问题解决活动：最短距离-课件--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

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问题如图，居民区和工厂分别在一条城铁线路的南、北两侧，现要沿着城铁线路修建一条地下通道，居民区的居民经过该地下通道去工厂上班.
知识点 最短距离
思考已知该地下通道长度为a m，那么地下通道的两个出入口应该设计在何处，才能使居民经过该地下通道去工厂上班的路线最短?请画出这条最短路线并说明理由(不考虑地面到地下通道地面的高度).
理解问题上述问题可以抽象成怎样的数学问题?如图所示，定点A，B分别位于直线l的两侧，动点M，N(点M居左)在直线l上且MN=a，求使AM+MN+NB取得最小值时点M，N的位置.
拟定计划(1) 你以前遇到过类似的问题吗?以前遇到过两点之间的最短路线问题、与垂线段最短有关的最短路线问题、将军饮马问题等.
(2) 解决这个问题最大的困难是什么?最大的困难是整条路线中需要“弯折”一段距离无法通过直接连接A，B两点来得到所求点的位置.
(3) 地下通道将居民区到工厂的路从中间分成了两段，你能设法将居民区、通道或工厂“移动”位置，让前后两段路连起来吗?可以通过将居民区沿铁路方向向右平移a m，将中间地下通道的路程“先行”，再连接居民区平移后的位置与工厂的位置，即可使前后两段路连起来.
实施计划(1) 写出你的解决方案.在由原问题转化的数学问题上说明解决方案.如图，将点A沿l向右平移a个单位长度得到点A′，连接A′B交l于点N，在直线l上点N的左侧截取MN=a，连接AM，此时AM +MN+NB取得最小值.
∴ AM = A′N，∴ AM + MN + NB = MN + A′N + NB = MN+A′B.根据“两点之间线段最短”可得，此时A′N+NB最小，故此时AM+MN+NB取得最小值.
回顾反思通过解决上述问题，你获得了哪些经验?你认为解决这类问题的关键是什么?“将军遛马”类问题可以将固定要行的一段路线进行平移，将问题转化为两点之间线段最短问题进行解答.
回顾反思通过解决上述问题，你获得了哪些经验?你认为解决这类问题的关键是什么?解决最短距离类问题的关键要善于利用图形的变换，构造相关点的对称点、平移点或旋转点，将复杂的图形转化为简单的图形，化“折”为“直”，进而利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”等进行解决.