【数学】安徽宣城市2025-2026学年度高二第一学期期末检测试题（学生版+解析版）

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一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 直线的一个方向向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】直线的斜率为，则直线的一个方向向量，
对于A，因，即向量与不共线，A不合题意；
对于B，因，即向量与不共线，B不合题意；
对于C，因，即向量与不共线，C不合题意；
对于D，因，即向量与共线，D符合题意.
故选：D.
2. 记为等差数列的前n项和.若，则（ ）
A. 9B. 18C. 27D. 36
【答案】C
【解析】
，
故选：C.
3. 圆与圆的公切线条数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】由可知圆心为，半径，
由，即，
则圆心为，半径，
则两圆圆心距离为，，，
故，即两圆相交，故公切线条数为2条.
故选：B.
4. 在三棱柱中，是的中点，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以
.
故选：C.
5. 已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段，分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，，则这个二面角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，设二面角的大小为，因线段，分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，则，
根据题意可得，
所以，
因为，，，
所以，
解得，又因为，所以，
所以这个二面角的度数为.
故选：B.
6. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，可得定义域为，
又，
函数为偶函数，故排除D，
又，结合图像可排查BC，
故选：A.
7. 已知A，B是抛物线（）上不同两点，点F是抛物线的焦点，且（O为坐标原点）的重心恰为F，若，则（ ）
A. 8B. C. D.
【答案】D
【解析】设，
因为的重心恰为F，则，解得，
由可知关于x轴对称，即，
代入，可得，
又因为，解得，所以，
又因为，所以，，设，所以，
则.
故选：D.
8. 记上的可导函数的导函数为，满足（）的数列称为函数的“牛顿数列”．若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的所有n的和为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 12
【答案】C
【解析】由可得，根据牛顿数列的定义，，
将和代入上式，得，
则数列组成首项为，公比为2的等比数列，故，
于是，
则，，则等价于，
即，
因为递增数列，且，故满足条件有4，5两个，它们的和为.
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若向量与共线，与共线，则与共线
B. 若G是四面体的底面的重心，则
C. 若，则A，B，C，G四点共面
D. 若向量在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为
【答案】BD
【解析】选项A：若向量 ，则 与 共线， 与 共线，但 与 不一定共线，故A错误.
选项B：若 是 的重心，
则 ，故B正确.
选项C：若 四点共面，
则存在实数 使得 且 ，
这里 ，故四点不共面，C错误.
选项D：已知 ，在基底 下，
设 ，则：
所以，解得 ，故坐标为 ，D正确.
故选：BD.
10. 已知函数，则（ ）
A. 有两个极值点
B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心
D. 过点且与曲线相切的直线恰有两条
【答案】ABD
【解析】对于A，由求导得．
令，得或，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以和2是函数的两个极值点，故A正确；
对于B，由A项分析，在时取得极大值，在时取得极小值，
且当时，，当时，，故函数在定义域上有三个零点，故B正确；
对于C，由，
因为，
故曲线关于点不成中心对称，故C错误；
对于D，设切点为，则切线的方程为，
代入，可得，化简得，解得或．
故过点且与曲线相切的直线恰有两条，故D正确．
故选：ABD.
11. 如图，类似“心形”的曲线E，可以看成由上部分曲线，下部分曲线（）构成，过曲线的焦点的直线l与曲线交于M，N两点，是“心形”曲线E上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线E上任意一点到原点的距离都不超过
B. 曲线的方程为（）
C. 直线与曲线E有2个交点，则m的取值范围为
D. 面积的最大值为
【答案】ABD
【解析】由可变形为，
则上半部分表示以为圆心，1为半径的2个半圆.
曲线的焦点为，解得，，，
对于A，由曲线E的图形可知，当点位于的下顶点时该点到原点的距离最大，为，
即曲线E上任意一点到原点的距离都不超过，故A正确；
对于B，由上分析，可知曲线的方程为，故B正确；
对于C：联立方程，消去可得，
令，解得（舍去）或，
取直线和直线；
若点到直线，即的距离，解得或（舍去），
若点到直线，即的距离，解得或（舍去），
取直线和直线；以直线为临界，结合图形可知：
若直线与曲线有2个交点，则或，
所以的取值范围为，故C错误；
对于D，根据对称性，不妨设，由题意，，即，
联立，消去并整理得，
，则，，
则，
点到直线的距离为，
所以，
设，易得，
函数在上单调递增，则，
所以的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12. 若数列通项公式为，其前n项和为，则______．
【答案】1012
【解析】因为，
所以，
所以每四项和为2，
因此
．
故答案为：1012.
13. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为______．
【答案】或
【解析】由求导得，则，
故切线方程为，令，得，令，得，
即切线与坐标轴分别交于，故切线与两坐标轴围成的三角形面积为.
故答案为：.
14. 已知双曲线（，）的一条渐近线的斜率为，左右顶点分别为，，右焦点为F，且M，N是双曲线C位于第一象限的两点，，若，则______．
【答案】
【解析】依题意，，则，
设双曲线的左焦点为，连接，则，
因，则，
在中，由余弦定理，，
则，，
又，故.
设点，则易得，即，
由，
可得，
则，
故.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知圆内有一点，为过点P的弦．
（1）当时，求直线的方程；
（2）求弦中点M的轨迹方程．
解：（1）当直线的斜率不存在时，的方程为，代入，
此时，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即
设原点O到直线的距离为d，则，解得
的方程为，即
综上，直线的方程为或
（2）方法一：是的中点，由垂径定理得
的轨迹是以为直径的圆．的中点为，
即圆心，半径
的轨迹方程为
方法二：设，
由垂径定理得，，（且），
，得（且
当时，，时，，也满足上式，
的轨迹方程为
方法三：设，由垂径定理得，
即，即M的轨迹方程为.
16. 已知数列的前n项和为，，（）．
（1）求的通项公式；
（2）记，数列的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）由得：（），
两式相减得：，即（），
又时，，（），
是以为首项，公比的等比数列，.
（2），
，
，
易知，随n增大而增大，的最小值是，
由恒成立，可得，故的取值范围是.
17. 如图，点C在以为直径的半圆的圆周上，，且，，（）．
（1）求证：平面平面；
（2）当直线与平面夹角的正弦值为时，求的值．
（1）证明：平面，平面．.
又为直径，点C在圆上，，
又，平面，，平面，
又平面，平面平面.
（2）解：由平面，．
以B为原点，方向为x轴，方向为z轴，建系如图．
则，，，
，，，．
，．
设平面的法向量为，则，
即，可取.
设直线与平面所成角为，
则,
，解得或（舍），
综上，的值是.
18. 已知椭圆（）过点，离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l与椭圆C交于A，B两点．
（i）当线段中点坐标为时，求直线l的方程；
（ii）当直线l斜率为1，且不过原点O，直线l与y轴交于点P，T是A关于x轴的对称点．记直线与x轴交于点Q，求周长的最小值．
解：（1）由题意得，解得：
椭圆C的标准方程是.
（2）（i）解法一：设，，则，
相减得：,
中点是，，，代入上式得：，
即l的斜率，的方程为，即.
解法二：当l的斜率不存在时，显然不合题意．
当l斜率存在时，设方程为，代入得：
，
设， 则，解得：
的方程为，即.
（ii）设直线（），令，得：，
设，，则，
联立直线l与椭圆方程消元得：，
由，得，
则，,
直线的方程为，
令，得,
，,
的周长为
（当且仅当，等号成立）
故的周长的最小值为.
19. 已知函数，（）．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围；
（3）若，且不等式在上恒成立，求a的最小值．
解：（1）由题意，，
当时，恒成立，在单调递增；
当时，令，得，
当，，当，
在单调递增，在单调递减
（2）有两个零点，等价于有两个实数根，即，
即，等价于与有两个交点．
由得，，
当，，当，，
在单增，单减． 且，，
，，，，且时，，图象如图，
的取值范围是
（3）不等式为，
所以不等式在上恒成立，
所以在上恒成立．
设，则，
当时，，，
又在上是增函数，，，
所以存在，使得，
当时，，；
当时，，，
即在上单调递增，在上单调递减，
，，
则，所以，
因为，所以，
又因为，所以，所以a的最小值为1.