2026届高三数学二轮复习课件：板块二　数列　微专题11　数列中的最值、范围问题（含解析）

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近几年高考试题中,与数列有关的最值范围问题既有解答题,也有选择、填空题,难度中档或偏上.
1.(2024·上海卷)等比数列{an}的首项a1>0,公比q>1,记In={x-y|x,y∈[a1,a2]∪[an,an+1]},若对任意正整数n,In是闭区间,则q的取值范围是　　　　. 
显然等比数列{an}递增,不妨设x≥y,若x,y∈[a1,a2],则x-y∈[0,a2-a1],若x,y∈[an,an+1],则x-y∈[0,an+1-an],若x∈[an,an+1],y∈[a1,a2],则x-y∈[an-a2,an+1-a1],∵对任意正整数n,In都是闭区间,
∴an-a2≤an+1-an,如图,
又a1>0,∴qn-2qn-1+q≥0,即qn-2(q-2)+1≥0,对任意正整数n,上式都成立,则必有q≥2.
(2)设数列{bn}满足3bn+(n-4)an=0(n∈N*),记{bn}的前n项和为Tn.若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立,求实数λ的取值范围.
热点一　求数列和式的最值、范围
热点二　求n的最值或范围
热点三　求数列不等式中参数的取值范围
(2)设bn=lgaan(a>0且a≠1),求数列{bn}的前n项和Tn的最值.
(2025·连云港调研)记数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*,有Sn=n(an+n-1).(1)证明:{an}是等差数列;
因为Sn=nan+n(n-1),①所以当n≥2时,Sn-1=(n-1)an-1+(n-1)(n-2),② ①-②可得an=nan-(n-1)an-1+2n-2,得(1-n)an=-(n-1)an-1+2(n-1),得an-an-1=-2,故{an}为等差数列.
(2)若当且仅当n=7时,Sn取得最大值,求a1的取值范围.
若当且仅当n=7时,Sn取得最大值,
故a1的取值范围为(12,14).
已知数列{an}是递增的等比数列.设其公比为q,前n项和为Sn,且满足a1+a5=34,8是a2与a4的等比中项.(1)求数列{an}的通项公式;
因为8是a2与a4的等比中项,所以a2a4=82=64,
因为数列{an}是递增的等比数列,
所以an=a1qn-1=2×2n-1=2n.
(2)若bn=n·an,Tn是{bn}的前n项和,求使Tn-n·2n+1>-100成立的最大正整数n的值.
求n的值或最值,一般涉及数列的项或和的最值与范围,通常化归为解关于n的不等式,或根据数列的单调性求解.
(2025·丹东段测)记Sn为等差数列{an}的前n项和,4Sn=anan+1+1,an≠0,n∈N*.(1)求{an}的通项公式;
因为{an}为等差数列,且4Sn=anan+1+1,an≠0,n∈N*,所以当n≥2时,有4Sn-1=an-1an+1,两式相减,得4an=an(an+1-an-1)=2dan(d为等差数列{an}的公差),解得d=2.当n=1时,有4S1=a1a2+1,即4a1=a1a2+1,4a1=a1(a1+2)+1,解得a1=1.所以an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.
(2025·重庆质检)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn+1-Sn=2,a1=1.(1)求{an}的通项公式;
求数列不等式中参数的取值范围问题要看清楚是恒成立,还是有解问题,若f(n)≥M恒成立,则f(n)min≥M;若f(n)≥M有解,则f(n)max≥M.
(2)若对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,求k的取值范围.
1.(2025·哈尔滨模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4+a70,则Sn的最大值为A.S4B.S5C.S6D.S7
由S9=9a5>0,得a5>0,又a5+a6=a4+a7