福建省厦门市2026届高三下学期开学联盟考数学试卷含答案（word版+pdf版）

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8. 答案: D
解析: f′x=2ax+b+1x=2ax2+bx+1x ,
fx 有两个极值点等价于关于 x 的方程 2ax2+bx+1=0 有两个相异正实数解,
所以 Δ=b2−8a>0,−b2a>0,12a>0, 可知 b2>8a ,且 a>0,b8a,a>0,b0,1−2lnx1x11,且lnx1≠32,即x1>e,且x1≠e32,1−2lnx1x12>8lnx1−1x12,
令函数 gx=lnx−1x2,x∈e,e32∪e32,+∞ ,则 g′x=3−2lnxx3 ,
令 g′x=0 ,得 x=e32 ,
则 gx 在区间 e,e32 上单调递增,在区间 e32,+∞ 上单调递减,
因为 ge32=12e3 ,所以 a∈0,12e3 ,
综上所述， a 的取值范围为 0,12e3 ，应选 D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项 符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
11. 答案: ACD
解析: 显然当 Q 为 CD 中点时, △ABQ 的面积最小,且易知面积的最小值为 24 ,选项 A 正确;
易知 O 到直线 BC 的距离为 24 ,所以 OB=OC=64 ,所以 m 的取值范围是 24,64 ,
选项B 错误;
设 M 为 AB 的中点，点 Q 到平面 ABD 和到平面 ABC 的距离即为到 MD 与 MC 的距离，设为 x,y ,则有 MD⋅x+MC⋅y2=SΔMCD ,又因为 MD=MC ,所以 x+y 为定值,选项 C 正确;
设 CP=x,CQ=y,x,y∈0,1 ,
在 △BCO 中, cs∠BCO=BC2OC=63 ,
所以在 △PCO 中,由余弦定理,得 OP2=x2+642−2x⋅64⋅63=x2−x+38 ,
同理,有 OQ2=y2−y+38 ,
在 △PCQ 中,由余弦定理,得 PQ2=x2+y2−2xycsπ3=x2+y2−xy ,
在直角 △POQ 中, PQ2=OP2+OQ2 ,
所以 x2+y2−xy=y2−y+38+x2−x+38 ,即 x+y=xy+34 ,
由基本不等式,得 x+y≥2xy ,即 xy+34≥2xy ,
令 t=xy ,则 t2+34≥2t ,解得 t≤12 ,或 t≥32 (舍),
所以 xy≤14 ,显然等号可以取得,
在 △PCQ 中, PQ2=x2+y2−xy=x+y2−3xy=xy+342−3xy=xy−342 ,
又 xy≤14 ,所以 PQ=34−xy ,
所以 △PCQ 的周长为 PQ+CP+CQ+=34−xy+x+y=34−xy+34+xy=32 ，
则 △PCQ 的周长为定值 32 ,不可能为 2 ,所以选项 D 正确,
综上所述, 应选 ACD.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. π3 13. 79 14. 2536;1725
14. 解析: 首先,计算所有可能的点对 A,BA≠B 的种数为 C92=36 , 下面考虑不能构成三角形的情况:① A,B 中含原点 (0,0)，此时有 8 种；② A,B 中不含原点 0,0 ,则 O,A,B 三点共线,有 {0,1,0,2},{1,0,2,0},{1,1,2,2} ,共 3 种, 因此， A,O,B 三点能构成三角形的种数为 36−8−3=25 ，所以 pM=2536 ； 方法 1: ① 考虑 A,B 中含点 1,0 ,且使得 △AOB 的面积为整数的点对的情况,有 {1,0,0,2},{1,0,1,2},{1,0,2,2} ,共 3 对;
② 考虑 A,B 中含点 2,0 ,且使得 △AOB 的面积为整数的点对的情况,有 {2,0,0,1} , {2,0,1,1},{2,0,2,1},{2,0,0,2},{2,0,1,2},{2,0,2,2} ,共 6 对;
③ 考虑 A,B 中含点 0,1 ，且使得 △AOB 的面积为整数的点对的情况(去除重复的点对)， 有 {0,1,2,1},{0,1,2,2} ,共 2 对;
④ 考虑 A,B 中含点 0,2 ,且使得 △AOB 的面积为整数的点对的情况 (去除重复的点对), 有 {0,2,1,1},{0,1,1,2},{0,2,2,1},{0,1,2,2} ,共 4 对;
⑤ 考虑 A,B 中含点 2,2 ，且使得 △AOB 的面积为整数的点对的情况(去除重复的点对)， 有 {2,2,1,2},{2,2,2,1} ,共 2 对;
所以 pMN=pN=3+6+2+4+236=1736 ,
所以 pN∣M=pMNpM=1725 .
方法 2: 不妨设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,易知 △AOB 的面积为 x1y2−x2y12 ,
则 x1y2−x2y12 为整数,等价于 “ x1y2−x2y1 为偶数”,
将非原点的 8 个点按坐标的奇偶性分类如下:(偶，偶):(0,2)，(2,0)，和(2,3b)，和(4)，有1个，
奇): 0,1,2,1 ,有 2 个; (奇,偶): 1,0,1,2 ,有 2 个; (奇,奇): 1,1 ,有 1 个,
令 d=x1y2−x2y1 ,则 d 为奇数当且仅当 x1y2,x2y1 中恰为一奇一偶,
点对类型为:{{(偶，奇)，(奇, 偶)}，{(偶，奇)，(奇, 奇)}，{{奇，偶)，(奇，奇)}，
有 2×2+2×1+2×1=8 种,
注意到在 A,O,B 三点能构成三角形的前提下, d 为偶数的种数为 25−8=17 ,
所以 pMN=pN=1736 ,
所以 pN∣M=pMNpM=1725 .
四、解答题:共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
为研究某市高三年级学生身高和性别的关系, 随机抽取了 200 名高三年级学生, 得到如下列联表:
(1)求列联表中的 m ， n 的值；将样本频率视为概率，若在全市高三学生中随机抽取 6 人，其中不低于 170 cm 的人数记为 X ，求 X 的期望.
(2)依据小概率值 α=0.001 的独立性检验，分析高三年级学生的身高是否与性别有关. 附: χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d
解: (1) 由题意, n=90−60=30,m=200−90−90=20 , 2 分样本中抽中不低于 170 cm 的频率为 20+90200=1120 , 4 分
将样本频率视为概率,若在全市高三学生中随机抽取 6 人,
其中不低于 170 cm 的人数记为 X ,则 X∼B6,1120 , 6 分
所以 EX=np=6×1120=3310 . 7 分
( 2 )零假设为 H0 :高三年级学生的身高与性别无关， .8 分
由 (1) 可知 χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d=20060×90−30×20280×120×90×110 9 分 ≈48.485>10.828 , 11 分
根据小概率值 α=0.001 的独立性检验,推断 H0 不成立,即该市高三年级学生的身高与性别有关. 13 分
16. (15 分)
记数列 an 的前 n 项和为 Sn ,已知 3an=2Sn+1 .
(1)求 an 的通项公式；
(2)若 bn=an+1an+1−1an+2−1 ，记数列 bn 的前 n 项和为 Tn ，若 ∀n∈N∗ ， Tn0 ,
所以 MN=1+k2x1−x2=355x2−x1 , 14 分
所以 MN=3NF−MF ,所以 3MF=NF+MF ,即 2MF=NF ,
所以 25+x1=5+x2 ,即 5+2x1=x2 , 15
分
由(1)可知 x12+x22=5 ，所以 x1=−2,x2=1 ， 16 分
故 M−2,−255,N1,455 ,从而 l 的方程为 y=255x+255 ,
显然这与 l 不经过 F−1,0 矛盾,所以不存在符合题设的实数 m . 17
分
19. (17 分)
已知函数 fx=lnx,gx=ax,x∈0,+∞ ,且 a≠0 .
(1)讨论函数 hx=fx−gx 的单调性;
(2)若曲线 y=fx 和 y=gx 存在公切线,求 a 的取值范围;
(3)若存在相异实数 m,n ,使得 fm=gn ,且 fn=gm ,求 a 的取值范围.
解: (1) 易知 hx=fx−gx=lnx−ax,h′x=1x+ax2=x+ax2 , 1 分
当 a>0 时， h′x>0 ， hx 单调递增， .2 分
当 a0 时, hx 在区间 0,+∞ 上单调递增; 当 a0>tx3 ,
所以 φx2=ex2−lnx21−etx20 , 16 分
因为 a>e ,且 x2−lnx−a ,且 0−lnx2ea−a=−lnx2>0 ,且 φax3=eax3lna−lnax3−a=−eax3lnx3−ae 符合题意; 综上所述, a 的取值范围是 e,+∞ . 17 分1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C
A
B
C
B
D
B
D
AC
ABD
ACD
性别
身高
合计
低于170cm
不低于170cm
女
60
m
男
n
90
合计
90
200