2025-2026学年广西高三上学期12月教学质量联合测试数学试题 [附解析]

这是一份2025-2026学年广西高三上学期12月教学质量联合测试数学试题 [附解析]，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若复数､在复平面内的对应点关于虚轴对称，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，，若，则（ ）
A．0B．7C．D．1
3．2025年“九三”阅兵活动中，官兵步调一致，假设官兵的步伐可由简谐振动表示为，将函数图像上所有的点向左平移个单位长度，可得函数的图像，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
4．若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中各项系数和为（ ）
A．16B．C．32D．
5．数列满足，设命题，命题：数列为递增数列，则是的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．袋中装有除颜色外均相同的4个红球､3个蓝球和2个绿球.现从袋中无放回地随机取球，每次取1个球，直到取到红球为止.则第3次恰好取到红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线的左､右焦点分别为、，是的渐近线上的一点，点在轴上且为线段的中点.若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．设且，若函数存在三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知，为正实数，，则（ ）
A．的最大值为1
B．的最大值为
C．的最小值为
D．的最小值为5
10．已知椭圆的右焦点为，左､右顶点分别为､两点，直线与椭圆相交于､两点，则（ ）
A．椭圆的焦距为4
B．为定值
C．直线和的斜率的乘积为
D．当以，，，四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为
11．在中，角、、的对边分别为、、，且，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．若，，则边上的中线长为
C．若，则
D．若为锐角三角形，则的取值范围是
三、填空题
12．若，，则 .
13．已知是偶函数，则 .
14．已知圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的内切球与圆锥侧切的圆的周长为 .
四、解答题
15．已知是等差数列的前项和，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，记数列的前项和为，证明.
16．在6道数学试题中有3道代数题和3道几何题，每次从中随机抽出1道题.
(1)如果抽出的题不再放回，从中抽2道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率；
(2)如果抽出的题再放回，从中抽2道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率；
(3)如果抽出的题不再放回，从中抽3道题，记表示抽到代数题的道数，求随机变量的分布列和数学期望.
17．如图，三棱柱的所有棱长均为1，，为的中点，.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知，动点到点的距离比到直线的距离小，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)设，过点作的切线，与直线交于点，直线与交于点，与抛物线交于另一点；
（i）设点、到直线的距离分别为、，证明：为定值；
（ii）求面积的最小值.
19．双曲正余弦函数是数学中重要的超越函数，其定义基于指数函数的线性组合：双曲正弦函数定义为，双曲余弦函数定义为.
(1)求双曲余弦函数在处的切线方程；
(2)令，请讨论在的单调性；
(3)证明.
答案
1．C
【详解】复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，且，则，
所以.
故选：C
2．C
【详解】因为，所以，
因为，所以，所以，解得.
故选：C.
3．A
【详解】由题意得.
故选：A.
4．D
【详解】因为的展开式的二项式系数和为32，即，解得，
令可得的展开式中各项系数和为.
故选：D.
5．A
【详解】因为，
若数列为递增数列，
则对任意的恒成立，
对任意的恒成立，又，；
所以推得出，故充分性成立；推不出，故必要性不成立，
所以是的充分非必要条件.
故选：A
6．B
【详解】把所有球都看作不相同的，则任取3个球排成一排有种，第3次恰好取到红球有种，
故所求概率为.
故选：B.
7．C
【详解】双曲线的渐近线为，记为第一象限的点，如下图所示：
记双曲线的焦距为，依题意可得，，又，
，，
为等腰直角三角形，
，则点的坐标为，所以，
，.
故选：C
8．B
【详解】设，故，可转化为，
由得，
当时，方程有两解，当时，方程有一解，
令，故要满足题意，
只需在内有一个实数根，且另一个根为，或在内有一个实数根，且在内也有一个实数根，
即若，， 则，即，不等式组无解；
若，，则，即不等式组无解；
若，，则，即，解得，
综上所述，
故选：B.
9．AC
【详解】对于A选项，因为为正实数，，则，
当且仅当时取等号，故A正确；
对于B选项，，
当且仅当时取等号，所以，所以的最大值为2，故B错误；
对于C选项，，
当且仅当，即时取等号，故C正确；
对于D选项，，
因为，所以，
当时，的最小值为4，故D错误.
故选：AC.
10．ABC
【详解】由椭圆方程可知：，.
对于选项A：椭圆的焦距为，故A正确；
对于选项B：如图，设椭圆的左焦点为，连接，，
由椭圆的对称性有，故B正确；
对于选项C：因为，设点的坐标分别为，
代入椭圆方程可得，即，
所以，故C正确；
对于选项D：由题意得，且，
又因为四边形为平行四边形，则，
由关于轴对称可得点的坐标为，
代入椭圆方程得到，解得，
所以平行四边形的面积为，故D错误.
故选：ABC.
11．ACD
【详解】对于A选项，因为，
由正弦定理得
，
因为、，则，
因为，所以，
若，即，舍去，所以，故，故A正确；
对于B选项，设的中点，由，，
由得，得.
由余弦定理，，即，所以.
由得，
解得，故边上的中线长为，故B错误；
对于C选项，因为，
而，由正弦定理得，得，
又，所以，则，故，
所以，故C正确；
对于D选项，因为为锐角三角形，则，解得，
由得，
因为，则，所以，故，
从而的取值范围是，故D正确.
故选：ACD.
12．
【详解】因为，，则，
故.
故答案为.
13．4
【详解】因为为偶函数，
则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故4.
14．
【详解】如图，与是圆锥与其内切球的轴截面，与分别相切于，
则是圆锥的内切球与圆锥相切的切点构成的圆的直径，
，，
所以圆锥的内切球与圆锥相切的圆的周长为.
故答案为.
15．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
由题意得，解得：，
所以.
（2）由（1）得，
所以，
，
因为，所以，所以，
所以.
16．(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【详解】（1）如果抽出的题不再放回，
设事件“从中抽2道题，恰好抽到一道代数题和一道几何题”，
则；
（2）如果抽出的题再放回，
设事件“从中抽2道题，恰好抽到一道代数题和一道几何题”，
则；
（3）根据题意，可能的取值为，
，
，
所以的分布列为
故随机变量的期望
.
17．(1)证明见解析
(2).
【详解】（1）连接，因为三棱柱的所有棱长均为1，
所以，，
所以为等边三角形，故，
又，故为等边三角形，故，
由勾股定理得，
在中，，故，即，
又平面，
所以平面；
（2）由（1）知，两两垂直，以为坐标原点，
所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，
故，，
设平面的法向量为，则，
令得，所以，
设直线与平面所成角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
18．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【详解】（1）因为动点到点的距离比到直线的距离小，
则到点的距离与到直线的距离相等，
根据抛物线的定义，点的轨迹是抛物线，且其焦点为，准线为直线，
设该抛物线的标准方程为，
所以，可得，所以的方程为.
（2）（i）若直线与轴重合，此时直线与抛物线有且只有一个交点，不符合题意，
设直线的方程为，代入得，
则，
设、，则，，
因为，，
所以（定值）；
（ii）在直线的方程中，令得，此时，
对求导得，所以，
直线的方程为，令得，
又，所以，此时，
所以的面积，
当且仅当时，即当时取等号，所以面积的最小值为.
19．(1)
(2)在上单调递增；
(3)证明见解析
【详解】（1）因为，所以，
所以，
又，所以在处的切线方程为.
（2）因为，，
则，
令，，则，
，当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以即在上单调递增，所以，
所以在上单调递增.
（3）先证：当时，；
令，，则，
令，，则，
令，，
则，
所以在单调递增，∴，即在单调递增，
，即，即在单调递增，
，即当时，.
由（2）知当时，即，
因为，则，即，
所以，即（）；
令，
则，
当时，则有：，
，，；
相加可得：
，
其中
，
所以.0
1
2
3