2025-2026学年福建省厦门市松柏中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年福建省厦门市松柏中学高二（上）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知点B是点A(2,3,1)在坐标平面Oxy内的射影，则|OB|=( )
A. 5B. 10C. 13D. 4
2.已知直线l经过(1,2)和(2,3)两点，则l的倾斜角为( )
A. −π4B. π6C. π4D. 3π4
3.在等差数列{an}中，若a3+a11=10，则a7=( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
4.如图，在空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在线段OA上，且OM=3MA，点N为BC的中点，则MN=( )
A. 12a−23b+12c
B. 34a+23b−12c
C. 12a+12b−12c
D. −34a+12b+12c
5.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，且f(x)=2f′(1)lnx−2x，则f′(1)=( )
A. 1.B. 2C. −1D. −2
6.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若a2=2，a9=8a6，则S10=( )
A. 1022B. 1023C. 1024D. 1025
7.如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为( )
A. 17
B. 7
C. 2 17
D. 9
8.已知F是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|=5|QF|且∠PFQ=120°，则椭圆E的离心率为( )
A. 76B. 13C. 216D. 215
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的有( )
A. 若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大
B. 直线kx+y+3k+1=0必过定点(−3,−1)
C. 直线2x−4y−1=0与直线x−2y=0的距离为 510
D. 过点P(2,3)且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为x+y−5=0
10.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a80，则下列选项正确的是( )
A. 数列{an}为递减数列B. a70时n的最大值是14
11.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，点M(x0,4)在抛物线C上，直线MO，MF分别与l交于A，B，直线MF与抛物线C交于另一点N，则( )
A. F的坐标为(2,0)B. |AB|=5
C. |AB|=35D. S△OFM0,b>0)的离心率为 5，左，右焦点分别为F1F2，F2关于C的一条渐近线的对称点为P.若|PF1|=2，则△PF1F2的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，a1a4=7，S4=16．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)将数列{2n}插入{an}中，并将两个数列的项按从小到大的顺序排列构成一个新数列{bn}，求数列{bn}的前30项和T30．
16.(本小题15分)
已知圆过点A(1,−1)，B(−1,1)且圆心E在直线x+y−2=0上．
(1)求圆E的方程；
(2)若直线l经过点Q(3,5)，且与圆E相交截得的弦长为2 2，求直线l的方程．
17.(本小题15分)
如图所示，椭圆x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过F1与椭圆交于A，B两点．
(1)求椭圆的焦距、短轴长和离心率；
(2)若S△ABF2=3 54，求直线l的方程．
18.(本小题17分)
如图1，等腰直角△ABC的斜边BC=4，D为BC的中点，沿BC上的高AD折叠，使得二面角B−AD−C为60°，如图2，M为CD的中点．
(1)证明：AD⊥BM．
(2)求平面MAB和平面DAB所成角的余弦值．
(3)试问在线段AC上是否存在点Q，使得直线MQ与平面ABM所成角的正弦值为 210？若存在，求出线段AQ的长度；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=lnx,g(x)=a(x−1x)(a∈R)．
(1)若a=12，求证：关于x的方程f(x)=g(x)有且只有一个实数根；
(2)记F(x)=f(x)−g(x)，试讨论F(x)的单调性；
(3)证明：对任意正整数n，不等式1(n+1)ln(n+1)+1(n+2)ln(n+2)+…+12nln(2n)>4n2+3n+14n3+6n2+2n恒成立．
参考答案
1.C
2.C
3.C
4.D
5.B
6.B
7.C
8.C
9.BC
10.ACD
11.CD
12.2x−y+1=0
13.2211+1
14.4
15.解：(1)设等差数列的公差为d，则
因为a1a4=7，S4=16，
所以a1(a1+3d)=74a1+6d=16，解得a1=1d=2，
所以an=1+2(n−1)=2n−1；
(2)由题意，数列{an}的项分别为1，3，5，7，…，将数列{2n}的项分别为2，4，8，16，…，
所以数列{bn}的前30项来自数列{2n}的项为21到25，共5项，其余25项来自数列{an}，
所以数列{bn}的前30项和T30=25×(1+49)2+2+4+8+16+32=687．
16.(1)设圆E的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，
由题意得(1−a)2+(−1−b)2=r2(−1−a)2+(1−b)2=r2a+b−2=0，解得a=1b=1r2=4，
所以圆E的圆的标准方程是(x−1)2+(y−1)2=4；
(2)由(1)得圆E的圆心为E(1,1)，半径r=2，
根据直线l被圆E截得的弦长为2 2，可知E到直线l的距离d= 22−( 2)2= 2．
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=3，
圆心E到直线的距离为2，不符合题意．
②当直线l的斜率存在时，设l：y−5=k(x−3)，即kx−y+5−3k=0．
由|k−1+5−3k| k2+1= 2，解得k=1或k=7，可得l的方程为x−y+2=0或7x−y−16=0．
17.解：(1)由已知方程得到a2=4，b2=3，所以a=2，b= 3，
由c2=a2−b2=1，得c=1，
故焦距为2c=2，短轴长为2b=2 3，离心率e=ca=12；
(2)由(1)知焦点坐标为F1(−1,0)，F2(1,0)，则|F1F2|=2，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由题意可设直线l的方程为x=my−1，即x−my+1=0，
与x24+y23=1联立，消去x得(3m2+4)y2−6my−9=0，
则y1+y2=6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，
|y1−y2|= (y1+y2)2−4y1y2= (6m3m2+4)2−4⋅−93m2+4
= 36m2+36(3m2+4)(3m2+4)2=12 m2+13m2+4，
S△ABF2=12|F1F2||y1−y2|=|y1−y2|=12 m2+13m2+4=3 54，
解得m=±2，所以直线l的方程为x±2y+1=0．
18.解：(1)证明：在图1中的等腰直角△ABC中，D为BC的中点，可得AD⊥BC，
所以在图2中，可得AD⊥BD，AD⊥CD，
因为BD∩CD=D，且BD，CD⊂平面BCD，所以AD⊥平面BCD，
又因为BMC平面BCD，所以AD⊥BM；
(2)以D为原点，垂直于DC的直线为x轴，DC，DA所在直线分别为y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(0,0,2)，B( 3,1,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，M(0,1,0)，
则AB=( 3,1,−2)，BM=(− 3,0,0)，AD=(0,0,−2)，
设平面ABM的法向量为n1=(x1,y1,z1)，则n1⋅AB= 3x1+y1−2z1=0n1⋅BM=− 3x1=0，
取z1=1，可得x1=0，y1=2，所以n1=(0,2,1)，
设平面ABD的法向量为n2=(x2,y2,z2)，则n2⋅AB= 3x2+y2−2z2=0n2⋅AD=−2z2=0，
取x2=−1可得y2= 3，z2=0，所以n2=(−1, 3,0)，
所以cs〈n1,n2〉=n1⋅n2|n1||n2|=2 32 5= 155，
所以平面MAB和平面DAB所成角的余弦值为 155；
(3)假设在线段AC上存在点Q，使得直线MQ与平面ABM所成角的正弦值为 210，
由(2)得MA=(0,−1,2)，AC=(0,2,−2)，
设AQ=λAC=(0,2λ,−2λ)，则MQ=MA+AQ=(0,2λ−1,2−2λ)，λ∈[0,1]，
平面ABM的一个法向量为n1=(0,2,1)，
设直线MQ与平面ABM所成角为θ，则|sinθ=|cs〈n1,MQ〉|
=|n1⋅MQ||n1||MQ|=|2(2λ−1)+2−2λ| 5× (2λ−1)2+(2−2λ)2= 210，
解得λ=14或λ=−58(舍去)，
所以存在点Q，使得直线MQ与平面ABM所成角的正弦值为 210，此时AQ= 22．
19.解：(1)证明：当a=12时，g(x)=12(x−1x)，
则由f(x)=g(x)，可得lnx−12x+12x=0，
令h(x)=lnx−12x+12x，x∈(0,+∞)，
则h′(x)=1x−12−12x2=−(x−1)22x2≤0，所以h(x)在(0,+∞)上单调递减，
又h(1)=ln1−12+12=0，则h(x)仅有x=1一个零点，
即方程f(x)=g(x)有且只有一个实根．
(2)F(x)=lnx−a(x−1x)，则F′(x)=1x−a(1+1x2)=−ax2+x−ax2，x∈(0,+∞)，
当a≤0时，−ax2+x−a>0，所以F′(x)>0，故F(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a>0时，令φ(x)=−ax2+x−a，x>0，则Δ=1−4a2，
当Δ=1−4a2≤0，即a≥12时，φ(x)≤0，即F′(x)≤0，故F(x)在(0,+∞)上单调递减；
当Δ>0，即0