（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第9章 第01讲 统计 讲义+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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知识点一、抽样
1、抽样调查
（1）总体：统计中所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合称为总体．
（2）个体：构成总体的每一个元素叫做个体．
（3）样本：从总体中抽取若干个个体进行考察，这若干个个体所构成的集合叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．
2、简单随机抽样
（1）定义
一般地，设一个总体含有个个体，从中逐个不放回地抽取个个体作为样本（），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本．
（2）两种常用的简单随机抽样方法
①抽签法：一般地，抽签法就是把总体中的个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取次，就得到一个容量为的样本．
②随机数法：即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．这里仅介绍随机数表法．随机数表由数字，，，…，组成，并且每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样的．
注意：为了保证所选数字的随机性，需在查看随机数表前就指出开始数字的横、纵位置．
（3）抽签法与随机数法的适用情况
抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况，但是当总体容量很大时，需要的样本容量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便．
（4）简单随机抽样的特征
①有限性：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析．
②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作．
③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算．
④等可能性：简单单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样方法的公平．
只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样．
3、分层抽样
（1）定义
一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．
分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的．
（2）分层抽样问题类型及解题思路
①求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．
②已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．
③分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝eq \f(样本容量,总体容量)＝eq \f(各层样本数量,各层个体数量)”
注意：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取（）个个体（其中是层数，是抽取的样本容量，是第层中个体的个数，是总体容量）．
知识点二、用样本估计总体
1、频率分布直方图
（1）频率、频数、样本容量的计算方法
①eq \f(频率,组距)×组距＝频率．
②eq \f(频数,样本容量)＝频率，eq \f(频数,频率)＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于．
2、频率分布直方图中数字特征的计算
（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．
（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出．
（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积．
3、百分位数
（1）定义
一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值．
（2）计算一组个数据的的第百分位数的步骤
①按从小到大排列原始数据．
②计算．
③若不是整数而大于的比邻整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数．
（3）四分位数
我们之前学过的中位数，相当于是第百分位数．在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第百分位数，第百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．
4、样本的数字特征
（1）众数、中位数、平均数
①众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平．
②中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的中间水平．
③平均数：个样本数据的平均数为，反应一组数据的平均水平，公式变形：．
5、标准差和方差
（1）定义
①标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用表示．假设样本数据是，表示这组数据的平均数，则标准差．
②方差：方差就是标准差的平方，即．显然，在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的．在解决实际问题时，多采用标准差．
（2）数据特征
标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小．标准差、方差越大，则数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．反之亦可由离散程度的大小推算标准差、方差的大小．
（3）平均数、方差的性质
如果数据的平均数为，方差为，那么
①一组新数据的平均数为，方差是．
②一组新数据的平均数为，方差是．
③一组新数据的平均数为，方差是．
题型一：随机抽样、分层抽样
【例1】某工厂为了对产品质量进行严格把关，从500件产品中随机抽出50件进行检验，对这500件产品进行编号001，002，…，500，从下列随机数表的第二行第三组第一个数字开始，每次从左往右选取三个数字，则抽到第四件产品的编号为（ ）
2839 3125 8395 9524 7232 8995
7216 2884 3660 1073 4366 7575
9436 6118 4479 5140 9694 9592
6017 4951 4068 7516 3241 4782
A．447B．366C．140D．118
【答案】A
【解析】从第二行第三组第一个数字开始，每次从左往右选取三个数字，依次可得： 366，010，118，447，…
故选：A.
【变式1-1】已知某班共有学生46人，该班语文老师为了了解学生每天阅读课外书籍的时长情况，决定利用随机数表法从全班学生中抽取10人进行调查．将46名学生按01，02，…，46进行编号．现提供随机数表的第7行至第9行：
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 57 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
若从表中第7行第41列开始向右依次读取2个数据，每行结束后，下一行依然向右读数，则得到的第8个样本编号是（ ）
A．07B．12C．39D．44
【答案】D
【解析】由题意可知得到的样本编号依次为12，06，01，16，19，10，07，44，39，38，则得到的第8个样本编号是44．故选：D.
【变式1-2】现要完成下列2项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；
②东方中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．
较为合理的抽样方法是（ ）
A．①抽签法，②分层随机抽样B．①随机数法，②分层随机抽样
C．①随机数法，②抽签法D．①抽签法， ②随机数法
【答案】A
【解析】①总体较少，宜用抽签法；②各层间差异明显，宜用分层随机抽样．故选：A．
【变式1-3】为了庆祝中国共产党第二十次全国代表大会，学校采用按比例分配的分层随机抽样的方法从高一1002人，高二1002人，高三1503人中抽取126人观看“中国共产党第二十次全国代表大会”直播，那么高三年级被抽取的人数为（ ）
A．36B．42C．50D．54
【答案】D
【解析】根据分层抽样的方法，抽样比为，高三年级被抽取的人数为人.
故选：D.
【变式1-4】现有300名老年人，500名中年人，400名青年人，从中按比例用分层随机抽样的方法抽取人，若抽取的老年人与青年人共21名，则的值为（ ）
A．15B．30C．32D．36
【答案】D
【解析】由题可知，解得.故选：D.
【解题方法总结】
不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的．
题型二：统计图表
【例2】（多选）恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，它在一定程度上可以用来反映人民生活水平．恩格尔系数的一般规律：收入越低的家庭，恩格尔系数就越大；收入越高的家庭，恩格尔系数就越小．国际上一般认为，当恩格尔系数大于0.6时，居民生活处于贫困状态；在0.5-0.6之间，居民生活水平处于温饱状态；在0.4-0.5之间，居民生活水平达到小康；在0.3-0.4之间，居民生活水平处于富裕状态；当小于0.3时，居民生活达到富有．下面是某地区2022年两个统计图，它们分别为城乡居民恩格尔系数统计图和城乡居民家庭人均可支配收入统计图，请你依据统计图进行分析判断，下列结论错误的是（ ）

A．农村居民自2017年到2021年，居民生活均达到富有
B．近五年城乡居民家庭人均可支配收入差异最大的年份是2020年
C．城乡居民恩格尔系数差异最小的年份是2019年
D．2022年该地区城镇居民和农村居民的生活水平已经全部处于富有状态
【答案】ABD
【解析】对于A项，由图1可知2021年农村居民的恩格尔系数为0.316，居民生活水平处于富裕状态，故A项错误；
对于B项，根据图2计算出的2017至2021年近五年城乡居民家庭人均可支配收入差分别为37270元，38344元，39285元，40360元，40915元，差异最大的年份是2021年，故B项错误；
对于C项，根据图1计算出的2017至2021年近五年城乡居民恩格尔系数差（%）分别为5.6，4.3，3.9，4.3，5.5，差异最小的年份是2019年，故C项正确；
对于D项，根据给出的数据不足以判断是否正确，故D项错误．故选：ABD.
【变式2-1】（多选）航海模型项目在我国已开展四十余年，深受青少年的喜爱.该项目整合国防、科技、工程、艺术、物理、数学等知识，主要通过让参赛选手制作、遥控各类船只、舰艇等模型航行，普及船艇知识，探究海洋奥秘，助力培养未来海洋强国的建设者.某学样为了解学生对航海模型项目的喜爱程度，用比例分配的分层随机抽样法从某校高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查.已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高三年级学生有32人，则下列说法正确的是（ ）
A．该校高一学生人数是2000 B．样本中高二学生人数是28
C．样本中高三学生人数比高一学生人数多12 D．该校学生总人数是8000
【答案】BC
【解析】由图可知高三年级学生人数占总人数的40%，抽取的样本中高三年级学生有32人，则抽取的学生总人数为，则样本中高一学生人数为，样本中高二学生人数为，从而样本中高三学生人数比高一学生人数多.因为从该校所有学生中抽取的学生总人数是80，但抽取的比例不知道，所以该校高一学生人数和该校学生总人数求不出来，所以AD错误，BC正确，故选：BC.
【变式2-2】（多选）某公司统计了2023年1月至6月的月销售额（单位：万元），并与2022年比较，得到同比增长率数据，绘制了如图所示的统计图，则下列说法正确的是（ ）
注：同比增长率=（今年月销售额一去年同期月销售额）÷去年同期月销售额．

A．2023年1月至6月的月销售额的极差为8
B．2023年1月至6月的月销售额的第60百分位数为8
C．2023年1月至6月的月销售额的中位数为9.5
D．2022年5月的月销售额为10万元
【答案】ACD
【解析】对于A，2023年1月至6月的月销售额的最大值是14，最小值是6，极差为8，故A正确；
对于B，六个数从小到大排列为，因为，所以2023年1月至6月的月销售额的第60百分位数为第四个数11，故B错误；
对于C，2023年1月至6月的月销售额的中位数为9.5，故C正确；
对于D，设2022年5月的月销售额为万元，则，解得，故D正确．故选：ACD．
【变式2-3】（多选）某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计，得到了从事芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼形图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中一定正确的是（ ）

A．芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过
B．芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数超过总人数的
C．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多
D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”的总人数多
【答案】ABD
【解析】A选项，从饼形图可看出芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例为，超过，A正确；
B选项，芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数比例为，超过总人数的，B正确；
C选项，芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”人数占比为，
芯片、软件行业从业者中“80后”占总人数的，但不知道从事技术岗位的比例，故无法确定两者人数的多少，C错误；
D选项，芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数占比为，“80前”占总人数的，故D正确.故选：ABD
【解题方法总结】
统计图表的主要应用
扇形图：直观描述各类数据占总数的比例；
折线图：描述数据随时间的变化趋势；
条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率．
题型三：频率分布直方图
【例3】某区为了解全区名高二学生的体能素质情况，在全区高二学生中随机抽取了名学生进行体能测试，并将这名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，这名学生平均成绩的估计值为 ．

【答案】
【解析】由于频率分布直方图中所有矩形面积之和为，可得，解得，由频率分布直方图可知，这名学生平均成绩的估计值为
分.故答案为：.
【变式3-1】某大学有男生名．为了解该校男生的身体体重情况，随机抽查了该校名男生的体重，并将这名男生的体重（单位：）分成以下六组：、、、、、，绘制成如下的频率分布直方图：
该校体重（单位：）在区间上的男生大约有 人．
【答案】
【解析】由频率分布直方图可知，该校体重（单位：）在区间上的男生的人数为
.故答案为：.
【变式3-2】2022年12月4日是第九个国家宪法日，主题为“学习宣传贯彻党的二十大精神，推动全面贯彻实施宪法”，某校由学生会同学制作了宪法学习问卷，收获了有效答卷2000份，先对其得分情况进行了统计，按照、、…、分成5组，并绘制了如图所示的频率分布直方图，则图中 .
【答案】0.020
【解析】由频率分布直方图的性质可得，，
故答案为：0.020
【变式3-3】从某小学所有学生中随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：cm）数据绘制成频率分布直方图（如图），其中样本数据分组，，，，，若要从身高在，，三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取12人参加一项活动，则从身高在内的学生中抽取的人数应为 ．
【答案】
【解析】依题意，解得，所以，，三组的频率分别为，所以从身高在内的学生中抽取的人数应为人.
故答案为：
【解题方法总结】
（1）利用频率分布直方图求频率、频数；
（2）利用频率分布直方图估计总体．
（3）频率分布直方图的纵坐标是，而不是频率．
题型四：百分位数
【例4】以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩（单位：分），分数从低到高依次：,则这15人成绩的第80百分位数是 ．
【答案】90.5
【解析】因为，故这15人成绩的第80百分位数为，故答案为：90.5
【变式4-1】某校为了了解高三年级学生的身体素质状况，在开学初举行了一场身体素质体能测试，以便对体能不达标的学生进行有针对性的训练，促进他们体能的提升，现从整个年级测试成绩中抽取100名学生的测试成绩，并把测试成绩分成六组，绘制成频率分布直方图（如图所示）.其中分数在这一组中的纵坐标为，则该次体能测试成绩的分位数约为 分.
【答案】92
【解析】由频率分布直方图知，由得：.
因为，所以该次体能测试成绩的分位数落在内，设其为，
则由，解得.故答案为：92.
【变式4-2】已知一组数据：24，30，40，44，48，52.则这组数据的第30百分位数、第50百分位数的平均数为 .
【答案】36
【解析】因为，故这组数据的第30百分位数为30，因为，所以第50百分位数为，所以这组数据的第30百分位数、第50百分位数的平均数为，故答案为：36．
【变式4-3】为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟），分别为53，57，45，61，79，49，x，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则（ ）
A．58或64B．59或64C．58D．59
【答案】A
【解析】将已知的6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79．
若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，他们的差为4，不符合条件；
若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，它们的差为18，不符合条件；
若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x和61（或61和x），则，
解得或故选：A
【解题方法总结】
计算一组个数据的的第百分位数的步骤
①按从小到大排列原始数据．
②计算．
③若不是整数而大于的比邻整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数．
题型五：样本的数字特征
【例5】（多选）有一组样本数据：，其平均数为2，由这组样本数据得到新样本数据：，那么这两组样本数据一定有相同的（ ）
A．平均数B．中位数C．方差D．极差
【答案】AD
【解析】对A，由题意得，则新的平均数，故A与原本相同；对B，举例一组数据：1,1,1,1,2.4,2.6,3,4.满足平均数为2，原中位数为，增加一个数据2后中位数变成了，故B错误；对C，举例一组数据为1,2,2,2,2,2,2,3，其方差为，增加一个数据2后根据A中结论知平均数不变，则方差变为，故C错误；对D，根据平均数的概念知，当所有数据均相等时，取等；则增加一个数据2，极差不变，故D正确.故选：AD.
【变式5-1】“说文明话、办文明事、做文明人，树立城市新风尚！创建文明城市，你我共同参与！”为宣传创文精神，华强实验中学高一（2）班组织了甲乙两名志愿者，利用一周的时间在街道对市民进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如下频数分布折线图，则以下说法不正确的为（ ）

A．甲的众数小于乙的众数B．乙的极差小于甲的极差
C．甲的方差大于乙的方差D．乙的平均数大于甲的平均数
【答案】D
【解析】由图可知，甲志愿者的宣传次数分别为：4，5，6，3，4，3，3，
乙志愿者的宣传次数分别为：5，4，4，5，4，3，3，
甲的平均数为，乙的平均数为，故D错误，
甲的众数为3，乙的众数为4，故甲的众数小于乙的众数，故A正确；
甲的极差为3，乙的极差为2，则乙的极差小于甲的极差，故B正确；
甲的方差为，
乙的方差为，故甲的方差大于乙的方差，故C正确．故选：D．
【变式5-2】某学校对班级管理实行量化打分，每周一总结，若一个班连续5周的量化打分不低于80分，则为优秀班级.下列能断定该班为优秀班级的是（ ）
A．某班连续5周量化打分的平均数为83，中位数为81
B．某班连续5周量化打分的平均数为83，方差大于0
C．某班连续5周量化打分的中位数为81，众数为83
D．某班连续5周量化打分的平均数为83，方差为1
【答案】D
【解析】若连续5周的量化打分数据为，满足的条件，但第5周的打分低于80分，故A，B错误；
若连续5周的量化打分数据为，满足C的条件，但第5周的打分低于80分，C错误；
根据方差公式，因为方差为，所以若存在一周的量化打分低于80分，则方差一定大于1，故能断定该班为优秀班级，D正确.故选：D.
【变式5-3】气象意义上的春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度不低于.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是正整数）：
①甲地：5个数据是中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据是中位数为27，总体均值为24；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8
则肯定进入夏季的地区有
A．①②③B．①③C．②③D．①
【答案】B
【解析】由统计知识①甲地：个数据的中位数为，众数为可知①符合题意；而②乙地：个数据的中位数为，总体均值为中有可能某一天的气温低于，故不符合题意，③丙地：个数据中有一个数据是，总体均值为，总体方差为．若由有某一天的气温低于则总体方差就大于，故满足题意，选C.
【解题方法总结】
（1）平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小．
（2）方差的简化计算公式：或写成，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．
题型六：总体集中趋势的估计
【例6】文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)已知落在的平均成绩是61，方差是7，落在的平均成绩为70，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
【解析】（1）利用每组小矩形的面积之和为1可得，，
解得
（2）成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第75百分位数为，由，得，故第75百分位数为84；
（3）由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，故；
由样本方差计算总体方差公式可得总方差为.
【变式6-1】年入冬以来，为进一步做好疫情防控工作，避免疫情的再度爆发，地区规定居民出行或者出席公共场合均需佩戴口罩，现将地区个居民一周的口罩使用个数统计如下表所示，其中每周的口罩使用个数在以上（含）的有人．
(1)求的值，根据表中数据，完善上面的频率分布直方图；（只画图，不要过程）
(2)根据频率分布直方图估计地区居民一周口罩使用个数的分位数和中位数；（四舍五入，精确到）
(3)根据频率分布直方图估计地区居民一周口罩使用个数的平均数以及方差．（每组数据用每组中点值代替）
【解析】（1）由每周的口罩使用个数在以上（含）的有人得：，解得：，
，则频率分布直方图如下：
（2），，分位数位于，设其为，
则，解得：，即估计分位数为个；
，，中位数位于，设其为，
则，解得：，即估计中位数为个.
（3）由频率分布直方图得一周内使用口罩的平均数为：（个），
方差为，
则所求平均数估计为个，方差估计为．
【解题方法总结】
频率分布直方图的数字特征
（1）众数：最高矩形的底边中点的横坐标．
（2）中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等．
（3）平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和．
题型七：总体离散程度的估计
【例7】年月日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，航天员翟志刚、王亚平、叶光富完成在轨驻留半年的太空飞行任务，标志着中国空间站关键技术验证阶段圆满完成．并将进入建造阶段某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分分（分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，这人按年龄分成组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有人．

(1)根据频率分布直方图，估计这人的第百分位数（中位数第百分位数）；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取人，担任“党章党史”的宣传使者．
①若有甲（年龄），乙（年龄）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，据此估计这人中岁所有人的年龄的平均数和方差．
【解析】（1）设第百分位数为，，
，位于第四组：内；
方法一：由得：．方法二：由得：．
（2）①由题意得，第四组应抽取人，记为，，，甲；第五组抽取人，记为，乙，对应的样本空间为：，，甲，，乙，，甲，，乙，甲，，乙，甲，甲乙，乙，共个样本点．设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”，
则有甲，乙，甲，乙，甲，乙，甲，甲乙，乙，共有个样本点．；
②设第四组的宣传使者的年龄分别为，平均数分别为，方差分别为，
设第五组的宣传使者的年龄分别为，，平均数分别为，方差分别为，
则，，，，
可得，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为．
则，即第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，
则
.即第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为；据此估计这人中年龄在岁的所有人的年龄的平均数为，方差约为．
【变式7-1】为了监控某种装件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：）．其中元近似为样本平均数，近似为样本的标准差，用样本平均数和标准差能够反映数据取值的信息．根据长期生产经验，一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
经计算得：，其中为抽取的第个零件的尺寸，．
(1)利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？
(2)剔除之外的数据，用剩下的数据估计样本平均数和样本标准差（精确到0.01）．
【解析】（1）由，得，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸9.1在之外，因此需对当天的生产过程进行检查．
（2）剔除之外的数据9.1，剩下数据的平均数为，
因此的估计值为10.06．，剔除之外的数据9.1，
剩下数据的样本方差为，因此的估计值为．
【解题方法总结】
总体离散程度的估计
标准差（方差）反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差（方差）越大，数据的离散程度越大；标准差（方差）越小，数据的离散程度越小．
题型八：分层方差问题
【例8】某车间有甲、乙两台机床同时加工直径为的零件，为检验质量，从中各抽取6件，测得甲、乙两组数据的均值为，两组数据的方差分别为，，则估计该车间这批零件的直径的方差 ．
【答案】
【解析】依题意，抽取的12件零件直径的平均数，所以该车间这批零件的直径的方差.故答案为：
【变式8-1】某校高二年级有男生400人和女生600人，为分析期末物理调研测试成绩，按照男女比例通过分层随机抽样的方法取到一个样本，样本中男生的平均成绩为80分，方差为10，女生的平均成绩为60分，方差为20，由此可以估计该校高二年级期末物理调研测试成绩的方差为 .
【答案】
【解析】由，不妨设样本由男生2人和女生3人组成.由题设：，
，解得，；，解得，；所以样本的平均分，样本的方差.故答案为：.
【变式8-2】某校有高一学生1000人，其中男生600人，女生400人，为了获取学生身高信息，采用男、女按比例分配分层抽样的方法抽取样本50人，并观测样本的指标值（单位：），计算得男生样本的均值为170，方差为20，女生样本的均值为160，方差为30，据此估计该校高一年级学生身高的总体方差为 ．
【答案】48
【解析】由题意，某校有高一学生1000人，其中男生600人，女生400人，
可得总体的均值为，总体的方差为.故答案为：48.
【变式8-3】某校教师男女人数之比为5:4，该校所有教师进行1分钟限时投篮比赛．现记录了每个教师1分钟命中次数，已知男教师命中次数的平均数为17，方差为16，女教师命中次数的平均数为8，方差为16，那么全体教师1分钟限时投篮次数的方差为 ．
【答案】
【解析】设男女人数分别为，则男女教师总命中次数分别为、，
所以全体教师平均命中次数为，若男教师命中次数为，女教师命中次数为，所以，，全体教师1分钟限时投篮次数的方差为，则
，所以.故答案为：
【解题方法总结】
分层随机抽样的方差
设样本容量为，平均数为，其中两层的个体数量分别为，两层的平均数分别为，，方差分别为，则这个样本的方差为
第01讲 统计
1．某企业不断自主创新提升技术水平，积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果.据悉该企业年种系列产品年总收入是年的倍，其中种系列产品的年收入构成比例如图所示.则下列说法错误的是（ ）

A．年甲系列产品收入比年的多
B．年乙和丙系列产品收入之和比年的企业年总收入还多
C．年丁系列产品收入是年丁系列产品收入的
D．年戊系列产品收入是年戊系列产品收入的倍
【答案】C
【解析】对于A：年甲系列产品收入占了总收入的，年甲系列产品收入占了总收入的，
而该企业年种系列产品年总收入是年的倍，故年甲系列产品收入比年的多，故A选项不符题意；
对于B：年乙和丙系列产品收入之和占了总收入的，该企业年种系列产品年总收入是年的倍，故年乙和丙系列产品收入之和比年的企业年总收入还多，故B选项不符题意；
对于C：年丁系列产品收入占了总收入的，年丁系列产品收入占了总收入的，而该企业年种系列产品年总收入是年的倍，故年丁系列产品收入是年丁系列产品收入的，故C选项符合题意；
对于D：年戊系列产品收入占了总收入的，年戊系列产品收入占了总收入的，而该企业年种系列产品年总收入是年的倍，故年戊系列产品收入是年戊系列产品收入的倍，故D选项不符题意.故选：C.
2．某重点中学为了解800名新生的身体素质，将这些学生编号为001 ，002，003，…，800，从这些新生中用系统抽样的方法抽取80名学生进行体质测验，若编号为006的学生被抽到，则下列编号对应的学生没有被抽到的是（ ）
A．036B．216C．426D．600
【答案】D
【解析】由题意可得抽样间隔为，因为被抽中的初始编号为006，则第组被抽到的编号为，即之后被抽到的编号均为10的整数倍与6的和.故选：D.
3．某学校组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，全校2000名学生每人都参加且只参加其中二个社团，校团委从这2000名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的两个统计图：

则选取的学生中，参加绘画社团的学生数为（ ）
A．20B．30C．40D．45
【答案】A
【解析】选取的学生中，合唱的比例为，所以绘画的比例为，
所以选取的学生中，参加绘画社团的学生数为.故选:A.
4．某银行为客户定制了A，B，C，D，E共5个理财产品，并对5个理财产品的持有客户进行抽样调查，得出如下的统计图：

用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（ ）
A．44~56周岁人群理财人数最多
B．18~30周岁人群理财总费用最少
C．B理财产品更受理财人青睐
D．年龄越大的年龄段的人均理财费用越高
【答案】B
【解析】A.44~56周岁人群理财人数所占比例是37%，是最多的，故正确；
B.设总人数为a，则18~30周岁人群的人均理财费用约为，
31~43周岁人群的人均理财费用约为，
44~56周岁人群的人均理财费用约为，
57周岁人群的人均理财费用约为，
所以57周岁及以上人群的人均理财费用最少，故错误；
C.由条形图可知：B理财产品更受理财人青睐，故正确；
D.由折线图知：年龄越大的年龄段的人均理财费用越高，故正确，故选：B
5．在高三某次模拟考试中，甲、乙两个班级的数学成绩统计如下表：
则两个班所有学生的数学成绩的方差为（ ）
A．B．13C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，故选：C
6．样本数据的平均数为4，方差为1，则样本数据的平均数，方差分别为（ ）
A．9，4B．9，2C．4，1D．2，1
【答案】A
【解析】因为样本数据的平均数为4，所以样本数据的平均数为；因为样本数据的方差为1，所以样本数据的方差为.故选：A
7．（多选）若甲组样本数据（数据各不相同）的平均数为3，乙组样本数据的平均数为5，下列说错误的是（ ）
A．的值不确定
B．乙组样本数据的方差为甲组样本数据方差的2倍
C．两组样本数据的极差可能相等
D．两组样本数据的中位数可能相等
【答案】ABC
【解析】对选项A，由题意可知，，故A错误；
对选项B，易知乙组样本数据的方差为甲组样本数据方差的倍，故B错误；
对选项C，不妨设，则甲组数据的极差为，乙组数据的极差为，又已知甲组数据各不相同，所以两组样本数据的极差不相等，故C错误；
对选项D，设甲组样本数据的中位数为，则乙组样本数据的中位数为，当时，，
所以两组样本数据的中位数可能相等，故D正确.故选：ABC.
8．（多选）为了向社会输送优秀毕业生，中等职业学校越来越重视学生的实际操作（简称实操）能力的培养．中职生小王在对口工厂完成实操产品100件，质检人员测量其质量（单位：克），将所得数据分成5组：．根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，其中质量在内的为优等品．对于这100件产品，下列说法正确的是（ ）

A．质量的平均数为99.7克（同一区间的平均数用区间中点值代替）B．优等品有45件
C．质量的众数在区间内D．质量的中位数在区间内
【答案】ABD
【解析】对于选项A，质量的平均数为（克），选项A正确；对于选项B，优等品有件，选项B正确；
对于选项C，频率分布直方图上不能判断质量众数所在区间，质量众数不一定落在区间[98，100）内，所以选项C错误；对于选项D，质量在内的有45件，质量在内的有15件，质量在内的有5件，所以质量的中位数一定落在区间内，所以选项D正确．故选：ABD.
9．军训中某人对目标靶进行8次射击，已知前7次射击分别命中7环、9环、7环、10环、8环、9环、6环.若第8次射击结果不低于这8次射击环数的平均数且不高于这8次射击环数的75%分位数，则此人第8次射击的结果可能是 环.（写出有一个符合题意的值即可）
【答案】8（答案不唯一）
【解析】设第8次射击的结果是x环，依题意，，解得，
当时，8次射击的结果由小到大排列为，
由，得8次射击环数的75%分位数为，显然符合题意，即，
当时，8次射击的结果由小到大排列为，8次射击环数的75%分位数为，
由，解得，无解，所以，此人第8次射击的结果可能是8环.故答案为：8
10．为了解某大学射击社团的射击水平，分析组用分层抽样的方法抽取了6名老学员和2名新学员的某次射击成绩进行分析，经测算，6名老学员的射击成绩样本均值为8（单位：环），方差为（单位：环2）；2名新学员的射击成绩分别为3环和5环，则抽取的这8名学员的射击成绩的方差为 环2.
【答案】
【解析】记6名老学员射击环数分别为，8名学员的射击成绩的平均数和方差分别为.
由题可知，，则
所以
故答案为：
11．某次视力检测中，甲班12个人视力检测数据的平均数是1，方差为1；乙班8个人的视力检测数据的平均数是1.5，方差为0.25，则这20个人的视力的方差为 .
【答案】0.76
【解析】设甲班12个人视力检测数据分别为，乙班8个人的视力检测数据分别为，由题意知：，，，，
由题意20个人的视力的平均数为方差为
故答案为：0.76
12．以下为甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据：
甲组：14，30，37，a，41，52，53，55，58，80；
乙组：17，22，32，43，45，49，b，56．
若甲组数据的第40百分位数和乙组数据的平均数相等，则 ．
【答案】100
【解析】因为，甲组数据的第40百分位数为第四个数和第五个数的平均数，乙组数据的平均数为，根据题意得，解得：，
所以，故答案为：.
13．某地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，现从中随机抽取了名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于至之间，将数据按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值；在这名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，的三组中抽取了人，再从这人中随机抽取人，记为人中成绩在的人数，求；
(2)规定成绩在的为等级，成绩在的为等级，其它为等级．以样本估计总体，用频率代替概率．从所有参加考试的同学中随机抽取人，求获得等级的人数不少于人的概率.
【解析】（1），；
成绩在，，的频率之比为，
抽取的人中，成绩在的人数为人，.
（2）用频率估计概率，获得等级的概率为，
记抽取的人中，获得等级的人数为，则，
，即获得等级的人数不少于人的概率为.
口罩使用数量
频率
9.9
10.1
10.2
10.2
9.9
9.8
10.1
10
10.2
10.3
9.1
10.1
9.9
9.9
10.1
10.2
班级
人数
平均分数
方差
甲
40
70
5
乙
60
80
8