2026中考数学高频考点一轮复习：一次函数（试题含解析）

这是一份2026中考数学高频考点一轮复习：一次函数（试题含解析），共26页。
A．当t＞0时，y1y2＜0B．当t＞0时，y1y2＞0
C．当t＜0时，y1y2＜0D．当t＜0时，y1y2＞0
2．（2025春•青山区）若点P在一次函数y＝2x﹣3的图象上，则点P一定不在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（2025春•武昌区）如图，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，⋯，按如图所示方式放置，点A1，A2，⋯在直线y＝x+1上，点C1，C2，⋯在x轴上．A1点的坐标是（0，1），则点B10的坐标是（ ）
A．（1024，511）B．（1024，512）
C．（1023，511）D．（1023，512）
4．（2025•雁塔区模拟）若点（﹣1，y1），（2，y2）在一次函数y＝（k﹣1）x+b的图象上，且y1＞y2，则下列k的值可能为（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．（2025•潮阳区三模）已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2025春•潮南区）关于正比例函数y＝5x的描述，错误的是（ ）
A．图象是一条过原点的直线
B．y随x的增大而增大
C．图象过(1，15)
D．图象过一、三象限
7．（2025春•西城区）在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，y1），B（2，y2）两点在直线y＝3x﹣5上，下列判断正确的是（ ）
A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．y1≥y2
8．（2025春•洛宁县）若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象经过第一、三、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞-12B．m＜3C．-12＜m＜3D．-12＜m≤3
9．（2025春•海淀区）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（0，2），C（m，2）（m≠0），射线AC与直线y＝x交于点D，若∠ADO＝30°，则∠DBC的大小为（ ）
A．14°B．15°C．16°D．17°
10．（2025春•通州区）一次函数y＝2x+6中，当x＝﹣2时，y的值是（ ）
A．10B．﹣10C．2D．﹣2
二．填空题（共5小题）
11．（2025•青羊区模拟）已知一次函数y＝（k+4）x+k+2（k为整数）的图象不过第二象限，则k的值为 ．
12．（2025春•两江新区）若点A（x1，1），B（x2，3）在一次函数y＝﹣x+2的图象上，则x1 x2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
13．（2025春•西安）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）经过点P，则关于x的不等式kx+b＞1的解集为 ．
14．（2025春•鼓楼区）为了研究气温对冷饮销售的影响，一家饮品店经过一段时间的统计，得到卖出的冷饮杯数y杯与当天最高气温x℃的数据趋势图，如图所示，经研究发现：冷饮杯数y杯与当天最高气温x℃的关系为6x﹣y＝20，可以预测当一天的最高气温为31℃时，饮品店卖出的冷饮为 杯．
15．（2025春•肇庆）将直线y＝2x沿y轴向上平移3个单位长度，则平移后的直线解析式为 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025•襄州区模拟）某风景区门票价格如图所示，百姓旅行社有甲、乙两个旅行团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人．设甲团队人数为x人，甲、乙两团队联合购票比分别购票可节约W元．
（1）求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）如果甲、乙两团队联合购票比分别购票节约的钱不少于乙队单独购票所需钱数的一半，那么甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少元；
（3）“五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作如下调整：人数不超过50人时，门票价格不变，人数超过50人但不超过100人时，每张门票降价a（5≤a≤15）元；人数超过100人时，每张门票降价2a元．若甲、乙两个旅行团在“五一”小黄金周期间去游玩联合购票比分别购票最少可节约1500元，若这两个旅行团在“五一”小黄金周之后去游玩联合购票比分别购票最少可节约3000元，求a的值．
17．（2025春•朝阳区）学校科技创新小组有两个加工同种实验液体的装置，分别为1号装置、2号装置．当1号装置、2号装置的加工时间都为xh时，分别记录了1号装置中加工的实验液体的体积y1（单位：dm3）和2号装置中加工的实验液体的体积y2（单位：dm3），部分数据如下：
（1）写出表中a的值；（结果保留小数点后一位）
（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画y1与x，y2与x之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
（3）根据以上数据与函数图象，解决问题：
若两个装置同时开始加工，当1号装置与2号装置加工的实验液体的体积相差最大时，1号装置停止加工．
①此时的加工时间为 h；（结果保留小数点后一位）
②2号装置再加工 h，与1号装置加工的实验液体的体积相等．（结果保留小数点后一位）
18．（2025春•天河区）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导某农户种植优质玉米喜获丰收，上市销量日益增加，助手小天对销量（吨）进行了跟踪记录，制作销量统计表，并将数据用坐标表示，得到A（1，2.5）、B（2，3.6）、C（3，4.8）、D（4，6.7），在如图的坐标系描点．销量统计表：
假设销售环境不发生改变，可运用函数与统计知识预测第五周的销量，例如选择直线AB或直线CD等一次函数模型来进行分析．
（1）根据A，B的坐标，可得直线AB的解析式为y＝1.1x+1.4．类似的，请任意选择两点坐标，求过这两点的直线解析式；
（2）在运用一次函数模型分析预测第五周的销量时，可以利用偏离方差分析选用哪一个模型预测更适合．请根据以下方框材料，求出（1）中你选择的直线的偏离方差，并与选用直线AB的预测方案作比较，选择较为合适的模型，预估第五周的销量．
19．（2025春•潮南区）在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB：y=-12x+3与直线CD：y＝kx﹣2交于点M（4，a），直线AB，CD分别交坐标轴于点A、B、C、D．
（1）求直线CD的函数表达式；
（2）如图2，点P为线段CD上的一个动点，将BP绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接PQ与OQ．点Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成的线段所在直线的解析式；
（3）直线AB上有任意一点F，平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接写出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
20．（2025春•潮南区）如图，直线l1：y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线l2：y＝kx+b与y轴相交于点C（0，1），与直线l1相交于点D．
（1）填空：
①线段AB的长度为 ；
②方程组x+y=4y=kx+b的解为 ；
（2）结合图形直接写出kx+b＞﹣x+4＞0的解集；
（3）求△BCD的面积．
中考数学一轮复习 一次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025春•长乐区）已知点A（t，y1），B（t+2，y2）在直线y＝﹣x+3上，下列判断正确的是（ ）
A．当t＞0时，y1y2＜0B．当t＞0时，y1y2＞0
C．当t＜0时，y1y2＜0D．当t＜0时，y1y2＞0
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：在函数y＝﹣x+3中，当y＝0时，x＝3，
∴直线与x轴的交点坐标为（3，0），y随x的增大而减小，
A、当t＞0时，y1与y2可以是同号也可以是异号，故原说法错误，不符合题意；
B、当t＞0时，y1与y2可以是同号也可以是异号，故原说法错误，不符合题意；
C、当t＜0时，y1＞0，t+2＜2＜3，y2＞0，故y1y2＞0，故原说法错误，不符合题意；
D、当t＜0时，y1＞0，t+2＜2＜3，y2＞0，故y1y2＞0，故原说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
2．（2025春•青山区）若点P在一次函数y＝2x﹣3的图象上，则点P一定不在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣3的k＝2，b＝﹣3，
∴一次函数不经过第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
3．（2025春•武昌区）如图，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，⋯，按如图所示方式放置，点A1，A2，⋯在直线y＝x+1上，点C1，C2，⋯在x轴上．A1点的坐标是（0，1），则点B10的坐标是（ ）
A．（1024，511）B．（1024，512）
C．（1023，511）D．（1023，512）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；规律型：点的坐标．
【专题】规律型；一次函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】罗列计算出B1（1，1），B2（3，2），B3（7，4），B4（15，8），B5（31，16），……，发现规律Bn坐标是（2n﹣1，2n﹣1），利用规律解答即可．
【解答】解：当x＝0时，y＝x+1＝1，
∴A1（0，1），
∵A1B1C1O是正方形，
∴B1（1，1），
当x＝1时，y＝x+1＝2，
∴点A2的坐标（1，2），
∵A2B2C2C1是正方形，
∴B2（3，2），
同理可得B3（7，4），B4（15，8），B5（31，16），……，
∴Bn坐标是（2n﹣1，2n﹣1），
∴点B10的坐标是（210﹣1，29）即（1023，512）．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标规律，发现Bn坐标是（2n﹣1，2n﹣1）是关键．
4．（2025•雁塔区模拟）若点（﹣1，y1），（2，y2）在一次函数y＝（k﹣1）x+b的图象上，且y1＞y2，则下列k的值可能为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据一次函数的增减性解答即可．
【解答】解：∵点（﹣1，y1），（2，y2）在一次函数y＝（k﹣1）x+b的图象上，且﹣1＜2时，y1＞y2，
∴一次函数y＝（k﹣1）x+b的增减性为：y随x的增大而减小，
∴k﹣1＜0，
∴k＜1．
四个选项中只有A符合条件．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
5．（2025•潮阳区三模）已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】一次函数的图象．
【专题】函数及其图象．
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质得到k＜0，而kb＜0，则b＞0，所以一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限，与y轴的交点在x轴上方．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，
∴k＜0，
∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限；
∵kb＜0，
∴b＞0，
∴图象与y轴的交点在x轴上方，
∴一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的图象：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
6．（2025春•潮南区）关于正比例函数y＝5x的描述，错误的是（ ）
A．图象是一条过原点的直线
B．y随x的增大而增大
C．图象过(1，15)
D．图象过一、三象限
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正比例函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：当x＝1时，y＝5，
∴点（1，5）在y＝5x图象上，
∴函数y＝5x图象不经过（1，15）．选项C说法错误，其他选项说法正确．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
7．（2025春•西城区）在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，y1），B（2，y2）两点在直线y＝3x﹣5上，下列判断正确的是（ ）
A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．y1≥y2
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征逐项分析判断即可．
【解答】解：∵一次函数的k＝3＞0，
∴一次函数y随x的增大而增大，
∵﹣1＜2，
∴y1＜y2．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
8．（2025春•洛宁县）若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象经过第一、三、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞-12B．m＜3C．-12＜m＜3D．-12＜m≤3
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据函数图象经过第一、三，四象限，得出m的不等式组解答即可．
【解答】解：∵一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象经过第一、三、四象限，
∴2m+1＞0m-3＜0，
解得：-12＜m＜3，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数上点的坐标特征：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象为直线，此直线上的点的坐标满足其解析式．也考查了一次函数的性质的问题．
9．（2025春•海淀区）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（0，2），C（m，2）（m≠0），射线AC与直线y＝x交于点D，若∠ADO＝30°，则∠DBC的大小为（ ）
A．14°B．15°C．16°D．17°
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】易证明△OBD≌△OAD（SAS），得到∠OAD＝∠OBD＝180°﹣45°﹣30°＝105°，继而求出∠DBC的度数．
【解答】解：∵A（2，0），B（0，2），C（m，2），
∴OB＝OA，BC∥OA，
∵点D在直线y＝x图象上，
∴∠BOD＝45°，
在△OBD和△OAD中，
OB=OA∠BOD=∠AODOD=OD，
∴△OBD≌△OAD（SAS），
∴∠OAD＝∠OBD，
又∵∠ADO＝30°，
∴∠OAD＝∠OBD＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
∴∠DBC＝∠DBO﹣90°＝105°﹣90°＝15°．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键．
10．（2025春•通州区）一次函数y＝2x+6中，当x＝﹣2时，y的值是（ ）
A．10B．﹣10C．2D．﹣2
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：在一次函数y＝2x+6中，当x＝﹣2时，y＝2×（﹣2）+6＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025•青羊区模拟）已知一次函数y＝（k+4）x+k+2（k为整数）的图象不过第二象限，则k的值为 ﹣3或﹣2 ．
【考点】一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】﹣3或﹣2．
【分析】依据题意，由一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，则k＞0，且b≤0，进而可以列出不等式组进行计算可以得解．
【解答】解：由题意，∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，
∴k＞0，且b≤0．
又∵一次函数y＝（k+4）x+k+2（k为整数）的图象不过第二象限，
∴k+4＞0k+2≤0．
∴﹣4＜k≤﹣2．
又∵k为整数，
∴k＝﹣3或﹣2．
故答案为：﹣3或﹣2．
【点评】本题主要考查了一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能根据“一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，则k＞0，且b≤0”进行判断是关键．
12．（2025春•两江新区）若点A（x1，1），B（x2，3）在一次函数y＝﹣x+2的图象上，则x1 ＞ x2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】＞．
【分析】分别把A（x1，1），B（x2，3）代入y＝﹣x+2进行计算，得x1＝1，x2＝﹣1，再比较大小，即可作答．
【解答】解：由条件可得1＝﹣x1+2，3＝﹣x2+2，
解得x1＝1，x2＝﹣1，
∵1＞﹣1，
∴x1＞x2，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了比较一次函数的自变量的大小，熟练掌握该知识点是关键．
13．（2025春•西安）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）经过点P，则关于x的不等式kx+b＞1的解集为 x＜4 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】x＜4．
【分析】根据直线经过点P，结合函数图象可求得关于x的不等式kx+b＞1的解集．
【解答】解：由条件可知当x＜4时，y＝kx+b＞1，
∴关于x的不等式kx+b＞1的解集为x＜4，
故答案为：x＜4．
【点评】本题考查了利用一次函数的图象求不等式的解集，解题关键是理解不等式表示的意义．
14．（2025春•鼓楼区）为了研究气温对冷饮销售的影响，一家饮品店经过一段时间的统计，得到卖出的冷饮杯数y杯与当天最高气温x℃的数据趋势图，如图所示，经研究发现：冷饮杯数y杯与当天最高气温x℃的关系为6x﹣y＝20，可以预测当一天的最高气温为31℃时，饮品店卖出的冷饮为 166 杯．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】166．
【分析】将x＝31代入6x﹣y＝20，求出对应y的值即可．
【解答】解：当x＝31时，得6×31﹣y＝20，
解得y＝166，
∴两车之间的距离166杯．
故答案为：166．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
15．（2025春•肇庆）将直线y＝2x沿y轴向上平移3个单位长度，则平移后的直线解析式为 y＝2x+3 ．
【考点】一次函数图象与几何变换．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接根据“上加下减”的平移规律求解即可．
【解答】解：将直线y＝2x向上平移3个单位长度，平移后直线的解析式为y＝2x+3．
故答案为：y＝2x+3．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025•襄州区模拟）某风景区门票价格如图所示，百姓旅行社有甲、乙两个旅行团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人．设甲团队人数为x人，甲、乙两团队联合购票比分别购票可节约W元．
（1）求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）如果甲、乙两团队联合购票比分别购票节约的钱不少于乙队单独购票所需钱数的一半，那么甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少元；
（3）“五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作如下调整：人数不超过50人时，门票价格不变，人数超过50人但不超过100人时，每张门票降价a（5≤a≤15）元；人数超过100人时，每张门票降价2a元．若甲、乙两个旅行团在“五一”小黄金周期间去游玩联合购票比分别购票最少可节约1500元，若这两个旅行团在“五一”小黄金周之后去游玩联合购票比分别购票最少可节约3000元，求a的值．
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】数形结合；分类讨论；函数思想；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）w=-10x+2400(70≤x≤100)-20x+2400(100＜x＜120)；
（2）最多可节约1600元；
（3）a＝10．
【分析】（1）判断出甲团队人数的范围，W＝乙团队的购票费用+甲团队的购票费用﹣甲、乙两团队联合购票费用，把相关数值代入整理即可；
（2）根据甲、乙两团队联合购票比分别购票节约的钱不少于乙队单独购票所需钱数的一半列出不等式，求得合适的自变量的取值，进而根据一次函数的增减性可得最多节约的钱数；
（3）根据“五一“去旅游最少可节约1500元列出不等式，求得合适的x的取值范围，进而得到“五一”之后去旅游时甲、乙两团队联合购票比分别购票节约的钱数的函数解析式，进而根据自变量的取值范围得到最少节约的含a的代数式，根据最少可节约3000元列出方程，即可求得a的值．
【解答】解：（1）①70≤x≤100时，
w＝80（120﹣x）+70x﹣120×60＝﹣10x+2400；
②100＜x＜120时，
w＝80（120﹣x）+60x﹣120×60＝﹣20x+2400，
∴w=-10x+2400(70≤x≤100)-20x+2400(100＜x＜120)；
（2）①70≤x≤100时，
﹣10x+2400≥12×80（120﹣x），
解得：x≥80，
∴80≤x≤100，
∵w＝﹣10x+2400，﹣10＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴x＝80时，w最大，w最大＝﹣10×80+2400＝1600；
②100＜x＜120时，
﹣20x+2400≥12×80（120﹣x），
解得：x≥120，
∵100＜x＜120，
∴这种情况不存在．
综上：最多可节约1600元；
（3）Ⅰ、“五一“去旅游，
①70≤x≤100时，
﹣10x+2400≥1500，
解得x≤90，
∴70≤x≤90；
②100＜x＜120时，
﹣20x+2400≥1500，
解得：x≥45（不合题意，舍去）．
Ⅱ、“五一“之后去旅游，
由题意得：70≤x≤90，
∴w＝80（120﹣x）+（70﹣a）x﹣120×（60﹣2a）＝（﹣10﹣a）x+240a+2400，
∵﹣10﹣a＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴x＝90时，w最小，w最小＝3000，
∴（﹣10﹣a）×90+240a+2400＝3000，
解得：a＝10．
【点评】本题考查一次函数的应用．得到甲团队人数的不同的取值范围是解决本题的易错点；关键是根据x的取值范围得到相应的w的解析式．
17．（2025春•朝阳区）学校科技创新小组有两个加工同种实验液体的装置，分别为1号装置、2号装置．当1号装置、2号装置的加工时间都为xh时，分别记录了1号装置中加工的实验液体的体积y1（单位：dm3）和2号装置中加工的实验液体的体积y2（单位：dm3），部分数据如下：
（1）写出表中a的值；（结果保留小数点后一位）
（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画y1与x，y2与x之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
（3）根据以上数据与函数图象，解决问题：
若两个装置同时开始加工，当1号装置与2号装置加工的实验液体的体积相差最大时，1号装置停止加工．
①此时的加工时间为 5.5 h；（结果保留小数点后一位）
②2号装置再加工 2.5 h，与1号装置加工的实验液体的体积相等．（结果保留小数点后一位）
【考点】一次函数的应用．
【专题】数形结合；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）a＝3.6；
（2）图象见解答部分；
（3）①5.5（答案不唯一）；
②2.5（答案不唯一）．
【分析】（1）易得a应在2.4的基础上增加1.2；
（2）描点，连线即可；
（3）①观察函数图象，得到体积相差最大时所对应的自变量的值即可；
②观察函数图象，得到1号装置停止加工，二号装置大约在什么时刻得到和一号装置相同的体积，减去①中得到的时间即为2号装置再加工需要的时间．
【解答】解：（1）由表格中的数据可得每增加1小时，y1增加1.2dm3，
∴当x＝3时，a＝2.4+1.2＝3.6；
（2）描点，连线，得到函数图象如下：
（3）①观察函数图象可得：当x≈5.5时，实验液体的体积相差最大，
故答案为：5.5（答案不唯一）；
②当1号停止加工时，观察函数图象可得2号需要到8小时时，与1号装置加工的实验液体的体积相等，
∴2号装置再加工的时间为：8﹣5.5＝2.5（小时），
故答案为：2.5（答案不唯一）．
【点评】本题考查二次函数的应用．用数形结合的思想解决相关问题是解决本题的关键．
18．（2025春•天河区）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导某农户种植优质玉米喜获丰收，上市销量日益增加，助手小天对销量（吨）进行了跟踪记录，制作销量统计表，并将数据用坐标表示，得到A（1，2.5）、B（2，3.6）、C（3，4.8）、D（4，6.7），在如图的坐标系描点．销量统计表：
假设销售环境不发生改变，可运用函数与统计知识预测第五周的销量，例如选择直线AB或直线CD等一次函数模型来进行分析．
（1）根据A，B的坐标，可得直线AB的解析式为y＝1.1x+1.4．类似的，请任意选择两点坐标，求过这两点的直线解析式；
（2）在运用一次函数模型分析预测第五周的销量时，可以利用偏离方差分析选用哪一个模型预测更适合．请根据以下方框材料，求出（1）中你选择的直线的偏离方差，并与选用直线AB的预测方案作比较，选择较为合适的模型，预估第五周的销量．
【考点】一次函数的应用．
【专题】新定义；待定系数法；一次函数及其应用；应用意识；创新意识．
【答案】（1）选择点C，D，y＝1.9x﹣0.9（答案不唯一）；
（2）选直线CD更合适，第五周的销售量约为8.6吨（答案不唯一）．
【分析】（1）选择点C，D，设出一次函数解析式，把点C，D的坐标代入可得k和b的值；
（2）按照所给方法求得直线CD的偏离方差，与直线AB的偏离方差比较后，取x＝5代入较小的偏离方差的直线解析式中，求得对应的y的值，即为预估的第五周的销量．
【解答】解：（1）选择点C，D，设直线CD的解析式为y＝kx+b，
∵经过点C（3，4.8）、D（4，6.7），
∴3k+b=4.84k+b=6.7，
解得：k=1.9b=-0.9，
∴y＝1.9x﹣0.9（答案不唯一）；
（2）当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝2.9；x＝3时，y＝4.8；x＝4时，y＝6.7；
∴S2CD=14[（2.5﹣2）2+（3.6﹣2.9）2+（4.8﹣4.8）2+（6.7﹣6.7）2]＝0.185，
∵0.205＞0.185，
∴选直线CD更合适，
当x＝5时，y＝8.6．
答：第五周的销售量约为8.6吨（答案不唯一）．
【点评】本题考查一次函数的应用．理解并应用偏离方差的定义是解决本题的难点．
19．（2025春•潮南区）在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB：y=-12x+3与直线CD：y＝kx﹣2交于点M（4，a），直线AB，CD分别交坐标轴于点A、B、C、D．
（1）求直线CD的函数表达式；
（2）如图2，点P为线段CD上的一个动点，将BP绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接PQ与OQ．点Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成的线段所在直线的解析式；
（3）直线AB上有任意一点F，平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接写出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y=34x-2
（2）y=-43x+293
（3）存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（﹣25，5-2）或（25，-5-2）或（4，6）或（﹣5，12）．
【分析】（1）把点M（4，a）代入直线AB：y=-12x+3中可得a＝1，得M（4，1），再把点M（4，1）代入直线CD：y＝kx﹣2中即可求解；
（2）根据直线与坐标轴的交点的计算方法可得B（0，3），如图所示，过点P作PG⊥y轴于点G，过点Q作QS⊥y轴于点S，可证△BPR≌△QBS（AAS），设P(p，34p-2)，则G（0，34p﹣2），可用含p的式子表示Q(-34p+5，3+p)，令x=-34p+5，y=3+p，可得p=20-4x3，p＝y﹣3，由此即可求解；
（3）根据题意，点F是直线AB：y=-12x+3上有任意一点，设F(f，-12f+3)，根据菱形的性质分类讨论：第一种情况，如图所示，以BD，BF为边，四边形BDNF是菱形，过点F作FT⊥y轴于点T，则FT=f，BT=OB-OT=3-(-12f+3)=12f，运用勾股定理可得；第二种情况，如图所示，以BF为对角线，四边形BDFN是菱形，运用两点之间距离的计算方法可得；第三种情况，如图所示，以BD为对角线，四边形BFDN是菱形，连接FN交BD以点W，根据菱形的对角线相互垂直且平分即可求解．
【解答】（1）解：已知点M（4，a）在直线AB：y=-12x+3的图象上，
∴y=-12×4+3＝1＝a，则M（4，1），
把点M（4，1）代入直线CD：y＝kx﹣2得，4k﹣2＝1，
解得，k=34，
∴直线CD的函数表达式为：y=34x﹣2；
（2）解：在直线AB：y=-12x+3中，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝6，
∴A（6，0），B（0，3），
如图所示，过点P作PG⊥y轴于点R，过点Q作QS⊥y轴于点S，
∵旋转90°，
∴BP＝BQ，∠BPG+∠PBG＝∠PBG+∠QBS＝90°，
∴∠BPG＝∠QBS，且∠PGB＝∠BSQ＝90°，
∴△BPG≌△QBS（AAS），
∴PG＝BS，BG＝QS，
∵点P在直线CD：y=34x-2的图象上，
∴设P(p，34p-2)，则G（0，34p﹣2），
∴PG＝p＝BS，bg＝3﹣（34p﹣2）=-34p+5，OS＝3+p，
∴Q(-34p+5，3+p)，
令x=-34p+5，y=3+p，
∴p=20-4x3，p＝y﹣3，
∴20-4x3=y-3，
∴点Q运动所形成的线段所在直线的解析式为：y=-43x+293；
（3）存在，理由如下，
在直线CD：y=34x-2中，令x＝0，则y＝﹣2，
∴D（0，﹣2），则BD＝3﹣（﹣2）＝5，
∵点F是直线AB：y=-12x+3上有任意一点，
∴设F(f，-12f+3)，
第一种情况，如图所示，以BD，BF为边，四边形BDNF是菱形，过点F作FT⊥y轴于点T，则FT=f，BT=OB-OT=3-(-12f+3)=12f，
∴BD＝DN＝NF＝BF＝5，BD∥FN，
∴BF2＝BT2+FT2，即52=f2+(12f)2，
解得，f=±25，
∴F(-25，3+5)或F(25，3-5)，
∴N(-25，5-2)或N(25，-5-2)；
第二种情况，如图所示，以BF为对角线，四边形BDFN是菱形，
∴BD＝BF＝FN＝BN＝5，BD∥FN，
∵M（4，1），D（0，﹣2），
∴DM=(4-0)2+(1+2)2=5，
∴点F于点M重合，
∴F（4，1），
∴N（4，6）；
第三种情况，如图所示，以BD为对角线，四边形BFDN是菱形，连接FN交BD以点W，
∵BD＝3﹣（﹣2）＝5，
∴W(0，12)，
∵四边形BFDN是菱形，
∴BD⊥FN，FW＝NW，
∴点F的纵坐标为12，即-12f+3=12，
解得，f＝5，
∴FW＝NW＝5，
∴N(-5，12)；
综上所述，存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（﹣25，5-2）或（25，-5-2）或（4，6）或（﹣5，12）．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数图象的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间距离的计算方法，菱形的判定和性质，勾股定理的运用等知识的综合，掌握一次函数图象的性质，两点之间距离的计算，菱形的判定和性质是解题的关键．
20．（2025春•潮南区）如图，直线l1：y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线l2：y＝kx+b与y轴相交于点C（0，1），与直线l1相交于点D．
（1）填空：
①线段AB的长度为 42 ；
②方程组x+y=4y=kx+b的解为 x=1y=3 ；
（2）结合图形直接写出kx+b＞﹣x+4＞0的解集；
（3）求△BCD的面积．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数的性质；一次函数与一元一次不等式．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①解方程得到A（4，0），B（0，4），得OA＝OB＝4，根据勾股定理得AB=OA2+OB2，代入数据计算即可；
②根据一次函数与二元一次方程组的关系即可得到结论；
（2）根据图形可知，两函数图象的交点D（1，3），再结合图形可得结论；
（3）利用三角形面积公式进行计算即可．
【解答】解：（1）①由条件可知A（4，0），B（0，4），
∴OA＝OB＝4，
∴AB=OA2+OB2=42+42=42，
∴线段AB的长度为42，
故答案为：42；
②∵直线l1：y＝﹣x+4与直线l2：y＝kx+b交于点D（1，3），
∴方程组x+y=4y=kx+b的解为x=1y=3，
故答案为：x=1y=3；
（2）当1＜x＜4时，直线l1：y＝﹣x+4的图象在直线l2：y＝kx+b的下方且在x轴的上方，
∴kx+b＞﹣x+4＞0的解集为1＜x＜4；
（3）∵B（0，4），C（0，1），D（1，3），
∴BC＝4﹣1＝3，
∴S△BCD=12×3×1=32，
∴△BCD的面积为32．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，勾股定理，一次函数与二元一次方程组的关系，利用图象解不等式，三角形的面积等知识点，掌握一次函数的图象与性质，利用图象解不等式及求三角形的面积是解题的关键．
x/h
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y1/dm3
0
2.4
a
4.8
6.0
7.2
8.4
9.6
10.8
12.0
y2/dm3
0
0.2
0.6
1.1
2.0
3.2
4.7
6.6
8.9
11.6
周数（x）
1
2
3
4
5
销量（y）
2.5
3.6
4.8
6.7
☆
在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组销量所有实际值偏离图象上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差．来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜．例如，分析直线AB，即y＝1.1x+1.4上的点，可知：x＝1时，y＝2.5，x＝2时，y＝3.6；x＝3时，y＝4.7；x＝4时，y＝5.8．求得偏离方差：SAB2=14[(2.5-2.5)2+(3.6-3.6)2+(4.7-4.8)2+(5.8-6.7)2]=0.205．
x/h
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y1/dm3
0
2.4
a
4.8
6.0
7.2
8.4
9.6
10.8
12.0
y2/dm3
0
0.2
0.6
1.1
2.0
3.2
4.7
6.6
8.9
11.6
周数（x）
1
2
3
4
5
销量（y）
2.5
3.6
4.8
6.7
☆
在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组销量所有实际值偏离图象上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差．来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜．例如，分析直线AB，即y＝1.1x+1.4上的点，可知：x＝1时，y＝2.5，x＝2时，y＝3.6；x＝3时，y＝4.7；x＝4时，y＝5.8．求得偏离方差：SAB2=14[(2.5-2.5)2+(3.6-3.6)2+(4.7-4.8)2+(5.8-6.7)2]=0.205．