第八章 立体几何初步（单元测试 能力提升）高一数学人教A版（2019）必修 第二册

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第八章 立体几何初步（能力提升） ——高一数学人教A版(2019)必修第二册单元测试 【满分：150分】 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为28升（一升为一立方分米），上底边长为4分米，下底边长为2分米，则该方斗的表面积为( ) A. B. C. D. 2.如图，在三棱锥中，，都为等边三角形，，，M为中点，则异面直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D.0 3.设a，b为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下面为真命题的是( ) A.若，，，则 B.对于空间中的直线l，若，，，，则 C.若直线a上存在两点到平面的距离相等，则 D.若，，则 4.《九章算术》中关于“刍童”（上、下底面均为矩形的棱台）体积计算的注释：将上底面的长乘以二与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘以二与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一现有“刍童”，其上、下底面均为正方形，若，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为，则该“刍童”的体积为( ) A.224 B.448 C. D.147 5.如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积是( ) A.6 B.9 C.18 D.27 6.如图，在四棱锥中，底面是正方形，，侧棱底面，T是的中点，Q是内的动点，，则Q的轨迹长为( ) A. B. C. D. 7.如图，在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 8.成语“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，意思是在小小的军帐之内作出正确的部署，决定了千里之外战场上的胜利，说的是运筹的重要性.“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”，如图是一种“幄帐”示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面.若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为，底面矩形的长与宽之比为，则正脊与斜脊长度的比值为( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则( ) A.圆台的高为4 B.圆台的母线长为4 C.圆台的表面积为 D.球O的表面积为 10.如图，已知二面角的棱l上有A，B两点，，，，，若，，则( ) A.直线与所成角的余弦值为 B.二面角的大小为 C.三棱锥的体积为 D.直线与平面所成角的正弦值为 11.设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则( ) A.若，，，则 B.若，，，则 C.若，，，则 D.若，，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.直三棱柱中，，，则与所成角大小为_________. 13.在一个棱长为的正四面体容器内放入一个半径为1的小球，摇晃容器使得小球在容器内朝着任意方向自由运动，则小球不可能接触到的容器内壁的面积为________________. 14.如图所示，在三棱锥中，若，，E是的中点，则平面与平面的关系是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，，F为棱上一点，且． (1)求证：平面 (2)若，求绕直线旋转一周所得几何体的表面积． 16.（15分）如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点E，F分别是棱，上的点，点M是线段的中点，. (1)求证平面； (2)求与所成角的余弦值. 17.（15分）如图1，已知是等边三角形，点M，N分别在，上，，，O是线段的中点.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2. （1）求证： （2）若，求点N到平面的距离. 18.（17分）正方体的棱长为2，E，F，G分别是，，的中点。 (1)求证：面； (2)求点G到平面的距离。 19.（17分）如图，在四棱锥中，底面，若四边形为菱形，，，且E，F分别为，的中点 (1)试判断直线与是否垂直，并说明理由； (2)若四棱锥的体积为，求异面直线与所成角的余弦值  答案以及解析 1.答案：D 解析：如图所示，高线为，由方斗的容积为28升，可得， 解得.由上底边长为4分米，下底边长为2分米可得，， ，侧面梯形面积为， 所以方斗的表面积为.故选：D. 2.答案：D 解析：M为中点，取中点为N，连接，，如图所示， 则，即为异面直线与所成角，，都为等边三角形，，，则，在中，，，， 故.故选：D. 3.答案：D 解析：对于A：在长方体中， 令平面是平面，平面为平面，直线为直线a，直线为直线b，显然，，，此时直线a，b是异面直线，a，b不平行，故A错误； 对于B：当，，，时，只有a，b相交时才有，比如A选项的长方体中平面，平面，，，但是与平面不垂直，故B错误； 对于C：若直线a上存在两点到平面的距离相等，则或a与相交，故C错误； 对于D：如图： 因为，过a作平面和平面交于n，则，而，故，又，故，故D正确.故选：D. 4.答案：B 解析：连接，交于点，连接，交于点，连接，过C作，如图， . 因为“刍童”上、下底面均为正方形，且每条侧棱与底面所成角的正切值均相等，所以底面，又，所以底面，所以是“刍童”，其中一条侧棱与底面所成角的平面角，则，因为，所以，，易知四边形是等腰梯形，则， 所以在中，，则，即“刍童”的高为12，则该刍童的体积.故选：B. 5.答案：A 解析： 在长方体中，，连接交于点O，可得，又由平面，且面，所以，因为，且，平面，可得平面，所以四棱锥的高为，所以的体积.故选：A. 6.答案：B 解析：先找到一个平面总是保持与垂直，取，的中点E，F，连接，，. 因为是正方形，所以.因为底面.所以.又，所以平面.所以.因为在中，，E为的中点，所以.又，所以平面.进一步.取，，的中点M，N，S，连接，，，，易证平面平面.故平面，记，又Q是内的动点，根据平面的基本性质得：点Q的轨迹为平面与平面的交线段，在中，，，，由余弦定理得：.故.故选：B. 7.答案：B 解析：如图所示，取中点E，连接，在上取F点满足， 由题意易知为正三角形，则F点为的外接圆圆心，且， 因为平面平面，平面平面，所以底面，底面，过F作，故三棱锥外接球的球心O在直线上，作交于G点，设，球半径为R，根据，易知，四边形为矩形，由勾股定理可知：，即，故其外接球表面积为.故选：B 8.答案：B 解析：如图，多面体中，取AB的中点C，做交MN于Q， 做底面ABNM于E点，则E点在CQ上，且E点到BN，AM的距离相等，即，做于H点，连接EH，，则平面DHE，所以，所以坡面与底面所成二面角为，又，则平面DCE，所以，坡面与底面所成二面角为，所以正切值，不妨设，，可得斜脊，因为矩形宽， 所以长为8，这样正脊，所以正脊与斜脊长度的比值为即.故选：B. 9.答案：BCD 解析：设梯形ABCD为圆台的轴截面，则内切圆O为圆台内切球的大圆如图， 设圆台上、下底面圆心分别为，，半径分别为，则，O，共线， 且，连接OD，OE，OA，则OD，OA分别平分，， 故，，，，故，即，解得，母线长为，故B正确；圆台的高为，故A错误； 圆台的表面积为，故C正确；球O的表面积为，故D正确.故选：BCD 10.答案：AB 解析：过A作，且，连接，如图， 则四边形是平行四边形，即，，是直线与所成角或补角， 因为，则，，而，，平面， 所以平面，又因为平面，所以， ，A正确； 因为所以而，则是二面角的平面角，又因为，所以，即为正三角形，，B正确； 因为平面，，所以平面平面，在平面内过点C作于O，于是得，，，，C错误； 连接，因为，则是直线与平面所成角，，D错误；故选：AB. 11.答案：ABD 解析：对于，若，，，则，故A正确； 对于B，若，，可得，又，则，故B正确； 对于C，若，，，则、可能平行也可能相交，故C错误； 对于D，，，如图所示，过空间一点作，且，作，且，则，，设，与确定的平面交直线c于点C， 则，，所以，，又，所以，故四边形为矩形，，，所以，且，所以，故D正确.故选：ABD. 12.答案： 解析：设，设E是的中点，连接，，则，所以与所成角是或其补角，根据直棱柱的性质以及，可知，所以，所以三角形是等边三角形，所以，所以与所成角大小为.故答案为： 13.答案： 解析：如图： 考虑小球O即在正四面体的一个角上时，做平面平面，为平面的中心，则.因为可得，所以，.由题意，考虑小球与正四面体的一个面相切时的情况，易知小球在面上最靠近便得切点的轨迹仍为正三角形， 因为，平分，所以，.因为正四面体的棱长为，故小三角形的边长为，小球与一个面不能接触到的部分的面积为：.所以几何体的四个面永远不可能接触到容器的内壁的面积是.故答案为：. 14.答案：垂直 解析：因为，，E是的中点，所以由等腰三角形三线合一可知，，又，平面，平面，平面.又平面，平面平面.故答案为：垂直. 15.答案：(1)证明见解析 (2) 解析：(1)证明：因为，， 所以，连接，因为， 所以， 所以，因为平面，平面，所以平面 (2)因为四边形是等腰梯形，，所以．又，， 所以，所以． 又，， 所以在平面中，作，，垂足分别为M，N， 则，， 又，从而，所以， 所以绕直线旋转一周所得几何体的表面积是两个底面半径均为， 高均为2的圆锥的侧面积之和， 故所得几何体的表面积为． 16.答案：(1)证明见解析； (2)与所成角的余弦值为. 解析：(1)取的中点O，连接，， 因为O，M分别为，的中点，，， 由，且，，且， 四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，平面； (2)因为， 所以为直线与所成角， 中，， 直角梯形中，，，，， 过F作，G为垂足，如图所示， 则，，，， ，所以为等腰三角形，则， 中，，所以， 中，，所以 所以与所成角的余弦值为. 17.答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）证明：因为是等边三角形，且， 在中，可得， 又点O是线段的中点，所以. 因为平面平面，且平面，平面平面， 所以平面，又平面，所以. （2）由是等边三角形，，可得的高为， 取的中点D，连接，，，，如图所示. 因为，，可得，， 所以的面积为， 又平面，且， 所以三棱锥的体积为. 因为平面，平面，所以. 在中，，，， 所以， 所以的面积为. 设点O到平面的距离为d， 因为，可得，解得. 又由，且平面，平面，所以平面， 则点N到平面的距离与点O到平面的距离相等， 所以点N到平面的距离为. 18.答案：(1)证明见解析； (2) 解析：(1) 连接，，，因为E，F分别是，的中点， 由中位线定理得，又， 所以，所以A，F，E，四点共面， 由于G是AD的中点，则且 那么四边形为平行四边形， 从而，又面面故面， (2)由上问结论知点G到平面的距离等于点C到平面的距离， 易得，，， 利用余弦定理得则， 设点C到平面的距离d，利用等体积法， 可得， 即点到平面的距离为. 19.答案：(1)直线与不垂直，理由见解析； (2). 解析：(1)直线与不垂直，证明如下： 假设，连接， 连接，由E，F分别为，的中点，得， 由平面，得平面， 而平面，则， 又，，平面， 于是平面，又平面， 则，由四边形是菱形， 得，因此，与矛盾， 所以直线与不垂直 (2)菱形中，，，则， 菱形的面积，而平面， 于是四棱锥的体积为，解得， 由，平面，得， ，， 由，得或其补角即为异面直线与所成的角， 在中，，由余弦定理得， 所以异面直线与所成角的余弦值为.