2025-2026学年安徽省滁州市定远县育才学校高二上学期（12月）月考数学试题 [附答案]

这是一份2025-2026学年安徽省滁州市定远县育才学校高二上学期（12月）月考数学试题 [附答案]，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点A(1,4)，B(3,−1)，若直线l：mx+y+2m−1=0与线段AB相交，则m的取值范围是( )
A. (−∞,−1]∪[25,+∞)B. [−1,25]
C. (−∞,−25]∪[1,+∞)D. [−25,1]
2.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E，F分别为PB，PD的中点，若PG=12GC，且AG=xAE+yAF，则x+y=( )
A. 1B. 2C. 32D. 43
3.已知点P是直线l：3x+4y−7=0上的动点，过点P引圆C：x+12+y2=r2r>0的两条切线PM,PN．M,N为切点，当∠MPN的最大值为π3时，则r的值为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
4.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，下列结论中错误的是( )
A. 直线B1C与直线AD1所成的角为90∘
B. 直线B1C与平面ACD1所成角的余弦值为 33
C. B1D⊥平面ACD1
D. 点B1到平面ACD1的距离为 32
5.如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C.若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为( )
A. y2=9xB. y2=6xC. y2=3xD. y2=x
6.已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，右焦点为F，直线A1B1与直线B2F相交于点T.若A2T垂直于x轴，则椭圆的离心率e=( )
A. 13B. 33C. 12D. 22
7.在图形设计和创作中，常常需要用不同的形状和线条进行组合，以创造出独特的视觉效果.某校数学兴趣小组设计了一个如图所示的“螺旋线”：点A1，C1在直线l上，△A1B1C1是边长为1的等边三角形，C1A2⌢是以点A1为圆心，A1C1为半径的圆弧，A2B2⌢是以点B1为圆心，B1A2为半径的圆弧，B2C2⌢是以点C1为圆心，C1B2为半径的圆弧，C2A3⌢是以点A1为圆心，A1C2为半径的圆弧，…，依次类推(其中点A1，C1，C2，C3，…共线，点B1，A1，A2，A3，…共线，点C1，B1，B2，B3，…共线).由上述圆弧组成的曲线H与直线l恰有9个交点时，曲线H长度的最小值为
A. 30πB. 44πC. 52πD. 70π
8.若双曲线C：x24−y25=1，F1，F2分别为左､右焦点，设点P是在双曲线上且在第一象限的动点，点I为△PF1F2的内心，A0,4，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线C的渐近线方程为x4±y5=0
B. 点I的运动轨迹为双曲线的一部分
C. 若PF1=2PF2，PI=xPF1+yPF2，则y−x=29
D. 不存在点P，使得|PA|+PF1取得最小值
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在递增的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4=32,a2+a3=12，则下列说法正确的是( )
A. q=1B. 数列Sn+2是等比数列
C. S8=510D. 数列lgan是公差为2的等差数列
10.在平面直角坐标系xOy中，已知点M(2 , −1) , N(−2 , 1)，动点P满足|PM|2−|PN|2=a(a∈R)，记点P的轨迹为曲线C，则( )
A. 存在实数a，使得曲线C上所有的点到点的距离大于2
B. 存在实数a，使得曲线C上有两点到点(− 5 , 0)与( 5 , 0)的距离之和为6
C. 存在实数a，使得曲线C上有两点到点(− 5 , 0)与( 5 , 0)的距离之差为2
D. 存在实数a，使得曲线C上有两点到点(a , 0)的距离与到直线x=−a的距离相等
11.已知△ABC的顶点A(5,1)，边AB上的中线CM所在直线方程为2x−y−5=0，边AC上的高BH所在直线方程为x−2y−5=0，则下列说法正确的有( )
A. 过点A且平行于CM的直线的方程为2x−y−9=0
B. 直线AC的方程为2x+y−11=0
C. 点C的坐标为(4,3)
D. 边AC的垂直平分线的方程为x−2y−1=0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列{an}首项为a，公差为b，等比数列bn首项为b，公比为a，其中a,b都是大于1的正整数，且a10)的焦点F与双曲线4x23−4y2=1的一个焦点重合，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点。
(1)求抛物线C的方程；
(2)记抛物线C的准线与x轴的交点为N，试问是否存在常数λ∈R，使得AF=λFB且|NA|2+|NB|2=854都成立？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由。
答案和解析
1.【正确答案】B
因为直线l：mx+y+2m−1=0，即m(x+2)+y−1=0，
令x+2=0y−1=0，解得x=−2y=1，
所以直线l恒过定点P(−2,1)，
又kAP=4−11−(−2)=1，kPB=−1−13−(−2)=−25，直线l的斜率为−m，
要使直线l与线段AB有公共点，由图可知−25≤−m≤1，解得−1≤m≤25，
即m的取值范围是[−1,25]．
故选：B．
2.【正确答案】D
因为点E、F分别为PB、PD的中点，
所以AE=12AP+AB、AF=12AP+AD，
因此AG=xAE+yAF =x2AP+AB+y2AP+AD=x+y2AP+x2AB+y2AD．
因为底面ABCD为平行四边形，所以AB+AD=AC，
因此PC=AC−AP=AB+AD−AP．
因为PG=12GC，所以PG=13PC，
因此AG=AP+PG=AP+13AB+AD−AP=23AP+13AB+13AD，
所以x+y2AP+x2AB+y2AD=23AP+13AB+13AD．
因为AP、AB、AD不共面，所以x+y2=23x2=13y2=13，因此x+y=43．
故选：D．
3.【正确答案】D
结合题意，如图：
当∠MPN取到最大值时，∠MPC也取到最大值．
而sin∠MPC=|MC||PC|=r|PC|，
当|PC|取到最小值时，∠MPC取到最大值，
故|PC|的最小值为点C到该直线l的距离d=|3×−1+0−7| 32+42=2，
故r|PC|=r2=sinπ6=12，解得r=1．
故选D．
4.【正确答案】D
在正方体 ABCD−A1B1C1D1中， DA⊥DC,DA⊥DD1,DC⊥DD1，
以D为原点，DA,DC,DD1分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1,0,0,B1,1,0,C0,1,0,A11,0,1,B11,1,1,C10,1,1,D10,0,1，
所以B1C=−1,0,−1,AD1=−1,0,1，所以B1C⋅AD1=1+0−1=0，
所以B1C⊥AD1，所以直线B1C与直线AD1所成的角为90 ∘ ，故A正确；
又AC=−1,1,0,AD1=−1,0,1，
设平面ACD1的一个法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅AC=−x+y=0m⋅AD1=−x+z=0，令x=1，则y=z=1，
所以平面ACD1的一个法向量为m=(1,1,1)，
设直线B1C与平面ACD1所成角为α，
则sinα=|cs|=|m⋅B1C||m|⋅|B1C|=|−1+0−1| (−1)2+02+(−1)2× 12+12+12= 63，
所以csα= 1−sin2α= 33，
所以直线B1C与平面ACD1所成角的余弦值为 33，故B正确；
因为DB1=1,1,1=m，所以B1D⊥平面ACD1，故C正确；
点B1到平面ACD1的距离为d=|m⋅B1C||m|=|−1+0−1| 12+12+12=2 33，故D错误．
故选D．
5.【正确答案】C
作AM、BN垂直准线于点M、N，
则|BN|=|BF|，
又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，
∴∠NCB=30°，
则AF=AM=p+AFsin30°，即3=p+3×12，
所以p=32，故抛物线的方程为y2=3x．
故选C.
6.【正确答案】A
由题意，直线A1B1的方程为：x−a+yb=1，
直线B2F的方程为：xc−yb=1，
所以联立可得T的横坐标为：2aca−c，
A2T垂直于x轴，所以2aca−c=a，可得a=3c，
所以椭圆的离心率为：e=ca=13．
故选A．
7.【正确答案】C
设a1=lC1A2⏜=1×2π3=2π3，a2=lA2B2⏜=2×2π3=4π3，a3=lB2C2⏜=3×2π3=6π3，a4=lC2A3⏜=4×2π3=8π3，
因此由题意知：数列an是首项为2π3，公差为2π3的等差数列，所以an=2nπ3．
因为从点Cn到点Cn+1间共有3段圆弧，且此时曲线H与直线l的交点除点Cn、点Cn+1外还有一点，
所以要曲线H与直线l恰有9个交点时，曲线H长度的最小值为从点C1到点C5间的圆弧长的和，即4×3=12段圆弧的长，
因此曲线H与直线l恰有9个交点时，曲线H长度的最小值为S12=12(1+12)2×2π3=52π．
8.【正确答案】C
双曲线C：x24−y25=1的a=2，b= 5，则渐近线方程为y=± 52x，故A错误；
设|PF1|=m，|PF2|=n，△PF1F2的内切圆与边PF1相切于点S，与边PF2相切于点K，与边F2F1相切于点T，
可得|PS|=||，|F1S|=|F1T|，|F2T|=|F2K|，
由双曲线的定义可得m−n=2a，即有|F1S|−|F2K|=|F1T|−|F2T|=2a，
又|F1T|+|F2T|=2c，解得|F2T|=c−a，则T的横坐标为a，
由点I与点T的横坐标相同，可得点I的横坐标为a=2，可得点I在定直线x=2上运动，故B错误；
由|PF1|=2|PF2|，且|PF1|−|PF2|=2a=4，解得|PF1|=8，|PF2|=4，|F1F2|=2c=6，
cs∠PF1F2=64+36−162×8×6=78，sin∠PF1F2= 1−4964= 158，tan∠PF1F2= 157，
同理可得tan∠PF2F1=− 15，
设直线PF1方程为y= 157(x+3)，直线PF2方程为y= 15(x−3)，
联立y= 157x+3y= 15x−3，解得点P(4, 15)，
设△PF1F2的内切圆的半径为r，则S△PF1F2=12×8×6× 158=12(8+4+6)r，
解得r= 153，即有点I(2, 153)，又F1−3,0,F23,0，
则有PI=(−2,−2 153)，PF1=(−7,− 15)，PF2=(−1,− 15)，
由PI=xPF1+yPF2，则−2=−7x−y，−2 153=− 15x− 15y，
解得x=29，y=49，即有y−x=29，故C正确；
由双曲线定义可知，|PF1|−|PF2|=2a=4，所以|PF1|=|PF2|+4，所以|PA|+|PF1|=|PA|+|PF2|+4，当P、A、F2三点在一条直线上时|PA|+|PF2|取得最小值，此时|PA|+|PF1|取得最小值，故 D错误．
故选：C．
9.【正确答案】BC
设等比数列的公比为q，q>0，
∵ a1⋅a4=a2·a3=32，a2+a3=12，
∴a2=4a3=8或a2=8a3=4,
因数列{an}递增，所以a2=4a3=8
∴a1=2, q=2,故A错误；
∵Sn=21−2n1−2=2n+1−2，
∴S8=510，故C正确；
∴Sn+2=2n+1，故数列{Sn+2}是等比数列，故 B正确；
∴an=2×2n−1=2n，
∴lgan=lg⁡2n=nlg2，
故数列{lgan}是公差为lg2的等差数列，故 D错误．
故答案选：BC．
10.【正确答案】BD
设点P(x,y)，由PM2−PN2=a(a∈R)，得(x−2)2+(y+1)2−(x+2)2−(y−1)2=a，即8x−4y+a=0，所以点P的轨迹为斜率为2的直线．
对于A.由点(1,a4)到直线C的距离为|8−a+a| 82+42=2 550，设点S到点(a,0)的距离与到直线x=−a的距离相等，则点S的轨迹为抛物线，该抛物线方程为y2=4ax，联立直线与抛物线的方程得：y=2x+a4y2=4ax，消去y得4x2−3ax+a216=0，则Δ=(−3a)2−4×4×a216=8a2>0，故此时直线C与抛物线有两个不同交点，故D正确．
故本题选BD．
11.【正确答案】ABC
依题意知kCM=2，所以过点A且平行于CM的直线的方程为：
y−1=2(x−5)，即2x−y−9=0，A正确；
易知kAC=−2，点A(5,1)，则直线AC的方程为：
y−1=−2(x−5)=2x+y−11=0，B正确；
联立2x+y−11=0,2x−y−5=0,可得点C(4,3)，C正确；
设AB的中点M，则M(92,2)，且边AC的垂直平分线的斜率为12，
所以边AC的垂直平分线的方程为：
y−2=12x−92，即2x−4y−1=0.故D错误．
12.【正确答案】5n−3
∵a1