f'(t)＞0,f(t)单调递增;在(0,8)上f'(t)＜0,f(t)单调递减;在( 8+∞)上f'(t)＞0,f(t)单调递增，
又因为f(-1)=27 ,f(8)=27,
所以 ftmin=f8=27,
当t=8即 m=±3时，符合题意，
所以 S四边形PAQBmin=3⋅27=9.17分
19.解：(1)设事件A=“分配到低空任务”，则 A=“‘分配到高空任务”，
事件 B=“在一个阶段中成功完成任务”，
依题意， PA=23,PA=13,PB∣A=34,PB∣A=12,
因此 PB=PAPB∣A+PAPB∣A=23×34+13×12=23
所以该无人机在一个阶段任务中成功完成任务的概率为 23. 5分
(2)①设事件 Bn=“该无人机在第n个阶段中成功完成任务”，则 PBn=23,
当n=1时，挑战显然不会终止，即 P1=1,
又各阶段完成任务与否相互独立，
故当n=2时，则第1、2阶段至少成功完成一次， 7分
P3=PB3P2+PB2B3P1=PB3P2+PB2PB3P1=2227,
同理 P4=PB4P3+PB3B4P2=PB4P3+PB3PB4P2=202710分
②设事件 Cn=“第n个阶段任务结束时挑战仍然未结束”，
当n≥3时，第n个阶段任务结束时挑战仍然未结束的情况有两种：
(i)第n阶段成功，且第n-1阶段结束时挑战未终止；
(ii)第n阶段失败，且第n-1阶段成功，且第n-2阶段结束时挑战未终止，
因此第n个阶段任务结束时挑战仍然未结束的事件可表示为 Cn=Cn−1Bn∪Cn−2BnBn−1,
而各阶段任务成功与否相互独立，
因此 PCn=PCn−1PBn+PCn−2PBnBn−1=23PCn−1+29PCn−2, 12分
当n≥3时, Pn=23Pn−1+29Pn−2,
当n≥2时, Pn+1−Pn=23Pn+29Pn−1−Pn=−13Pn+29Pn−1,要证数列 Pn单调递减，只需证 −13Pn+29Pn−1＜0,即 Pn＞23Pn−1,
当n=2时, P2=89,23P1=23,P2＞23P1,
当n≥3时, Pn=23Pn−1+29Pn−2,由于 Pn−2＞0,故 Pn＞23Pn−1.
因此，对于n≥2，都有 Pn＞23Pn−1,从而 Pn+1−Pn＜0.
∴{Pn}为单调递减数列. 15分
由当n≥3时, Pn=23Pn−1+29Pn−2,经计算 P5=164243＞23,P6=448729＜23,
所以该无人机最多能挑战6个阶段的任务.17分
x
-4
5
15
24
y
60
40
20
a